ある幾何の問題
最近考えた幾何の問題について書こうと思います。
この記事を書こうと思ったきっかけ
最近、ラングレーの問題について考える機会がありました。そのときにラングレーの未解決問題がaerile_reさんによって解かれたことを知り、aerile_reさんの「外心3つ法」という手法に興味をもつようになりました。そしてaerile_reさんのホームページを見ていたときに、aerile_reさんが言及していた
幾何の問題
を見つけました。この問題は2015年にyahooの掲示板で出されたもので、aerile_reさんも取り組んでおられたようですが、aerile_reさんによると、この問題は初等幾何で直接的に解くのは難しいのではないかとのことでした。私はこの問題に惹かれ、しばらく考え続けました。そして自分なりの方法で答えにたどり着いたように思ったため、記事にしようと思いました。この解き方は初等幾何によるものだとは思いますが、aerile_reさんの言うところの「直接的な」解法になっているかどうかはわかりません。ただ、$\angle$A=$40^{\circ}$$\Longrightarrow$$\angle$CDE=$50^{\circ}$をシンプルな形で示すことはできたのではないかと考えています。
ＡＢ＝ＡＣとなる二等辺三角形ＡＢＣがある。辺ＡＢ上にＢＣ＝ＣＤとなる点Ｄをおく。 また、辺ＡＣ上にＡＤ＝ＣＥとなる点Ｅをおく。 そのとき∠ＣＤＥ＝５０°となる。 ∠Ａの角度を求めよ。
これがその問題です。
以下、命題の証明という形で考えを述べたいと思います。
図の二等辺三角形において、AD=CEかつ $\angle$CDE=$50^{\circ}$となるような点Eが存在するならば、ADの長さは$\triangle$ABCの外接円の半径に等しい。
$\triangle$ABCに対して、$\triangle$ABC$\equiv$$\triangle$ACC'となるように点C'を、辺ACに関して点Bと反対側にとる。$\triangle$ACC'の外接円を描き、その中心をOとする。$\triangle$ABC∽$\triangle$CDBであるから、$\angle$CDB=$\angle$AC'C。よって、$\angle$AC'C+$\angle$ADC=$180^{\circ}$となり、$\triangle$ACC'の外接円Oは点Dを通る。
ODとACの交点をE'とする。$\triangle$ABCの外接円の半径をRとし、AD>Rと仮定する。$\triangle$OADは二等辺三角形であり、AD>OAであるから、$\angle$ADO<$60^{\circ}$,$\angle$DAO<$60^{\circ}$,したがって$\angle$DAE'<$40^{\circ}$（$\angle$DAE'は$\angle$DAOの$\frac{2}{3}$倍）。円周角の定理より$\angle$DOC<$80^{\circ}$。$\triangle$ODCは二等辺三角形であるから、$\angle$ODC>$50^{\circ}$。また、$\angle$AE'D>$80^{\circ}$であるから、$\angle$OE'C>$80^{\circ}$。よって、$\triangle$OE'Cにおいて、$\angle$OE'C>$\angle$E'OCであるから、E'C<OC。OC=Rであるから、E'C<Rとなり、AD>E'C。したがってもしAD=CEを満たすような点Eがあるならば、それはAE'間に存在しなければならない。しかし、その場合$\angle$CDE>$\angle$CDE'>$50^{\circ}$より、$\angle$CDE>$50^{\circ}$となるため、条件を満たす点Eは存在しない。
次にAD<Rと仮定する。AD<OAであるから、$\angle$ADO>$60^{\circ}$,$\angle$DAO>$60^{\circ}$,したがって$\angle$DAE'>$40^{\circ}$。円周角の定理より$\angle$DOC>$80^{\circ}$。$\angle$ODC<$50^{\circ}$。また、$\angle$AE'D<$80^{\circ}$であるから、$\angle$OE'C<$80^{\circ}$。よって、$\triangle$OE'Cにおいて、$\angle$OE'C<$\angle$E'OCであるから、E'C>OC。OC=Rであるから、E'C>Rとなり、AD<E'C。したがってもしAD=CEを満たすような点Eがあるならば、それはCE'間に存在しなければならない。しかし、その場合$\angle$CDE<$\angle$CDE'<$50^{\circ}$より、$\angle$CDE<$50^{\circ}$となるため、条件を満たす点Eは存在しない。
以上のことから、AD=R。
図の二等辺三角形において、ADが$\triangle$ABCの外接円の半径に等しいならば、$\angle$BAC=$40^{\circ}$である。またこのとき$\angle$CDE=$50^{\circ}$である。
画像の名前
ODとACの交点をE'とする。$\triangle$ABCの外接円の半径をRとする。AD=Rより、$\triangle$OADは正三角形である。$\angle$ADO=$60^{\circ}$,$\angle$DAO=$60^{\circ}$,したがって$\angle$DAE'=$40^{\circ}$。円周角の定理より$\angle$DOC=$80^{\circ}$。$\triangle$ODCは二等辺三角形であるから、$\angle$ODC=$50^{\circ}$。また、$\angle$AE'D=$80^{\circ}$であるから、$\angle$OE'C=$80^{\circ}$。よって、$\triangle$OE'Cは二等辺三角形である。よってCE'=CO=Rであるから、AD=CE', したがって点E'はAD=CE', $\angle$CDE'=$50^{\circ}$をみたすので、E'=E。よって、$\angle$BAC=$40^{\circ}$,$\angle$CDE=$50^{\circ}$となることが示された。
