三角関数の中身のずらし方_備忘録

はじめに

なんとなく、まとめてみたい気分になったので。

$\sin (\pm x\pm \frac{k\pi }{2})$、$\cos (\pm x\pm \frac{k\pi }{2})$公式の覚え方

虚数単位$i$の累乗と対応づけて覚える方法がある。
下の表は微分でも同じ並びが出てくるので、覚えておくと良いかも。

$\sin x$、$\cos x$のグラフから値を追うことで判断する方法もあり。
加法定理から導くこともできるが、正確に短時間で判断できることが望ましい。

求めたいのは$\sin x$、$-\sin x$、$\cos x$、$-\cos x$のどれかなので、
下図のように判断することも可能。
ズレが$2\pi$以上あったり、変数に$-$がついているときは最初にそれを処理するのが良さそう。

脳内でグラフを描くための手がかりとして、
　$\sin x$のグラフ→原点の右側に山がある。
　$-\sin x$のグラフ→原点の左側に山がある。
　$\cos x$のグラフ→原点の位置に山がある。

手順

$\sin (\pm \alpha \pm \frac{k\pi }{2})$、$\cos (\pm \alpha \pm \frac{k\pi }{2})$の形の三角関数を簡単にする手順をまとめておきます。
三角関数のグラフを$-\pi \le x\le \pi$の範囲でイメージできればいける感じ。

最初に、以下のように記号を定める。
　　カッコ内の変数$\alpha$の符号：${\mathrm{sgn}}_{\mathrm{v}}$
　　カッコ内の定数の符号：${\mathrm{sgn}}_{\mathrm{s}}$
　　カッコ内の定数の絶対値：$\mathrm{abs}$

1. 参照するグラフを決める。
   　　関数が$\cos$ → $y=\cos x$のグラフ
   　　関数が$\sin$
   　　　　${\mathrm{sgn}}_{\mathrm{v}}=+1$ → $y=\sin x$のグラフ
   　　　　${\mathrm{sgn}}_{\mathrm{v}}=-1$ → $y=-\sin x$のグラフ
   $$
2. 参照すべきグラフの位置を決める。
   　　$\mathrm{abs}$から適当に$2\pi$を引く
   　　次のように$\mathrm{abs}$を変換する。変換に応じて新しい符号${\mathrm{sgn}}_{\mathrm{t}}$を導入する
   $$\mathrm{abs}=\frac{3}{2}\pi ,\frac{7}{2}\pi ⟹{\mathrm{sgn}}_{\mathrm{t}}=-1,{\mathrm{abs}}^{\prime }=\frac{1}{2}\pi$$
   $$\mathrm{abs}=\frac{1}{2}\pi ,\frac{5}{2}\pi ,\frac{9}{2}\pi ⟹{\mathrm{sgn}}_{\mathrm{t}}=1,{\mathrm{abs}}^{\prime }=\frac{1}{2}\pi$$
   $$\mathrm{abs}=0,\pi ⟹{\mathrm{sgn}}_{\mathrm{t}}=1,{\mathrm{abs}}^{\prime }=\mathrm{abs}$$
   最終的に、次の$p$を考える。
   $p=({\mathrm{sgn}}_{\mathrm{v}}\cdot {\mathrm{sgn}}_{\mathrm{s}}\cdot {\mathrm{sgn}}_{\mathrm{t}})\cdot {\mathrm{abs}}^{\prime }$
   $$
3. グラフを参照し、$x=p$の周辺を観察する
   　　山の頂点 → $\cos \alpha$
   　　上り坂 → $\sin \alpha$
   　　下り坂 → $-\sin \alpha$
   　　谷底 → $-\cos \alpha$

参照するグラフの種類と参照位置、結果を表にするとこんな感じ

例題

$$(1)\sin (-\theta +\pi )$$
$$(2)\sin (-\frac{7}{2}\pi -\alpha )$$

解答

定数部分が$\pi$の整数倍のときは
「$-\sin$（参照グラフ）の$1$（$\mathrm{abs}$） → $\sin$」⇒$\sin \left(\theta \right)$
定数部分が$\frac{\pi }{2}$の奇数倍のときは
「$-\sin$（参照グラフ）の$-$(${\mathrm{sgn}}_p$) → $\cos$」⇒$\cos \left(\alpha \right)$
みたいに唱えながら解けば、そのうち慣れる気がする。

微分・積分のはなし

$\sin (\pm x)$、$\cos (\pm x)$の微分は、元の関数の$x$に${\displaystyle x+\frac{\pi }{2}}$を代入する。

$\sin (\pm x)$、$\cos (\pm x)$の積分は、元の関数の$x$に${\displaystyle x-\frac{\pi }{2}}$を代入する。