n項冪乗和方程式

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はじめに

　こんにちはn=1です。今回は、冪乗の和を使った方程式についてやっていきます。

冪乗和の方程式とは

　冪乗和の方程式は今回冪乗の総和や指数の和ではなくこの記事内では
$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}^{x - k + 1} = a_{1} b_{1}^{x} + a_{2} b_{2}^{x - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{n - 1}^{x - n + 2} + a_{n} b_{n}^{x - n + 1}$ $(a_{n}, b_{n} \neq 0)$
とします。そして、解くときは解が0だと対数が取れないので1になるxを解くとします。また、項の数がn個あるときの冪乗和方程式をn項冪乗和方程式とします。

例

　それでは幾つかの例の冪乗和方程式を解きます。一つ目の例は $e^{x} + e^{x - 1} = 1$ です。これはふつうに $e^{x - 1}$ で括り
$e^{x} + e^{x - 1} = 1$
$e^{x - 1} (e + 1) = 1$
$x = 1 - \log (e + 1) 2$
となります。
　二つ目の例は $\sum_{k = 1}^{3} (2^{- k})^{x - k + 1} = 1$ です。これは $2^{- x} + 2^{- 2 (x - 1)} + 2^{- 3 (x - 2)}$ となり、例1と同じように括り
$\sum_{k = 1}^{3} (2^{- k})^{x - k + 1} = 2^{- x} + 2^{- 2 x + 2} + 2^{- 3 x + 6} = 1$
$2^{- 3 x} (2^{2 x} + 2^{x + 2} + 64) = 1$
$2^{3 x} - 2^{2 x} - 4 (2^{x}) - 64 = 0$
$2^{x} = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{883 - 6 \sqrt{21597}} + \sqrt[3]{883 - \sqrt{21597}})$
$x = \log_{2} (\frac{1}{3} (\sqrt[3]{883 - 6 \sqrt{21597}} + \sqrt[3]{883 - \sqrt{21597}}))$
が答えです。
　三つ目の例は $4^{x} + 3^{x - 1} 2 + 2^{x - 2} 3 = 1$ です。この式は $2^{x}$ で括ってみて
$4^{x} + 3^{x - 1} 2 + 2^{x - 2} 3 = 1$
$(2^{x})^{2} + \frac{2}{3} (2^{x})^{\log_{2} 3} + \frac{3}{4} (2^{x}) - 1 = 0$
この方程式は二次方程式に無理数乗の項が足されているので解けません。そして、この冪乗和方程式の大体はこのようになり解けません。

一般解

　解ける場合は少ないのですが、すべての $b_{n}$ が他の $b_{n}$ の有理数の冪乗で表せるときは項の数のn項冪乗和方程式になります。式で表すと
$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}^{x - k + 1} = a_{1} b_{1}^{x} + a_{2} b_{2}^{x - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{n - 1}^{x - n + 2} + a_{n} b_{n}^{x - n + 1} = 1$
$a_{1} b_{1}^{x} + a_{2} b_{2}^{x - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{n - 1}^{x - n + 2} + a_{n} b_{n}^{x - n + 1} = a_{1} b_{1}^{x} + a_{2} b_{1}^{(x - 1) \log_{b_{1}} b_{2}} + \dots + a_{n - 1} b_{1}^{(x - n + 2) \log_{b_{1}} b_{n - 1}} + a_{n} b_{1}^{(x - n + 1) \log_{b_{1}} b_{n}} = a_{1} b_{1}^{x} + \frac{a_{2}}{b_{2}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{2}} + \dots + \frac{a_{n - 1}}{b_{n - 1}^{n - 2}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{n - 1}} + \frac{a_{n}}{b_{n}^{n - 1}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{n - 1}} = 1$
$a_{1} b_{1}^{x} + \frac{a_{2}}{b_{2}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{2}} + \dots + \frac{a_{n - 1}}{b_{n - 1}^{n - 2}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{n - 1}} + \frac{a_{n}}{b_{n}^{n - 1}} (b_{1}^{x})^{\log_{b_{1}} b_{n - 1}} - 1 = 0$
で、 $b_{1}^{x}$ についての方程式を解き、 $b_{1}$ の対数を取ればxを求められます。