2026年 防衛医科大学校 医学教育部医学科 第4問

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1. 問題の構造

1.1 記法

• $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace$ とする。数列 $\lbrace x_n\rbrace$ の前進差分を $\Delta x_n=x_{n+1}-x_n$，$\Delta^2x_n=\Delta x_{n+1}-\Delta x_n$ と書く。
• 漸化式の係数を $c_n=4n-17$ とおき，その部分和を $\sigma_m=\sum_{j=1}^{m}c_j$（$m\geqq0$，$\sigma_0=0$）とする。等差数列の和より $\sigma_m=2m(m+1)-17m=m(2m-15)$ である。
• 補助数列 $\lbrace b_n\rbrace$ を $b_1=30$，$b_{n+1}=b_n+c_n$（$n\in\mathbb{N}$）で定める。$b_n=30+\sigma_{n-1}$ である。$b_n$ は $1/a_n$ を念頭に置いた数列であるが，その定義は $\lbrace a_n\rbrace$ と独立である。
• 実数 $c$ と $1+cx\neq0$ なる実数 $x$ に対し $\varphi_c(x)=\dfrac{x}{1+cx}$ とおく。問題の漸化式は $a_{n+1}=\varphi_{c_n}(a_n)$ と書ける。

1.2 一次分数変換の加法構造

漸化式の右辺は，分子が $a_n$ の単項式，分母が $a_n$ の一次式である。すなわち各更新は，原点を固定する一次分数変換 $\varphi_{c_n}$ である。この族について次が成り立つ。

1. は，逆数 $x\mapsto1/x$ による共役で $\varphi_c$ が平行移動 $y\mapsto y+c$ になることを述べている。したがって，$a_n$ が $0$ にならない限り $1/a_{n+1}=1/a_n+c_n$ であり，非線形な漸化式は階差 $c_n$ の累積に帰着する。(2) は，更新の合成がパラメータの加法で表されること（$\lbrace\varphi_c\rbrace$ が 1 パラメータ変換群をなすこと）を述べ，$n-1$ 回の更新が一つの変換 $\varphi_{\sigma_{n-1}}$ にまとまることを意味する。(3) は，各更新で値が増えるか減るかが現在の値によらず $c$ の符号だけで決まることを述べている。(1) は本解・別解2〜4・参考解1 の，(2) は参考解2 の，(3) は別解1 の出発点である。

1.3 定義可能性と正値性

問題文は，すべての $n$ について分母 $(4n-17)a_n+1$ が $0$ でないことを暗黙に前提している。$n\leqq4$ では $c_n < 0$ であるから，$a_1>0$ から正値性は自動的には伝播しない。実際，初期値だけを $a_1=\frac1{28}$ に変えると
$$ a_2=\frac1{15},\qquad a_3=\frac16,\qquad a_4=1,\qquad (4\cdot4-17)a_4+1=0 $$
となり，$a_5$ は定義されない。したがって正値性と定義可能性は仮定ではなく証明すべき事柄である。$\lbrace a_n\rbrace$ の存在を仮定して逆数をとる議論は循環的になりうるので，先に $\lbrace b_n\rbrace$ を独立に定め，次の補題で元の数列へ戻る。

$x\mapsto1/x$ は $(0,\infty)$ 上で狭義単調減少であるから， 補題2 の仮定のもとで「$a_n$ の最大化」と「$b_n$ の最小化」は同値である。本解・別解2〜4・参考解1 は，いずれも何らかの方法で $b_n\geqq2$ を示して 補題2 を適用する。別解1 は $\lbrace a_n\rbrace$ を直接扱い，最初の5項の計算と帰納法で正値性を確保する。参考解2 は 補題1 (2) によって同じことを行う。

1.4 増分の符号と情報の分離

係数 $c_n$ の値は
$$ c_n=-13,\ -9,\ -5,\ -1,\ 3,\ 7,\ 11,\ \ldots $$
であり，$c_n < 0\iff n\leqq4$，$c_n>0\iff n\geqq5$ である。$c_n=0$ となる自然数は存在しない（$17/4\notin\mathbb{Z}$）。
全項が正であれば， 補題1 (3) より
$$ a_{n+1}-a_n=-c_na_na_{n+1}=(17-4n)a_na_{n+1} $$
であり，隣接項の大小は $c_n$ の符号だけで決まる。ゆえに最大項の位置は $c_n$ の符号の切り替わりで決まり，初期値には依存しない。一方，最大値は初期値の逆数 $b_1=30$ と負の増分の総和 $\sigma_4=-28$ で決まる。本問で決定すべき事柄は，必要な情報によって次のように分離される。

1.5 二次構造と半整数のずれ

階差 $c_n$ が $n$ の一次式であるから，$b_n$ は $n$ の二次式である（導出は 3.1 節 ）。
$$ b_n=30+(n-1)(2n-17)=2n^2-19n+47=2\left(n-\frac{19}{4}\right)^2+\frac{15}{8}. $$
判別式は $19^2-8\cdot47=-15 < 0$ であり，$b_n$ は実数 $n$ に対しても正である。
ここには二つの特徴的な点がある。階差の零点 $n=\frac{17}{4}$ と，放物線の軸 $n=\frac{19}{4}$ である。$f(x)=2x^2-19x+47$ とおくと
$$ f(x+1)-f(x)=4x-17=f'\!\left(x+\frac12\right) $$
であり（二次式では厳密に成り立つ。 5.5 節 ），両者は $\frac12$ だけずれる。整数上の最小点は $c_{k-1} < 0 < c_k$ を満たす $k=\lfloor 17/4\rfloor+1=5$ であり，これは $\frac{19}{4}$ に最も近い整数と一致する。階差の零点 $\frac{17}{4}$ を丸めると誤った値 $4$ を得る。
さらに，任意の $m,n$ について
$$ b_n-b_m=2\left\lbrace\left(n-\frac{19}{4}\right)^2-\left(m-\frac{19}{4}\right)^2\right\rbrace=(n-m)\lbrace2(n+m)-19\rbrace $$
である。よって $b_n$ の大小は $\left\lvert n-\frac{19}{4}\right\rvert=\frac{\lvert4n-19\rvert}{4}$ の大小と一致する。$4n-19$ は奇数であり，$\lvert4n-19\rvert=\lvert4m-19\rvert$（$m\neq n$）は $m+n=\frac{19}{2}$ を要するから起こらない。したがって $a_n$ はすべて相異なり，全項の大小順は
$$ a_5 > a_4 > a_6 > a_3 > a_7 > a_2 > a_8 > a_1 > a_9 > a_{10} > \cdots $$
となる（ 3.5 節 ）。特に $b_n-2=\dfrac{(4n-19)^2-1}{8}=(n-5)(2n-9)$ であり，$b_n=2$ のもう一つの根 $\frac92$ は軸 $\frac{19}{4}$ に関して $5$ と対称な点である。この点が整数でないことが，最小点の一意性にほかならない。

1.6 作問の設計と解法の導出

以下は数値設定からの分析であり，出題者の意図についての推定を含む。

• 初期値の逆算：初期値を $a_1=x>0$ に変えると，同じ議論により $1/a_n=1/x+\sigma_{n-1}$ である。$\sigma_m\geqq-28$（等号は $m=4$ のみ）であるから，$0 < x < \frac1{28}$ ならば全項が正で，最大項は $x$ によらず第5項，最大値は $\dfrac{1}{1/x-28}=\dfrac{x}{1-28x}$ である。最大値を $M$ にするには $x=\dfrac{M}{1+28M}$ とすればよく，$M=\frac12$ で $x=\frac1{30}$ を得る。すなわち本問の数値は「$c_n$ の符号が第4項と第5項の間で変わるように係数を選び，最大値を $\frac12$ と定め，初期値を逆算する」ことで再現される。$x=\frac1{28}$ は $a_5$ が定義されなくなる特異値であり，$b_5=2$ はそこからの余裕を表す。
• 単位分数：$b_n$ はすべて $2$ 以上の整数であるから，$a_n=1/b_n$ はすべて単位分数である（$\frac1{30},\frac1{17},\frac18,\frac13,\frac12,\frac15,\ldots$）。最初の数項の直接計算が容易であり，別解1 が成立する。
• 一意性の保証：$17/4\notin\mathbb{Z}$ により $c_n\neq0$ である。ある $r$ で $c_r=0$ ならば $a_r=a_{r+1}$ となり，「第 $k$ 項」は一意に定まらない。
• 要求の最小性：問われるのは $k$ と $a_k$ だけであり，一般項は不要である。局所的な判定（階差の符号）で足りるかを見抜けるかが問われている。
• 誤答の誘因：$c_n$ の零点 $\frac{17}{4}$ を丸めると $4$ になり， 1.5 節 の半整数のずれを見落とすと誤る。また $a_1>0$ だけから正値性を結論すると論証に穴が残る（ 1.3 節 ）。
  各構造がどの解法を導くかを整理する。

  着目する構造	導かれる解法
  各更新の増減が $c_n$ の符号だけで決まる（ 補題1 (3)）	別解1
  逆数の階差 $\Delta b_n=c_n$ の符号変化	本解
  負の増分の総和 $-28$ による一様な下界	別解3
  任意の二項間の階差の和	別解4
  一般項が二次式	別解2，3.1 節
  減少量 $-\sigma_m$ が和一定の二数の積	参考解1
  変換の合成則（1 パラメータ変換群）	参考解2

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2. 本解：逆数の階差の符号

2.1 方針

補助数列 $\lbrace b_n\rbrace$ を $\lbrace a_n\rbrace$ と独立に定め，階差 $\Delta b_n=4n-17$ の符号から $b_n$ が第5項まで狭義減少し，以後狭義増加することを示す。$b_5=2$ を計算すれば，全項の正値性と最小値が同時に得られる。最後に $a_n=1/b_n$ を帰納的に確かめる。一般項は用いない。

2.2 解答

数列 $\lbrace b_n\rbrace$ を
$$ b_1=30,\qquad b_{n+1}=b_n+4n-17\quad(n\in\mathbb{N}) $$
で定める。

(i) 補助数列の増減

$b_{n+1}-b_n=4n-17$ は $1\leqq n\leqq4$ で負，$n\geqq5$ で正であるから
$$ b_1 > b_2 > b_3 > b_4 > b_5,\qquad b_5 < b_6 < b_7 < \cdots. $$
よって $n\neq5$ ならば $b_n>b_5$ である。

(ii) 最小値

$$ b_5=30+(-13)+(-9)+(-5)+(-1)=2. $$
ゆえにすべての $n\in\mathbb{N}$ で $b_n\geqq2>0$ であり，等号は $n=5$ のときに限る。

(iii) 元の数列への帰着

$n$ についての帰納法で，$a_n$ が定まり $a_n=1/b_n$ であることを示す。$a_1=\frac1{30}=\frac1{b_1}$ である。$a_n=1/b_n$ ならば
$$ (4n-17)a_n+1=\frac{4n-17+b_n}{b_n}=\frac{b_{n+1}}{b_n} > 0 $$
であるから $a_{n+1}$ は定まり，
$$ a_{n+1}=\frac{1/b_n}{b_{n+1}/b_n}=\frac1{b_{n+1}}. $$

(iv) 結論

$a_n=\dfrac1{b_n}\leqq\dfrac12$ であり，等号は $n=5$ のときに限る。よって最大項はただ一つ存在し，
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$

2.3 検証・検算

• 転換点：$b_5-b_4=c_4=-1 < 0$，$b_6-b_5=c_5=3>0$ であり，第5項が谷である。
• 一般項との照合：$2n^2-19n+47$ は $n=1,\ldots,9$ で表の $b_n$ に一致する（ 3.1 節 ）。
• 漸化式の分母：$(4n-17)a_n+1=b_{n+1}/b_n$ は $n=1,2,3,4$ で $\frac{17}{30},\frac{8}{17},\frac38,\frac23$（いずれも $1$ 未満）であり，$n=5$ で $\frac52$（$1$ 超）である。別解1 の増減判定と整合する。
• 初期値からの逆算： 1.6 節 の $\dfrac{x}{1-28x}$ に $x=\frac1{30}$ を代入すると $\dfrac{1/30}{2/30}=\dfrac12$ である。
• 一意性：$c_n=0$ となる自然数がないので，隣接二項が等しくなることはない。
• 漸近挙動：$a_n=\dfrac1{2n^2-19n+47}\sim\dfrac1{2n^2}\to0$ であり，第5項以降の単調減少と正値性に整合する。

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3. 別解と参考解

3.1 節は一般項の別導出，3.2〜3.5 節は高校数学の範囲で完結する別解，3.6 節は高校数学の範囲にあるが手順の多い参考解，3.7 節は変換群の観点に立つ参考解である。

3.1 一般項 $b_n$ の他の導出

着想・方針

階差が一次式なら一般項は二次式である。等差数列の和による導出（別解2）のほかに，二次式を仮定して係数を決める方法，和を中点での積分に置き換える方法，最小項を中心に展開する方法がある。いずれも答の数式は同じだが，現れる構造が異なる。

解答

(a) 未定係数法

$q(n)=An^2+Bn+C$ とおくと $\Delta q(n)=A(2n+1)+B=2An+(A+B)$ である。これが $4n-17$ に一致する条件から $A=2$，$B=-19$，さらに $q(1)=30$ から $C=47$ を得る。逆に $q(n)=2n^2-19n+47$ は $q(1)=30$，$\Delta q(n)=4n-17$ を満たすから，帰納法により $b_n=q(n)$ である。言い換えれば，$I_n=b_n-(2n^2-19n)$ は $\Delta I_n=(4n-17)-(4n-17)=0$ を満たす不変量で，$I_n=I_1=47$ である。

(b) 中点での積分

一次関数 $c(t)=4t-17$ に対しては $\int_{j-1/2}^{j+1/2}c(t)\,dt=c(j)$ が成り立つ（区間の中点での値が平均値に等しい）。よって
$$ \sigma_{n-1}=\sum_{j=1}^{n-1}c(j)=\int_{1/2}^{\,n-1/2}(4t-17)\,dt=\Bigl[2t^2-17t\Bigr]_{1/2}^{\,n-1/2}=2n^2-19n+17 $$
であり，$b_n=30+\sigma_{n-1}=2n^2-19n+47$ である。積分の上端が $n-\frac12$ であることが，軸 $\frac{19}{4}$ が零点 $\frac{17}{4}$ から $\frac12$ ずれる理由である。

(c) 最小項を中心とする展開

$b_5=2$ から左右へ階差を加える。整数 $t\geqq0$ に対して
$$ b_{5+t}=2+\sum_{i=0}^{t-1}(4i+3)=2+t(2t+1), $$
$1\leqq r\leqq4$ に対して
$$ b_{5-r}=2-\sum_{j=5-r}^{4}c_j=2+\sum_{i=1}^{r}(4i-3)=2+r(2r-1) $$
である。後者は前者で $t=-r$ としたものに等しいから，$t\geqq-4$ なるすべての整数で $b_{5+t}=2+t(2t+1)$ が成り立つ。$t=n-5$ とおけば $b_n=2+(n-5)(2n-9)=2n^2-19n+47$ である。三角数 $T_r=\frac{r(r+1)}{2}$ を用いると $b_{5+t}=2+T_{2t}$（$t\geqq0$），$b_{5-r}=2+T_{2r-1}$ と表せる。

検証・検算

• (a)(b)(c) の結果は一致し，$n=1$ で $30$，$n=5$ で $2$ を与える。
• (c) で $t=-4$ とすると $2+(-4)(-7)=30=b_1$ である。
• (b) の被積分関数を $c(t)$ のまま上端 $n$ まで積分する誤り（$\int_1^{n}$）は， 5.5 節 の連続化の落とし穴と同じ構造である。

3.2 別解1：元の数列の隣接項比較

着想・方針

補題1 (3) により，$a_n>0$ かつ $1+c_na_n>0$ ならば，$a_{n+1}>a_n$ と $c_n < 0$ は同値である。$n\leqq4$ では分母の正値性が自動的には従わない（ 1.3 節 ）ので，最初の5項を直接計算する。$n\geqq5$ では $c_n>0$ により分母が $1$ を超えることを帰納的に示す。逆数も補助数列も用いない。

解答

漸化式に従って計算すると
$$ \begin{aligned} a_2&=\frac{1/30}{1-13/30}=\frac{1/30}{17/30}=\frac1{17},\\ a_3&=\frac{1/17}{1-9/17}=\frac{1/17}{8/17}=\frac18,\\ a_4&=\frac{1/8}{1-5/8}=\frac{1/8}{3/8}=\frac13,\\ a_5&=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1/3}{2/3}=\frac12. \end{aligned} $$
各分母 $\frac{17}{30},\frac{8}{17},\frac38,\frac23$ は $0$ と $1$ の間にあるから，$n=1,2,3,4$ で $a_{n+1}>a_n>0$ であり，
$$ 0 < a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5=\frac12. $$
次に，$n\geqq5$ について「$a_n$ が定まり $a_n>0$」を帰納法で示す。$n=5$ では成り立つ。$n\geqq5$ で成り立つとすると，$4n-17\geqq3>0$ より $(4n-17)a_n+1>1$ であるから，$a_{n+1}$ は定まり
$$ 0 < a_{n+1}=\frac{a_n}{(4n-17)a_n+1} < a_n. $$
よって $a_5 > a_6 > a_7 > \cdots > 0$ である。以上より $a_n$ は第5項でただ一つの最大値をとり，
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$

検証・検算

• 分母 $\frac{17}{30},\frac{8}{17},\frac38,\frac23$ は $b_{n+1}/b_n$ に一致し，本解と整合する。
• $a_6=\dfrac{1/2}{1+3/2}=\dfrac15$ である。差の恒等式 $a_{n+1}-a_n=(17-4n)a_na_{n+1}$ を $n=4,5$ で確かめると，$\frac12-\frac13=\frac16=1\cdot\frac13\cdot\frac12$，$\frac15-\frac12=-\frac3{10}=(-3)\cdot\frac12\cdot\frac15$ である。
• $a_5>a_6$ だけでは最大性は示されない。$n\geqq5$ のすべてで減少することを帰納法で保証している。

3.3 別解2：一般項と整数上の二次式最小化

着想・方針

逆数の漸化式を最後まで解き，正の二次式を自然数上で最小化する。実数上の最小点（軸）と整数上の最小点を区別することが要点である。

解答

階差を加えて
$$ b_n=30+\sum_{j=1}^{n-1}(4j-17)=30+2n(n-1)-17(n-1)=2n^2-19n+47. $$
平方完成すると
$$ b_n=2\left(n-\frac{19}{4}\right)^2+\frac{15}{8}=2\left(\frac{4n-19}{4}\right)^2+\frac{15}{8} $$
であり，$b_n>0$ である。よって 補題2 により $a_n=\dfrac1{2n^2-19n+47}$ であり，$a_n$ の最大化は $b_n$ の最小化と同値である。
$b_n$ は $\lvert4n-19\rvert$ の狭義増加関数である。$4n-19$ は奇数であるから $\lvert4n-19\rvert\geqq1$ であり，等号は $4n-19=\pm1$，すなわち $n=5$ または $n=\frac92$ のときに限るが，後者は自然数でない。ゆえに
$$ b_n\geqq2\cdot\frac1{16}+\frac{15}{8}=2 $$
であり，等号は $n=5$ のときに限る。したがって
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$

検証・検算

• $n=1$ で $2-19+47=30$，また $\Delta(2n^2-19n+47)=4n-17$ である。
• $n=4$ では $\lvert4n-19\rvert=3$ で $b_4=2\cdot\frac9{16}+\frac{15}8=3$ である。
• 実数上の最小値 $\frac{15}{8}$ は $n=\frac{19}{4}$ でとられ，整数上では達成されない。整数上の最小値は $2$ である。
• 因数分解 $b_n-2=(n-5)(2n-9)$ による確認は 3.5 節 と同じ式を与える。

3.4 別解3：負の増分の総和による下界

着想・方針

最小項の位置を先に探さず，すべての項に共通する下界を直接構成し，その等号成立条件から最小項を決める。部分和 $\sigma_m$ が最も小さくなるのは，負の増分をすべて取り込み，正の増分をまだ一つも取り込んでいないときである。この状態からの隔たりを二つの非負量に分解する。

解答

$c_j < 0\iff j\leqq4$，$c_j>0\iff j\geqq5$ であり，$\sigma_4=-13-9-5-1=-28$ である。整数 $m\geqq0$ に対して
$$ P_m=\sum_{j=5}^{m}c_j,\qquad R_m=\sum_{j=m+1}^{4}(-c_j) $$
とおく（空和は $0$）。各項の符号から $P_m\geqq0$，$R_m\geqq0$ であり，$P_m=0\iff m\leqq4$，$R_m=0\iff m\geqq4$ である。$m\leqq4$ ならば $\sigma_m=\sigma_4-\sum_{j=m+1}^{4}c_j=-28+R_m$，$m\geqq4$ ならば $\sigma_m=\sigma_4+\sum_{j=5}^{m}c_j=-28+P_m$ であるから，いずれの場合も
$$ \sigma_m=-28+P_m+R_m. $$
よって
$$ b_n=30+\sigma_{n-1}=2+P_{n-1}+R_{n-1}\geqq2 $$
であり，等号は $P_{n-1}=R_{n-1}=0$，すなわち $n-1=4$ のときに限る。 補題2 により $a_n=1/b_n\leqq\frac12$ であり，等号は $n=5$ のときに限る。
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$

検証・検算

• 負の増分の絶対値の和は $13+9+5+1=4\cdot\frac{13+1}{2}=28$ である。
• 4個の負の増分をすべて取り込んだ時点は第4項ではなく第5項（更新回数 $m=4$，項番号 $m+1$）である。
• $m=3$ では $R_3=1$，$P_3=0$ で $b_4=3$，$m=5$ では $P_5=3$，$R_5=0$ で $b_6=5$ である。
• $b_{m+1}=2+P_m+R_m$ は，点 $(P_m,R_m)$ の原点からの $\ell^1$ 距離に $2$ を加えたものと読める。この点は $m=4$ でのみ原点に達する。

3.5 別解4：任意の二項の比較

着想・方針

一般項を求める代わりに，任意の二項の間の階差の和を計算する。第5項を候補とし，他のすべての項との差が正であることを示す。最大項の決定より強い，全項の大小順まで得られる。

解答

$m < n$ のとき，$j=m,\ldots,n-1$ の $n-m$ 項の等差数列の和として
$$ b_n-b_m=\sum_{j=m}^{n-1}(4j-17)=(n-m)\cdot\frac{(4m-17)+(4n-21)}{2}=(n-m)\lbrace2(m+n)-19\rbrace. $$
$m=n$ では両辺とも $0$ であり，$m$ と $n$ を入れ替えると両辺とも符号だけが変わるから，この等式はすべての $m,n\in\mathbb{N}$ で成り立つ。
$b_5=30-13-9-5-1=2$ であり，$m=5$ とすると
$$ b_n-2=(n-5)(2n-9). $$
$n\leqq4$ では $n-5\leqq-1$，$2n-9\leqq-1$ であるから積は $1$ 以上，$n\geqq6$ では $n-5\geqq1$，$2n-9\geqq3$ であるから積は $3$ 以上である。よって $b_n\geqq2$ であり，等号は $n=5$ のときに限る。 補題2 により
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$
さらに，$m < n$ のとき $2(m+n)-19$ は奇数で $0$ にならないから
$$ a_n>a_m\iff b_n < b_m\iff m+n\leqq9 $$
が成り立つ。これから全項の大小順 $a_5 > a_4 > a_6 > a_3 > a_7 > a_2 > a_8 > a_1 > a_9 > a_{10} > \cdots$ が従う。

検証・検算

• $n=4,6$ で $b_n-2=1,3$，すなわち $b_4=3$，$b_6=5$ である。
• $(m,n)=(1,8)$ では $b_8-b_1=7\cdot(-1)=-7$（$b_8=23$），$(m,n)=(1,9)$ では $b_9-b_1=8\cdot1=8$（$b_9=38$）であり，$a_8>a_1>a_9$ に整合する。
• $(n-m)\lbrace2(m+n)-19\rbrace=2\left\lbrace\left(n-\frac{19}{4}\right)^2-\left(m-\frac{19}{4}\right)^2\right\rbrace$ であり，別解2 の平方完成と一致する。

3.6 参考解1：和が一定の二数の積と整数条件

着想・方針

初期値からの減少量 $D_m=-\sigma_m=m(15-2m)$ を，展開せずに一次因子の積のまま扱う。$2D_m=X\cdot Y$（$X=2m$，$Y=15-2m$）とすると $X+Y=15$ は一定であり，相加平均・相乗平均の不等式が使える。実数上の上界を整数条件で鋭くし，等号条件から最小項を決める。

解答

$b_n=30-D_{n-1}$ であるから，整数 $m\geqq0$ における $D_m$ の最大値を求めればよい。
$m\geqq8$ では $m>0$，$15-2m < 0$ より $D_m < 0$ である。$0\leqq m\leqq7$ では $X=2m\geqq0$，$Y=15-2m\geqq1$ であり，相加平均・相乗平均の不等式より
$$ 2D_m=XY\leqq\left(\frac{X+Y}{2}\right)^2=\frac{225}{4},\qquad D_m\leqq\frac{225}{8}=28+\frac18. $$
$D_m$ は整数であるから $D_m\leqq28$ である。等号 $D_m=28$ は $XY=56$，$X+Y=15$，すなわち $X,Y$ が $u^2-15u+56=(u-7)(u-8)=0$ の2解であることと同値であり，$\lbrace X,Y\rbrace=\lbrace7,8\rbrace$ を得る。$X=2m$ は偶数であるから $X=8$，$m=4$ に限る。$m\geqq8$ では $D_m < 0 < 28$ であるから，すべての整数 $m\geqq0$ で $D_m\leqq28$ が成り立ち，等号は $m=4$ のときに限る。
よって $b_n=30-D_{n-1}\geqq2$ であり，等号は $n=5$ のときに限る。 補題2 により
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$

検証・検算

• $D_3=3\cdot9=27$，$D_4=4\cdot7=28$，$D_5=5\cdot5=25$ である。
• 実数上の等号条件 $X=Y=\frac{15}{2}$ は $m=\frac{15}{4}$，すなわち $n=\frac{19}{4}$（放物線の軸）に対応し，整数条件を満たさない。上界 $\frac{225}{8}$ をそのまま最大値としてはならない。
• 相加平均・相乗平均の不等式は $X,Y\geqq0$ を要するので，$Y < 0$ となる $m\geqq8$ を先に除外している。
• 上界の整数化には「$X$ が偶数ゆえ $XY$ は偶数で $XY\leqq56$」としてもよい。$D_m$ の整数性を用いる方が短い。

3.7 参考解2：一次分数変換の合成と累積パラメータ

着想・方針

補題1 (2) により，更新の合成はパラメータの加法で表される。よって $a_n=\varphi_{\sigma_{n-1}}\!\left(\frac1{30}\right)$ であり，
$$ \psi(t)=\varphi_t\!\left(\frac1{30}\right)=\frac1{30+t}\qquad(t>-30) $$
は狭義単調減少であるから，$a_n$ の最大化は累積パラメータ $\sigma_{n-1}$ の最小化に帰着する。$\psi$ は微分方程式 $\psi'=-\psi^2$，$\psi(0)=\frac1{30}$ の解であり，数列 $\lbrace a_n\rbrace$ はこの単調な曲線を時刻 $\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\ldots=0,-13,-22,-27,-28,-25,-18,-7,8,\ldots$ で観測したものである。時刻は一度後退してから前進に転じ，その折り返しの瞬間に $a_n$ は最大となる。

解答

$\sigma_m=m(2m-15)=\dfrac{(4m-15)^2-225}{8}$ であり，$4m-15$ は奇数であるから $(4m-15)^2\geqq1$，等号は $4m-15=\pm1$，すなわち $m=4$（$m=\frac72$ は整数でない）のときに限る。よって
$$ \sigma_m\geqq\frac{1-225}{8}=-28\qquad(m\geqq0) $$
であり，等号は $m=4$ のときに限る。特に $30+\sigma_m\geqq2>0$ である。
$n$ についての帰納法で「$a_n$ が定まり $a_n=\varphi_{\sigma_{n-1}}(1/30)$」を示す。$n=1$ では $\varphi_0(1/30)=1/30$ である。$n$ で成り立つとし， 補題1 (2) を $x=\frac1{30}$，$t=\sigma_{n-1}$，$s=c_n$ に適用する。$1+tx=\frac{30+\sigma_{n-1}}{30}>0$，$1+(s+t)x=\frac{30+\sigma_n}{30}>0$ であるから，分母 $1+c_na_n$ は正で
$$ a_{n+1}=\varphi_{c_n}\bigl(\varphi_{\sigma_{n-1}}(1/30)\bigr)=\varphi_{\sigma_n}(1/30). $$
ゆえに $a_n=\psi(\sigma_{n-1})\leqq\psi(-28)=\frac12$ であり，等号は $n-1=4$ のときに限る。
$$ \boxed{k=5,\qquad a_k=\frac12} $$
合成則は行列で計算することもできる。$\varphi_c$ に $M(c)=\begin{pmatrix}1&0\\ c&1\end{pmatrix}$ を対応させると $M(s)M(t)=M(s+t)$ であり，
$$ M(c_{n-1})\cdots M(c_1)\begin{pmatrix}1\\ 30\end{pmatrix}=M(\sigma_{n-1})\begin{pmatrix}1\\ 30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 30+\sigma_{n-1}\end{pmatrix} $$
の成分比として $a_n=\dfrac{1}{30+\sigma_{n-1}}$ を得る。

検証・検算

• $\psi(\sigma_0),\ldots,\psi(\sigma_8)$ は $\frac1{30},\frac1{17},\frac18,\frac13,\frac12,\frac15,\frac1{12},\frac1{23},\frac1{38}$ であり， 2.3 節 の表に一致する。
• $\varphi_s\circ\varphi_t=\varphi_t\circ\varphi_s$ であるから，有限個の更新を終えた後の値は更新の順序によらない。途中の値は順序に依存する（ 5.7 節 ）。
• $1/\varphi_t(x)=1/x+t$ であるから，本解は参考解2 を逆数で共役したものである。参考解2 は新しい情報を与えるのではなく，逆数をとる変形が有効である理由を説明する（ 5.2 節 ）。

3.8 同じ系列に属する変形

以下は独立の解法とは数えず，既出の解法の表現違いまたは部分的な短縮として扱う。

別解1 の系列

• 差の恒等式 $a_{n+1}-a_n=(17-4n)a_na_{n+1}$ による符号判定。全項の正値性を先に確立してから用いる。
• 比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac1{1+c_na_n}=\dfrac{b_n}{b_{n+1}}$ と $1$ の比較。
• グラフによる判定：$x>0$ で $y=\varphi_c(x)$ のグラフが直線 $y=x$ の下にあることと $c>0$ は同値である。クモの巣図法による増減の読み取りは別解1 そのものである。
• 最大項から左右へ：$n\leqq4$ で $a_n=\dfrac{a_{n+1}}{1+(17-4n)a_{n+1}}$ を用いて第5項から遡る方法。ただし $a_5$ を求めるには前進方向の計算が必要であり，別解1 と同じ情報を逆順にたどるにすぎない。

本解の系列

• 離散凸性：$\Delta^2b_n=4>0$ と 補題4 により，$c_{k-1} < 0 < c_k$，すなわち $\frac{17}{4} < k < \frac{21}{4}$ を満たす $k=5$ が唯一の最小点である。本解の論証を抽象化したものである。
• 等加速度運動の折り返し点：$b_n$ を位置，$\Delta b_n$ を速度とみると加速度は一定値 $4$ であり，速度が負から正に変わる時刻が最小位置である。
• $a_n>0$ と $1/a_n$ の凸性から単峰性を導く議論（ 5.4 節 ）。

別解2 の系列

• 因数分解 $b_n-2=(n-5)(2n-9)=\dfrac{(2n-10)(2n-9)}{2}$。連続する二整数の積は非負であり，$0$ となるのは $2n-10=0$ のときに限る。
• $b_n-2=\dfrac{(4n-19)^2-1}{8}$。奇数の平方は $1$ 以上である。
• 中心からの展開 $b_{5+t}=2+t(2t+1)$（ 3.1 節 (c)）。整数 $t$ に対して $t(2t+1)\geqq0$，等号は $t=0$ のみ。
• 半整数のずれ：軸は階差の零点に $\frac12$ を加えた位置にある（ 1.5 節 ）。
• 複素数平面上の距離：$z_0=\dfrac{19+i\sqrt{15}}{4}$ とおくと $b_n=2\lvert n-z_0\rvert^2$ であり，実軸上の整数点のうち $z_0$ に最も近いものを選ぶ問題になる。
• $f(x)=2x^2-19x+47$ の微分による最小点 $x=\frac{19}{4}$ の決定と，整数への移行。

別解3 の系列

• $b_{m+1}=2+\lVert(P_m,R_m)\rVert_1$ という $\ell^1$ 距離による表示。
• 更新順序の並べ替え：増分を小さい順に並べると各時刻の部分和が同時に最小になる（ 5.7 節 ）。

別解4 の系列

• $b_n-b_m=2\left\lbrace\left(n-\frac{19}{4}\right)^2-\left(m-\frac{19}{4}\right)^2\right\rbrace$ による，軸からの距離での順序付け。
• 三角数表示 $b_{5+t}=2+T_{2t}$，$b_{5-r}=2+T_{2r-1}$ による全項の大小順。値 $2+T_0,2+T_1,\ldots,2+T_8$ が添字 $5,4,6,3,7,2,8,1,9$ に交互に割り当てられる。

参考解2 の系列

• 行列 $M(c)$ の積，射影座標 $a_n=u_n/v_n$ による線形化，双線形形式 $u_nv_{n+1}-u_{n+1}v_n=c_nu_nu_{n+1}$（ 5.3 節 ）。
• 不変量 $\dfrac1{a_n}-(2n^2-19n)=47$。
• 曲線 $\psi$（$\psi'=-\psi^2$）を時刻 $\sigma_{n-1}$ で観測するという解釈。

採用しなかったもの

• 漸化式を微分方程式 $\dfrac{da}{dn}=-(4n-17)a^2$ に置き換える方法：$\dfrac1a=2n^2-17n+45$ となり，$n=4,5$ で値 $9,10$ を与えて $k=4$ という誤った結論に至る。差分を微分に置き換える操作は同値変形ではない（ 5.5 節 ）。
• 電気回路（抵抗の直列接続），離散 Poisson 方程式，母関数，三角関数・初等幾何による表現：いずれも加法構造 $b_{n+1}=b_n+c_n$ の言い換えにとどまり，新たな拘束条件を与えない。
• 確率・オッズによる解釈：増分 $c_n$ が符号を変えるため，自然な確率モデルを構成できない。

3.9 解法の比較

試験場での第一選択は本解である。一つの式 $\Delta b_n=4n-17$ から位置が決まり，$b_5=2$ の計算で値と正値性が同時に確定する。逆数に気付かなければ別解1 で完答できる。別解3・別解4 は局所的な増減を経由せず大域的な不等式を直接示すので，符号が複数回変わる類題にも拡張しやすい。別解2 は数列全体の情報を与え，参考解1 は二次式の最適化を不等式の問題として読み替える。
すべての解法は一つの原理，すなわち「$\lbrace\varphi_c\rbrace$ の加法構造（ 補題1 ）と正値性」に基づく。違いは $\min_m\sigma_m$ をどう証明するかにあり，局所的な符号（本解・別解1），一様な下界（別解3），候補との比較（別解4），明示的な二次式（別解2），相加平均・相乗平均の不等式（参考解1），変換群のパラメータ（参考解2）に分かれる。

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4. 汎用的な探索手順

4.1 意思決定の流れ

1. 要求を確認する。一般項が問われているのか，極値の位置と値だけが問われているのかを区別する。後者なら，隣接項の差・比の符号を先に調べる。
2. 漸化式の型を同定する。$a_{n+1}=\dfrac{\alpha_na_n+\beta_n}{\gamma_na_n+\delta_n}$ 型で，すべての更新が共通の固定点 $p$ をもつならば，座標 $y=\dfrac1{a-p}$ で各更新は一次関数 $y\mapsto\mu_ny+\nu_n$ になる。さらにすべてが $p$ のみを固定する放物型（$\mu_n=1$）ならば平行移動になり，漸化式は階差型になる。共通の固定点が二つ $p\neq q$ あれば，座標 $w=\dfrac{a-p}{a-q}$ で乗法型 $w\mapsto\lambda_nw$ になる。本問は $p=0$，$\mu_n=1$ の場合である。
3. 定義域と符号を確保する。変換後の数列を独立に定義し，その正値性（零にならないこと）を示してから元の数列へ戻す（ 補題2 ）。初期値の符号だけから後続項の符号を結論しない。
4. 局所判定で足りるかを調べる。増分の符号が負から正へ一度だけ変わり，正値性が確保されていれば，転換点が唯一の極値である。増分が $0$ になる添字があれば極値は二つになる。
5. 必要なら大域評価へ切り替える。増分の符号が何度も変わる場合，最初の転換点は大域的な極値とは限らない（ 4.3 節 ）。累積和の一様な下界と等号条件，候補 $k$ との差 $b_n-b_k$ の符号，一般項による評価のいずれかで大域性を示す。
6. 整数性を最後まで保つ。連続変数での最小点（二次式の軸，相加平均・相乗平均の等号条件）が整数とは限らない。差分の零点と軸の $\frac12$ のずれに注意する。
7. 等号成立と一意性を確認する。上界・下界を示すだけでなく，それが達成されること，達成される添字が一つであることを示す。
8. 検算する。初期条件と階差の再現，転換点前後の値，初期値からの逆算，漸近挙動を確かめる。

4.2 症状と有効な表現

4.3 局所判定が通用しない例

増分を $d_1=-3$，$d_2=2$，$d_3=-4$，$d_j=j$（$j\geqq4$）とすると，部分和は
$$ s_0=0,\quad s_1=-3,\quad s_2=-1,\quad s_3=-5,\quad s_4=-1,\quad s_5=4,\quad\ldots $$
である。$m=1$ は局所最小であるが大域最小ではなく，大域最小は $m=3$ の $-5$ である。また負の部分の総和は $3+4=7$ であるが，$-7$ は達成されない。符号の並びが「非正のものが先，非負のものが後」になっていないからである（ 定理5 ）。本問で局所判定と負の増分の総和の評価がともに鋭いのは，$c_n$ が単調増加で符号変化が一度だけだからである。

4.4 類題設計への応用

係数を $c_n=\alpha n-\beta$（$\alpha>0$，$r=\beta/\alpha>0$，$r\notin\mathbb{Z}$）とすると，負の増分は $n\leqq\lfloor r\rfloor$ に限られ，最大項は第 $\lfloor r\rfloor+1$ 項である。負の部分の総和を $N=\sum_{j=1}^{\lfloor r\rfloor}(\beta-\alpha j)$ とし，最大値に $M>0$ を指定したければ
$$ a_1=\frac{M}{1+NM} $$
とすればよい。このとき $b_1=\frac1M+N$，$b_{\lfloor r\rfloor+1}=\frac1M>0$ であり，正値性は自動的に保たれる。本問は $\alpha=4$，$\beta=17$，$r=\frac{17}{4}$，$N=28$，$M=\frac12$ の場合で，$a_1=\frac{1/2}{15}=\frac1{30}$ を与える。$\frac1M$ と $\alpha,\beta$ を整数にとれば全項が単位分数になる。$r\in\mathbb{Z}$ とすると $c_r=0$ により最大項が二つになり，問題として不適切になる。

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5. 発展事項

5.1 高校数学と一般理論の境界

本解・別解1〜4・参考解1 と 3.1 節は左欄の範囲で完結する。右欄は，それらの計算が成り立つ理由を説明する理論である。

5.2 一次分数変換群と標準座標

実数を成分とする正則な $2\times2$ 行列 $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{pmatrix}$ は $x\mapsto\dfrac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}$ により $\mathbb{R}\cup\lbrace\infty\rbrace$ に作用し，スカラー倍の違いを同一視した群 $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$ が一次分数変換全体をなす。$\varphi_c$ には $M(c)=\begin{pmatrix}1&0\\ c&1\end{pmatrix}$ が対応し，$M(s)M(t)=M(s+t)$ であるから $\lbrace M(c)\rbrace$ は 1 パラメータ部分群である。$N=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}$ とすると $N^2=O$ より $M(c)=I+cN=\exp(cN)$ である。$c\neq0$ のとき $\operatorname{tr}M(c)=2$ で，$\varphi_c$ の固定点は $0$ のみである（放物型）。
$x\mapsto1/x$ に対応する $J=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$ で共役をとると
$$ JM(c)J=\begin{pmatrix}1&c\\ 0&1\end{pmatrix} $$
となり，$\varphi_c$ は平行移動 $y\mapsto y+c$ に移る。係数 $c_n$ が $n$ ごとに変わっても，すべての $M(c_n)$ が一つの可換な部分群に属するため，同時に平行移動へ変換できる。これが非自励的な（係数が $n$ に依存する）漸化式が解ける理由である。
また $\dfrac{\partial}{\partial c}\varphi_c(x)=-\varphi_c(x)^2$ であるから，$t\mapsto\varphi_t(x)$ は微分方程式 $\dot y=-y^2$ の解であり，$\lbrace\varphi_c\rbrace$ はベクトル場 $V=-x^2\dfrac{d}{dx}$ の流れである。流れが平行移動になる座標 $u$ は $V u=1$，すなわち $-x^2u'(x)=1$ を満たし，$u=\dfrac1x+\text{定数}$ となる（標準座標）。微分可能性を仮定しなくても，次の一意性が成り立つ。

すなわち，すべての $\varphi_c$ を $c$ に比例する平行移動へ同時に変換する座標は，$1/x$ の一次関数に限られる。逆数をとる変形は，この意味で本質的に唯一の加法化である。これは他の解法の不存在を主張するものではなく，線形化する座標の選択についての主張である。

5.3 離散 Riccati 方程式と双線形形式

$a_{n+1}=\dfrac{\alpha_na_n+\beta_n}{\gamma_na_n+\delta_n}$ の形の漸化式は離散 Riccati 方程式と呼ばれる。$a_n=u_n/v_n$ とおき
$$ \begin{pmatrix}u_{n+1}\\ v_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n\\ \gamma_n&\delta_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix} $$
と定めれば，比 $u_n/v_n$ は元の漸化式を満たす。非線形の一階漸化式は二次元の線形漸化式に帰着する。本問では係数行列が $M(c_n)$ であり，$u_{n+1}=u_n$，$v_{n+1}=c_nu_n+v_n$ である。$u_n\equiv1$ とすれば $v_n=b_n$ となる。
表示 $a_n=u_n/v_n$ には $(u_n,v_n)\mapsto(\lambda_nu_n,\lambda_nv_n)$ という自由度があるが，どの表示でも
$$ u_nv_{n+1}-u_{n+1}v_n=c_nu_nu_{n+1} $$
が成り立つ（$\frac{v_{n+1}}{u_{n+1}}-\frac{v_n}{u_n}=c_n$ の分母を払ったもの）。未知量を二つの量の比に分けて双線形な関係式に直す操作は，可積分系における広田の双線形化法と同じ発想である。
連続版では，Riccati 方程式 $y'=q_0(t)+q_1(t)y+q_2(t)y^2$ が $y=-\dfrac{w'}{q_2w}$ により二階線形微分方程式に帰着する。$q_0=q_1=0$ の場合は $z=1/y$ により $z'=-q_2$ となり，参考解2 の $\psi'=-\psi^2$ は $(1/\psi)'=1$ に対応する。

5.4 離散凸性と単峰性

本問では $x_n=b_n$，$\Delta b_n=4n-17$，$\Delta^2b_n=4$ であり，$\Delta b_4=-1 < 0 < 3=\Delta b_5$ から $k=5$ が唯一の最小点である。狭義の凸性 $\Delta^2x_n>0$ だけでは最小点は一意とは限らない。$\Delta x_r=0$ となる $r$ があれば $x_r=x_{r+1}$ がともに最小となりうる。
正数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について $\lbrace1/a_n\rbrace$ が凸ならば，$\Delta(1/a_n)$ は単調非減少であるから $1/a_n$ は減少から増加へ高々一度しか転じず，$a_n$ は単峰的である。一方，$a_n^2\geqq a_{n-1}a_{n+1}$（対数凹性）ならば $-\log a_n$ が凸であり，その指数 $1/a_n$ も凸である。逆は成り立たない。本問の数列は $1/a_n$ が凸であるが
$$ a_6^2=\frac1{25} < \frac1{24}=a_5a_7 $$
であり，対数凹ではない。連続関数に対しては，$s < 0$ のとき $f^s$ が凸であることを $s$ 凹性と呼び（$s=0$ は対数凹性），$s$ 凹ならば $t\leqq s$ なるすべての $t$ について $t$ 凹である（Borell，Brascamp–Lieb）。本問の $\lbrace a_n\rbrace$ は，この階層の $s=-1$ に相当する性質の離散版をもち，$s=0$ の性質はもたない。

5.5 差分と微分：中点公式と連続化の落とし穴

$f$ が $C^3$ 級ならば，$x+\frac12$ を中心とする Taylor 展開により，ある $\xi\in(x,x+1)$ が存在して
$$ f(x+1)-f(x)=f'\!\left(x+\frac12\right)+\frac{f'''(\xi)}{24} $$
が成り立つ。$f$ が二次以下の多項式ならば誤差項は $0$ である。本問の $f(x)=2x^2-19x+47$ では $\Delta f(n)=4n-17=f'(n+\frac12)$ であり，階差の零点 $\frac{17}{4}$ と軸 $\frac{19}{4}$ のずれ $\frac12$ はこの公式から生じる。整数上の最小点は $\lfloor17/4\rfloor+1$ であり，$\frac{19}{4}$ に最も近い整数である。
同じことは和と積分の関係としても表せる。一次関数 $c(t)$ では $\sum_{j=1}^{n-1}c(j)=\int_{1/2}^{\,n-1/2}c(t)\,dt$ が厳密に成り立つ（ 3.1 節 (b)）。これに対し，差分を微分に置き換えた $\dfrac{d}{dn}\left(\dfrac1a\right)=4n-17$ を解くと $\dfrac1a=2n^2-17n+45$ となり，軸は $\frac{17}{4}$，予測される最大項は第4項となって誤る。和と積分の端点補正は一般には Euler–Maclaurin の公式が与える。
一方，数列を連続な流れに厳密に埋め込むこともできる。参考解2 のとおり $a_n=\psi(\sigma_{n-1})$，$\psi'=-\psi^2$ であり，連続な時間の役割を果たすのは添字 $n$ ではなく累積パラメータ $\sigma_{n-1}$ である。

5.6 整数上の凸二次最小化

一変数の凸二次関数を整数上で最小化するには，軸に最も近い整数を選べばよい。軸が半整数のときに限り最小点は二つになり，これは階差の零点が整数であること（$c_r=0$）と同値である。平方完成 $b_n=2\left(n-\frac{19}{4}\right)^2+\frac{15}{8}$ は，複素数 $z_0=\frac{19+i\sqrt{15}}{4}$ を用いて $b_n=2\lvert n-z_0\rvert^2$ とも書け，実軸上の整数点と $z_0$ との距離の最小化と見ることもできる。
多変数では事情が異なる。正定値二次形式 $Q$ について $Q(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0)$ を整数点 $\boldsymbol{z}\in\mathbb{Z}^d$ 上で最小化する問題は格子の最近ベクトル問題であり，連続最小点 $\boldsymbol{z}_0$ の各成分を丸めても最小点が得られるとは限らない。一般の次元ではこの問題は NP 困難である（van Emde Boas，1981）。本問の「軸に最も近い整数」は，一変数に特有の単純さに依っている。

5.7 符号付き増分の累積和と更新順序

別解3 の議論は次の一般的な形にまとめられる。

本問では $d_j=c_j$，$N=28$ であり，等号条件を満たす $m$ は $4$ のみである。 4.3 節 の例では等号条件を満たす $m$ が存在せず，下界 $-N$ は達成されない。
また，$d_1\leqq d_2\leqq\cdots\leqq d_L$ ならば，$\lbrace1,\ldots,L\rbrace$ の任意の置換 $\pi$ と $0\leqq m\leqq L$ に対して
$$ \sum_{j=1}^{m}d_j\leqq\sum_{j=1}^{m}d_{\pi(j)} $$
が成り立つ（左辺は $m$ 個の最小のものの和である）。$\varphi_s\circ\varphi_t=\varphi_t\circ\varphi_s$ であるから，最初の $L$ 回の更新をどの順序で行っても $L$ 回後の値は変わらない。しかし途中の値は順序に依存し，本問の順序（$c_n$ の小さい順）は，すべての時刻で値を同時に最大にする並べ方である。実際，どの順序でも部分和は $-28$ 以上であるから正値性は保たれ，各時刻の値 $\dfrac1{30+(\text{部分和})}$ は元の順序で最大となる。

5.8 歴史的背景

Riccati 方程式の名は 18 世紀前半の J. Riccati に由来し，一次分数変換は 19 世紀の A. F. Möbius らによって体系的に研究された。和と積分の差を記述する Euler–Maclaurin の公式は 18 世紀前半に Euler と Maclaurin がそれぞれ得たものである。双線形形式による非線形方程式の解法は広田良吾（1971）がソリトン方程式に対して創始した。離散凸性の理論は室田一雄らにより 1990 年代以降に離散凸解析として整備された。$s$ 凹性の階層は Borell（1975），Brascamp と Lieb（1976）の仕事に遡る。本問はこれらの理論が交わる，最も単純な具体例の一つである。

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6. 最終整理

6.1 全体の構造マップ

• 分数漸化式 $a_{n+1}=\varphi_{c_n}(a_n)$，$c_n=4n-17$
  • 各更新の向きは $c_n$ の符号だけで決まる（ 補題1 (3)）
    • 最初の5項の計算と帰納法 → 別解1
  • 逆数による共役 $1/\varphi_c(x)=1/x+c$ → 補助数列 $b_n$ と 補題2
    • 局所：階差の符号変化 → 本解（離散凸性： 補題4 ）
    • 大域：負の増分の総和 $-28$ による下界 → 別解3（一般化： 定理5 ）
    • 候補との比較：$b_n-b_5=(n-5)(2n-9)$ → 別解4（全項の大小順）
    • 一般項：$b_n=2\left(n-\frac{19}{4}\right)^2+\frac{15}{8}$ → 別解2，3.1 節
    • 積構造：$2D_m=XY$，$X+Y=15$ → 参考解1
  • 合成則 $\varphi_s\circ\varphi_t=\varphi_{s+t}$ → 累積パラメータ $\sigma_m$ の最小化 → 参考解2
• 結論：$b_n\geqq2$（等号は $n=5$ のみ）より $k=5$，$a_k=\frac12$

6.2 数学的教訓

• 極値問題では一般項を求める前に，隣接項の差・比の符号で足りるかを調べる。本問では位置は $c_n$ の符号，値は $b_1$ と $\sigma_4$ で決まり，両者は分離できる。
• $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+c_na_n}$ 型は，原点を固定する一次分数変換の反復であり，逆数による共役で階差型になる。この加法化座標は本質的に一意である。
• 分数漸化式では，初期値の符号から後続項の符号は従わない。補助数列を独立に定めて正値性を証明し，それから元の数列へ戻る。
• 局所的な極値と大域的な極値を区別する。符号変化が一度だけであること，または一様な下界とその等号条件によって大域性を示す。
• 最適値の証明では，上界・下界の成立，その達成，達成される添字の一意性の三つを確認する。
• 連続変数での最適点（軸，相加平均・相乗平均の等号条件）は整数とは限らない。階差の零点と軸の間には $\frac12$ のずれがあり，差分を微分に置き換えると誤る。
• 別解は式の見かけではなく，極値を証明する原理（局所の符号，一様な下界，候補との比較，明示的な一般項，不等式，変換群）で分類する。