積分使えば級数に関するいい感じの別表現を得る事ができる説

ユークリッドの互助法により次の式が成り立つ。
\begin{equation} \exists A,B\in\mathbb{Q},\exists q(x)\in\mathbb{Q}[x]\ s.t.\ p(x)=(1+x^{2})q(x)+2Ax+4B \end{equation}
故に
\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{p(x)}{1+x^{2}}dx&=&\int_{0}^{1}q(x)dx+2A\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}dx+4B\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ &=&\int_{0}^{1}q(x)dx+A\log{2}+B\pi \end{eqnarray}

[$\Rightarrow$]$n=0,4,8,...$であったとする。すると$x=\pm i$を代入した時
\begin{eqnarray} i^{4n}(1-i)^{4n}=(-1)^{4n}i^{4n}(1+i)^{4n} \end{eqnarray}
すなわち以下の条件が得られるので
\begin{equation} e^{i4n\frac{\pi}{4}}=1 \end{equation}
すなわち$2n$次有理数多項式$x^{n}(1-x)^{n}$を$1+x^{2}$で割った時その余りは$1$であることがわかった。
[$\Leftarrow$]$x^{n}(1-x)^{n}$を$1+x^{2}$で割った時その余りが定数となるとすると同様に$x=\pm i$を代入した時その定数と一致しないといけないので以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} i^{n}(1-i)^{n}=(-1)^{n}i^{n}(1+i)^{n} \end{eqnarray}
すなわち以下の条件が成立しないといけない事がわかる。
\begin{equation} e^{in\frac{\pi}{2}}=(-1)^{n} \end{equation}
故に$n=0,4,8,...$が示された。

[1]以下のようにおく。
\begin{equation} \int_{0}^{1}\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}dx=\alpha_{n}\pi+\beta_{n} \end{equation}
[2]すると
\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}dx&=&\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\int_{0}^{1}x^{2m+4n-2}(1-x)^{4n}dx\\ &=&\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{4n(4n-1)\cdots1}{(2m+4n-1)(2m+4n)\cdots(2m+8n-2)(2m+8n-1)}\\ &=&\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{(4n)!(2m+4n-2)!}{(2m+8n-1)!}\\ &=&\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m+4n-1)\begin{pmatrix}2m+8n-1\\4n\end{pmatrix}} \end{eqnarray}
[2]$x^{4n}(1-x)^{4n}$に$x=i$を代入して$(-1)^{n}4^{n}$を得るので$\alpha_{n}=(-1)^{n}4^{n-1}$である事がわかる。
[3]さらに以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray} \beta_{n}&=&\int_{0}^{1}\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}-(-4)^{n}}{1+x^{2}}dx\\ &=&\int_{0}^{1}\frac{\{x^{4}(1-x)^{4}+4\}\sum_{m=0}^{n-1}x^{4m}(1-x)^{4m}(-4)^{n-1-m}}{1+x^{2}}dx\\ &=&\int_{0}^{1}(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4)\sum_{m=0}^{n-1}x^{4m}(1-x)^{4m}(-4)^{n-1-m}dx\\ &=&-(-1)^{n}4^{n-1}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{4^{m}}\int_{0}^{1}(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4)x^{4m}(1-x)^{4m}dx\\ &=&-(-1)^{n}4^{n-1}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{4^{m}}[\frac{1}{(8m+6)\begin{pmatrix}8m+6\\4m\end{pmatrix}}-\frac{4}{(8m+5)\begin{pmatrix}8m+5\\4m\end{pmatrix}}+\frac{5}{(8m+4)\begin{pmatrix}8m+4\\4m\end{pmatrix}}-\frac{4}{(8m+2)\begin{pmatrix}8m+2\\4m\end{pmatrix}}+\frac{4}{(8m+1)\begin{pmatrix}8m\\4m\end{pmatrix}}] \end{eqnarray}
[4]以上をまとめると$\pi=-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\beta_{n}}{(-1)^{n}4^{n-1}}$なので以下の式を得る。
\begin{eqnarray} \pi=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{4^{m}}[\frac{4}{(8m+1)\begin{pmatrix}8m\\4m\end{pmatrix}}-\frac{4}{(8m+3)\begin{pmatrix}8m+2\\4m\end{pmatrix}}+\frac{5}{(8m+5)\begin{pmatrix}8m+4\\4m\end{pmatrix}}-\frac{4}{(8m+6)\begin{pmatrix}8m+5\\4m\end{pmatrix}}+\frac{1}{(8m+7)\begin{pmatrix}8m+6\\4m\end{pmatrix}}] \end{eqnarray}

[1]
\begin{eqnarray} \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}P_{n}(x)dx&=&\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}dx\\ &=&(x-\alpha)^{m}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}|_{\alpha}^{\beta}-m\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}dx\\ &=&(-1)^{m}m!\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}dx\\ &=&0 \end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray} \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}P_{n}(x)dx&=&\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}dx\\ &=&(-1)^{n}\frac{m!}{(m-n)!}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m-n}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{n}dx\\ &=&(-1)^{n}\frac{m!}{(m-n)!}\int_{0}^{\beta-\alpha}x^{m}\{x-(\beta-\alpha)\}^{n}dx\\ &=&(-1)^{n}\frac{m!}{(m-n)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\int_{0}^{1}x^{m}(x-1)^{n}dx\\ &=&\frac{n!\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{(m+n+1)\begin{pmatrix}m+n\\n\end{pmatrix}} \end{eqnarray}
[3]$s\geq t$とする。
\begin{eqnarray} \int_{\alpha}^{\beta}P_{s}(x)P_{t}(x)dx&=&\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d^{s}}{dx^{s}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{s}\frac{d^{t}}{dx^{t}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{t}dx\\ &=&\frac{d^{s-1}}{dx^{s-1}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{s}\frac{d^{t}}{dx^{t}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{t}|_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d^{s-1}}{dx^{s-1}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{s}\frac{d^{t+1}}{dx^{t+1}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{t}dx\\ &=&(-1)^{s}\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{s}\frac{d^{s+t}}{dx^{s+t}}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{t}dx\\ &=&(-1)^{s}(2s)!\delta_{s,t}\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^{s}\\ &=&\frac{(2s)!(\beta-\alpha)^{2s+1}}{(2s+1)\begin{pmatrix}2s\\s\end{pmatrix}}\delta_{s,t}\\ &=&\frac{(s!)^{2}(\beta-\alpha)^{2s+1}}{2s+1}\delta_{s,t} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{x^{m}(\log{x})^{2}}{1-x}dx&=&\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{m+n}(\log{x})^{2}dx\\ &=&2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(m+n+1)^{3}}\\ &=&2\zeta(3)-2H^{(3)}_{m} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{(\log{x})^{2}}{1-x}P_{N}(x)dx&=&\int_{0}^{1}\frac{\{\log{(1-x)}\}^{2}}{x}P_{N}(1-x)dx\\ &=&\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2H_{n-1}}{n}\int_{0}^{1}x^{n-1}P_{N}(1-x)dx\\ &=&\sum_{n=N}^{\infty}\frac{2H_{n-1}}{n}\int_{0}^{1}x^{n-1}P_{N}(x)dx\\ &=&\frac{2}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}\sum_{n=N}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n}\frac{\begin{pmatrix}n-1\\N\end{pmatrix}}{(n+N)\begin{pmatrix}n+N-1\\N\end{pmatrix}} \end{eqnarray}

[1]まず定理7より$\int_{0}^{1}\frac{(\log{x})^{2}}{1-x}P_{N}(x)dx\coloneqq \alpha_{N}\zeta(3)+\beta_{N}$と置くと$N\rightarrow\infty$で左辺が$0$になる。故に以下の式を得る。
\begin{equation} \zeta(3)=-\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\beta_{N}}{\alpha_{N}} \end{equation}
[2]
\begin{eqnarray} P_{N}(x)&=&\frac{(-1)^{N}}{(2N)!}\frac{d^{N}}{dx^{N}}x^{N}(x-1)^{N}\\ &=&\frac{1}{(2N)!}\frac{d^{N}}{dx^{N}}x^{N}(1-x)^{N}\\ &=&\frac{1}{(2N)!}\sum_{m=0}^{N}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}\frac{N!}{m!}x^{N-m}(-1)^{N-m}\frac{N!}{(N-m)!}(1-x)^{m}\\ &=&(-1)^{N}\frac{N!}{(2N)!}\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}x^{N-m}(1-x)^{m}\\ &=&(-1)^{N}\frac{N!}{(2N)!}\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}x^{N-m}\sum_{n=0}^{m}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}(-1)^{n}x^{n}\\ &=&(-1)^{N}\frac{N!}{(2N)!}x^{N}\sum_{m=0}^{N}\sum_{n=0}^{m}(-1)^{m}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}(-1)^{n}x^{-(m-n)}\\ &=&(-1)^{N}\frac{1}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}x^{N}\sum_{m=0}^{N}\sum_{n=0}^{m}(-1)^{m}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}(-1)^{n}x^{-(m-n)}\\ &=&(-1)^{N}\frac{1}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}x^{N}\sum_{s=0}^{N}x^{-s}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{2m-s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix}\\ &=&(-1)^{N}\frac{1}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}x^{N}\sum_{s=0}^{N}x^{-s}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix} \end{eqnarray}
[3]この計算により
\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{(\log{x})^{2}}{1-x}P_{N}(x)dx&=&2\zeta(3)(-1)^{N}\frac{1}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}\sum_{s=0}^{N}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix}-2(-1)^{N}\frac{1}{N!\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}\sum_{s=0}^{N-1}H_{N-s}^{(3)}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix} \end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray} \sum_{s=0}^{N}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix}&=&\sum_{m=0}^{N}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\sum_{s=0}^{m}(-1)^{s}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix}\\ &=&\sum_{m=0}^{N}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}(-1)^{m}\sum_{s=0}^{m}(-1)^{s}\begin{pmatrix}m\\s\end{pmatrix}\\ &=&1+\sum_{m=1}^{N}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}(-1)^{m}(1-1)^{m}\\ &=&1 \end{eqnarray}
[5]以上の計算により
\begin{equation} \zeta(3)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}H_{N-s}^{(3)}\sum_{m=s}^{N}(-1)^{s}\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}^{2}\begin{pmatrix}m\\m-s\end{pmatrix} \end{equation}