お気に入りの級数
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Twitterのヘッダーにしている, お気に入りの自作級数の証明を書きます.
$$ \frac\pi2=\sum_{n=0}^\infty\frac{(5n+3)n!(2n)!}{2^n(3n+2)!} $$
(証明)
$$\displaystyle I_{m,n}=\int_{0}^{1} \frac{x^m(1-x)^n}{1+x^2}\,dx$$ とおきます. すると,
$$\displaystyle I_{m,n}+I_{m+2,n} = \int_0^1x^m(1-x)^n\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\cdots①$$
$$\displaystyle I_{m,n+2}+2I_{m+1,n} = \int_0^1x^m(1-x)^n\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\cdots②$$
が成り立ちます.
①で $n\mapsto n+2$ として,
$$\displaystyle I_{m+2,n+2}+I_{m,n+2}=\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx=\frac{m!(n+2)!}{(m+n+3)!}\cdots③$$
③-② より,
$$\displaystyle I_{m+2,n+2}=2I_{m+1,n}+\frac{m!(n+2)!}{(m+n+3)!}-\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$
この式で $m\mapsto n-1,\ n\mapsto 2n$ とすることで,
$$\begin{eqnarray*}
I_{n+1,2n+2}&=&2I_{n,2n}+\frac{(n-1)!(2n+2)!}{(3n+2)!}-\frac{(n-1)!(2n)!}{(3n)!}\\
&=&2I_{n,2n}-\frac{(5n+3)n!(2n)!}{(3n+2)!}
\end{eqnarray*}$$
を得ます.
つまり, $\displaystyle a_n=I_{n,2n},\ f(n)=\frac{(5n+3)n!(2n)!}{(3n+2)!}$ とおくと, $\displaystyle a_n$の漸化式は
$$\displaystyle a_{n+1}=2a_n-f(n)$$
となります.
これを解くと,
$$\displaystyle a_{n+1}=2^{n+1}a_0-\sum_{k=0}^n2^{n-k}f(k)$$
です.
両辺を$\displaystyle 2^n$で割って,
$$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac\pi2-\sum_{k=0}^n2^{-k}f(k)$$
この両辺で$\displaystyle n\to\infty$とすることで題意を得ます.
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