お気に入りの級数

お気に入りの級数

Twitterのヘッダーにしている, お気に入りの自作級数の証明を書きます.

(証明)

$${\displaystyle I_{m,n}={\int }_0^1\frac{x^m(1-x{)}^n}{1+x^2}dx}$$ とおきます. すると,

$${\displaystyle I_{m,n}+I_{m+2,n}={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\cdots \mathrm{①}}$$
$${\displaystyle I_{m,n+2}+2I_{m+1,n}={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\cdots \mathrm{②}}$$
が成り立ちます.

①で $n\mapsto n+2$ として,
$${\displaystyle I_{m+2,n+2}+I_{m,n+2}={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx=\frac{m!(n+2)!}{(m+n+3)!}\cdots \mathrm{③}}$$

③-② より,
$${\displaystyle I_{m+2,n+2}=2I_{m+1,n}+\frac{m!(n+2)!}{(m+n+3)!}-\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$$

この式で $m\mapsto n-1,n\mapsto 2n$ とすることで,
$$\begin{array}{rcl}{I}_{n+1,2n+2}& =& 2I_{n,2n}+\frac{(n-1)!(2n+2)!}{(3n+2)!}-\frac{(n-1)!(2n)!}{(3n)!}\\ & =& 2I_{n,2n}-\frac{(5n+3)n!(2n)!}{(3n+2)!}\end{array}$$
を得ます.

つまり, ${\displaystyle a_n=I_{n,2n},f(n)=\frac{(5n+3)n!(2n)!}{(3n+2)!}}$ とおくと, ${\displaystyle a_n}$の漸化式は
$${\displaystyle a_{n+1}=2a_n-f(n)}$$
となります.

これを解くと,
$${\displaystyle a_{n+1}=2^{n+1}{a}_0-\sum _{k=0}^n{2}^{n-k}f(k)}$$
です.

両辺を${\displaystyle 2^n}$で割って,
$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^n{2}^{-k}f(k)}$$
この両辺で${\displaystyle n\to \mathrm{\infty }}$とすることで題意を得ます.