数列の極限と２重根号
Yuさんのところでみた問題に関連して（いないでしょう？）が，次のような事実が確認できました．
自然数の列$\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace$が，
$$a_n+b_n \sqrt{5}=(9+4\sqrt{5}) ^n$$
で定義されていて，
さらに，これらによって，$\lbrace x_n \rbrace, \lbrace y_n \rbrace$が，
$$x_n=b_n,y_n= \frac{-a_n+3b_n}{2} $$
で定義されている．
（いま，$(3+\sqrt{5})x_n-2y_n=1$です）
このとき，
$$
\lim_{n \to \infty} {\lbrace \sqrt{3y_n-x_n}+\sqrt{y_n}-\sqrt{x_n} \rbrace}=0
$$
が成り立つ．
まず，$\alpha＝9+4\sqrt{5}， \beta=9-4\sqrt{5} $とおきます．
$$a_n= \frac{\alpha ^n+\beta^n}{2}，b_n= \frac{\alpha^n-\beta^n}{2\sqrt{5}}$$
がいえます．$0<\beta<1<\alpha$です．
これから，
$$
\sqrt{3y_n-x_n}=\sqrt{ \frac{7-3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\alpha ^n(1-\frac{7+3\sqrt{5}}{7-3\sqrt{5}}\beta^{2n})}
$$
$$
\sqrt{y_n}=\sqrt{ \frac{3-\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\alpha ^n(1-\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\beta^{2n})}
$$
$$
\sqrt{x_n}=\sqrt{ \frac{2}{4\sqrt{5}}\alpha ^n(1-\beta^{2n})}
$$
続いて，
$$\sqrt{ 7-3\sqrt{5}}+\sqrt{ 3-\sqrt{5}}=\sqrt{2} $$
を確認します．
$$
\sqrt{2}\sqrt{ 7-3\sqrt{5}}=\sqrt{14-2\sqrt{45}}=3-\sqrt{5}
$$
$$
\sqrt{2}\sqrt{ 3-\sqrt{5}}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1
$$
したがって，成り立ちます．
$$
\sqrt{3y_n-x_n}=A\sqrt{ \alpha ^n(1-C\beta^{2n})}
$$
$$
\sqrt{y_n}=B\sqrt{\alpha ^n(1-D\beta^{2n})}
$$
$$
\sqrt{x_n}=(A+B)\sqrt{ \alpha ^n(1-\beta^{2n})}
$$
と簡略化しますと，
$$
\sqrt{ \alpha ^n(1-C\beta^{2n})}-\sqrt{ \alpha ^n(1-\beta^{2n})}
= \frac{(1-C)\beta^{n}}{\sqrt{ \alpha ^n(1-C\beta^{2n})}+\sqrt{ \alpha ^n(1-\beta^{2n})}} \rightarrow 0
$$
同様に，
$$
\sqrt{ \alpha ^n(1-D\beta^{2n})}-\sqrt{ \alpha ^n(1-\beta^{2n})}
\rightarrow 0
$$
したがって，極限の式は成り立ちます．□□
