数学コンテストの関数方程式の問題まとめ③ (R+→R+)

$f (f (x ) )+af (x )=b (a+b )x$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$a,b$は与えられた正の実数.

$ f(f(x))=af(x)- bx $　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
が存在するような正の実数の組$(a, b)$を全て求めよ。

$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1$
$ 2f(f(x))=f(2x)$　$(\mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+)$

$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)= f(x)$
$\displaystyle 1+\frac{1}{x}f(x)=f(x+1)$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f (f (x ) )+x=f (2x )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
のとき，$ f (x )\geq x$を示せ.

$f(xf(x) + f(y)) = f(x)^2 + y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x+yf(x)+y^2) = f(x)+2y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(f(x)+f(y))=x+y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x + y) + xf(y) = f(xy + f(y)) + x$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(f(x) + y) = f(x) + 3x + yf(y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
は存在しないことを示せ.

$f (x+f (xy ) )+y=f (x )f (y )+1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f\left(f(x)+\frac{y+1}{f(y)}\right)=\frac{1}{f(y)}+x+1$　$( \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb {R^{+}})$

$f (xf (y ) )=yf (x )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$x \to \infty$のとき$f(x) \to \infty$

$\displaystyle f (xf (y ) )=\frac{f (x )}{y}$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$ を一つ作れ.

$f ({f (x )}^2y )=x^3f (xy )$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f (xy+f (x ) )=xf (y )+2$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(xf(x + y)) = yf(x) + 1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x + f(y)) = yf(xy + 1)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x+yf(x)) = xf(1+y)$ $(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(xy+f(xy)) = xf(y) + yf(x)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(yf(x))(x + y) = x^2(f(x) + f(y))$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y)$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$f(y(f(x))^3 + x) = x^3f(y) + f(x)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$

$(y+1)f(x+y) = f\left(xf(y)\right)$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x))$　$(\mathbb{R^+}\to \mathbb{R^+})$

$(1+yf(x))(1-yf(x+y))=1$　$(\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+)$

$f(xf(y))+f(yf(x))=1+f(x+y)$　$(\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+)$

$(x+y)f(2yf(x)+f(y))=x^{3}f(yf(x))　(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$xf (x^2 )f (f (y ) )+f (yf (x ) )=f (xy ) (f (f (x^2 ) )+f (f (y^2 ) ) )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$2x f(f(x)) = f(x)(x+f(f(x)))$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
ただし$f$は全射.

$f(x^{2023}+f(x)f(y))=x^{2023}+yf(x)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(xf(x)+yf(y)) = xy \quad\forall x,y \in \mathbb{R}$　$( \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R})$　は存在するか？

$\displaystyle f(x − y) = f(x) − f(x)f\left( \frac{1}{x} \right)y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$　$(\mathbb{R}^+\to\mathbb{R})$

$\displaystyle f \left( \frac{x}{y + 1}\right) = 1 - xf(x + y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle xf(x)+yf(y)=(x+y)f\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$　$(\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+})$

$\displaystyle \frac{x+f(y)}{xf(y)}=f\left(\frac{1}{y}+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = \frac {f(xy)}{f(x+y)}$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f(x + y) = f(yf(x))$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x+y)=f(x^2+y^2)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$

$f (x+f (y ) )=f (x+y )+f (y )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y) $　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f(xy) = f(x)f(y)f(x+y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$

$f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f (x )f (y )=2f (x+yf (x ) )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x+yf(x))=f(x)f(x+y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$f (x^2 )+f (y )=f (x^2+y+xf (4y ) )$　$(\mathbb{R}^{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}^{\ge 0})$

$f(x)^2=f(xy)+f(x+f(y))-1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$ f(xf(y))+f(f(y)) = f(x)f(y)+2$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$f(f(x)f(y) + 1) + f(xy + 1) = 1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x)f(x + y) = f(2x + y) + (f(x) − 1)f(y)$　$(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}^{\geq 1})$

$f(xy)+f(x)+f(y+1)=f(x)f(y)+3$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f (x )=f (f (f (x ) )+y )+f (xf (y ) )f (x+y )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f\left(\frac{f(x)}{x}+y\right)=1+f(y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f(x) - f(x+ y) = f \left (\frac{x}{y}\right) f(x + y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb {R})$

$\displaystyle f(x)f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right)$
$f(x) \lt f(y) \quad\forall 1\lt x \lt y$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f(xy+1)=f(x)f\left(\frac{1}{x}+f\left(\frac{1}{y}\right)\right)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f \left(\frac{f (y )}{f (x )}+1 \right)=f \left(x+\frac{y}{x}+1 \right)-f (x )$　　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f (x) f (y) = f \left (\frac {xy} {x f (x) + y} \right)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right) $　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f(x) = f\left( \frac{x^2 − y}{f(x)} \right) + f\left( \frac{f(y)}{x}\right) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{+},y \lt x^2$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\dfrac{f(x)f(y)}{f(xy)} = \dfrac{\left( \sqrt{f(x)} + \sqrt{f(y)} \right)^2}{f(x+y)}$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+})$

$f(xy) + f(x) = f(y)f\bigl(xf(y)\bigr) + f(x)f(y)$　$(\mathbb R^+ \to\mathbb R^+)$
ただし$f(a) = 1$なる$a\in\mathbb R^+$は高々1つしか存在しない.

$\displaystyle f(xf(y))f(y) = f\left( \frac{xy}{x + y}\right)$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$
ただし$f(1) = 0$，$x > 1$のとき$f(x) > 0$

$ f (xf (y ) )f (y )=f (x+y )$　$(\mathbb{R}^{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}^{\ge 0})$
$0\le x\lt 2$のとき$f(x) \neq 0$
$f(2)=0$

$f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$c$は与えられた正の実数.

$x^2f(xf(y))f(x)f(y)=c$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$c$は与えられた正の実数.

$\displaystyle f(f(x)+y)-f(x)=\left( \frac{f(y)}{y}-1\right)x+f^m(y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$m$は与えられた正の整数.

$\displaystyle f (x )f (y )=y^\alpha f \left(\frac{x}{2} \right)+x^\beta f \left(\frac{y}{2} \right)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$
$\alpha,\beta$は与えられた実数.

$\displaystyle f\left(\frac{ x+y}{\alpha}\right) =\frac{ f(x)+f(y)}{\alpha}$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \alpha$より大きい正の実数$)$
$\alpha$は与えられた正の有理数.

$f(x+f(y)+f(f(z)))=z+f(y+f(x))$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(a + d) + f(b − c) = f(a − d) + f(b + c) \quad\forall a,b,c,d \in \mathbb{R}^{+}, a>b>c>d, ad = bc$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle \frac{{f (w )}^2+{f (x )}^2}{f (y^2 )+f (z^2 )}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \quad\forall w,x,y,z \in \mathbb{R}^{+},wx=yz$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$(f(a)+f(b))(f(c)+f(d))=(a+b)(c+d) \quad\forall a,b,c,d \in \mathbb{R}^+, abcd=1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x)+f(y)+f(z)=1 \quad\forall x, y, z \in \mathbb{Q}^{+},x+y+z+1=4xyz$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{R})$

$f(x - y + z) = f(x) + f(y) + f(z) - xy - yz + xz \quad\forall x,y,z \in \mathbb{R}^{+}, x > y > z$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f (xyz )+f (x )+f (y )+f (z )=f (\sqrt{xy} )+f (\sqrt{yz} )+f (\sqrt{zx} )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
$f(x)< f(y) \quad\forall 1\le x\lt y$

$f(a, x) + f(b, y) = f(a + b, x + y) + f(ay − bx, xy(x + y)) \quad\forall a,b \in \mathbb{R}, x,y \in \mathbb{R}^{+}$
$(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$\displaystyle f \left(x+\frac{1}{y} \right)+f \left(y+\frac{1}{z} \right)+f \left(z+\frac{1}{x} \right)=1 \quad\forall x,y,z \in \mathbb{R}^{+}, xyz=1$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x)^2 + f(y)^2 + f(z)^2 + 2f(x)f(y)f(z) = 1 \quad\forall x,y,z \in S, x+y+z=1$　$(S \to S)$
ただし, $S$は$0$より大きく$1$より小さい実数全体の集合.

任意の相異なる$a,b,c \in \mathbb R$に対し，$a,b,c$を3辺の長さとする三角形ができることと，$f(a),f(b),f(c)$を3辺の長さとする三角形ができることが同値であるような$f:\mathbb{R^{+}}\to \mathbb{R^{+}}$を全て求めよ.

円に外接する任意の四角形の四辺の長さ$a,b,c,d$に対し，
$f(a+b+c+d) = f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$　$(f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R})$
が成り立つとき，$f(x+y)=f(x)+f(y)$を示せ.

$f(x_{1}^2+…+x_{n}^2)=f(x_{1}^2)+…+f(x_{n}^2) \quad\forall x_{1},…,x_{n} \in \mathbb{R}^{\geq 0}$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$x (f (x )+f (y ) )\geq (f (f (x ) )+y )f (y )$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f(xy) \le \frac{xf(y) + yf(x)}{2}$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$\displaystyle f (x )+f (y )\le\frac{f (x+y )}{2}$
$\displaystyle\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y} \geq \frac{f(x+y)}{x+y}$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$　

$\displaystyle f(x) + f(y) \leq \frac{f(x + y) }{4}$
$\displaystyle \frac{f(x)}{y} +\frac{ f(y)}{x} \geq \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \frac{f(x + y)}{8}$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$

$3(x^3+y^3+z^3)\geq f(x+y+z)f(xy+yz+xz) \geq (x+y+z)(xy+yz+xz)$　$(\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R})$

$\displaystyle f(x) + f\left(\frac{y}{x}\right) \leq \frac{x^3}{y^2} + \frac{y}{x^3}$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$
ただし全ての$x \in \mathbb{R}^{+}$に対し，等号が成り立つ$y \in \mathbb{R}^{+}$が存在する.

$f(x+y^2) \ge cf(x)+y$　
をみたす$f: \mathbb{R}^{ \ge 0} \rightarrow \mathbb{R}$が存在するような$c \in \mathbb{R}$を全て求めよ.

各$x \in \mathbb{R}^+$に対し，$xf (y )+yf (x )\le 2$をみたす$y \in \mathbb{R}^+$がちょうど1つするような$f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$を全て求めよ.

$ x+2 \max\{y,f(x),f(z)\} \ge f(f(x))+2 \max\{z,f(y)\}$　$(\mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0})$

$f(x+y, z+t)\leq f(z,x)+f(t,y)$
$\displaystyle f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x}\right)(x+y-f(y,x))=f(x,y)$　$(\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x^2 + y^2) = g(xy)$　$(f,g: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R})$

$f(yf(x))=f(x)g(x+y)$　$(f,g:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$ (f(x) + y - 1)(g(y) + x - 1) = {(x + y)}^2 $　
$ (-f(x) + y)(g(y) + x) = (x + y + 1)(y - x - 1) $　$(f,g:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$
$f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$
$f(1, k, k+1) = k+1$　　　$(f: \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(xy) + f(x) = f(y)f\bigl(xf(y)\bigr) + f(x)f(y)$　$(\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+})$
ただし$f(a)=1$なる$a \in \mathbb{R}^{+}$が高々一つ存在

$x^2y^3 > 2008$をみたす全ての$x,y \in \mathbb{R}^{+}$に対し，$f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$が
$f(xy)^2 = f(x^2)f(y^2) $をみたすとき，全ての$x,y \in \mathbb{R}^{+}$に対して$f(xy)^2 = f(x^2)f(y^2) $が成り立つことを示せ.

$f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$が狭義単調増加かつ，全ての$x,y \in\mathbb{R}^{+}$に対し，$\displaystyle f\left(2xy\over x+y\right) \geq {f(x) + f(y)\over2}$が成り立つとき，$f(x) \lt 0$となる$x$が存在することを示せ.

$f(y^2f(x) + y + c) = xf(x+y^2) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^+$
をみたす$f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$が存在するような，非負実数$c$を全て求めよ.

$\displaystyle f(xy)\cdot \gcd\left( f(x)f(y), f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right) = xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)$　$(\mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{N})$

以下をみたす$f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$と非負実数係数多項式$P(x)$を全て求めよ.
$f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^+, x > y$　
$P(0) = 0$