自然数1～aと1～bの組と自然数1～abの全単射の計算

概要

$a,b$を正整数とする。全単射$\{1,\cdots ,a\}\times \{1,\cdots ,b\}\to \{1,\cdots ,ab\}$を作ります。割り算するだけで難しくはないですが、きちんと書こうとすると微妙なズレが手間です。特に逆関数の計算手順を明示しておきたい。そのためのメモです

0からの場合

$\{m\in \mathbb{N}|0\le m<a\}\times \{n\in \mathbb{N}|0\le n<b\}\to \{x\in \mathbb{N}|0\le x<ab\}$は$(m,n)\mapsto mb+n$でよい。逆関数は$b$で割り算して商と余りを取ればいいはず。

1からの場合

とりあえず順番に書いてみる。こういう対応関係をつくる。第二成分を先に動かしています。

$$\begin{array}{rclrc}(1,1)& \mapsto & 1& =& 1b+(1-b)\\ (1,2)& \mapsto & 2& =& 1b+(2-b)\\ ⋮\\ (1,b)& \mapsto & b& =& 1b+(b-b)\\ (2,1)& \mapsto & b+1& =& 2b+(1-b)\\ (2,2)& \mapsto & b+2& =& 2b+(2-b)\\ ⋮\\ (2,b)& \mapsto & b+b& =& 2b+(b-b)\\ (3,1)& \mapsto & 2b+1& =& 3b+(1-b)\\ (3,2)& \mapsto & 2b+2& =& 3b+(1-b)\\ ⋮\\ (a,b)& \mapsto & ab+0& =& (a-1)b+b\end{array}$$

このことから求めたい写像は$(m,n)\mapsto mb+(n-b)$だと思われる。これが全単射を示そう。

証明

逆関数

$1<x\le ab$に対して$x$の逆写像の値を計算する手続きは次のようになる。

1. $-x$を$b$で割り算する。商と余りをを$\mu ,\nu$とする。
   • $-x=\mu b+\nu$ と表示
2. $m:=-\mu$とする
3. $n:=b-\nu$ とする

応用

前提

行列のテンソル積について既知とする。

問題

$A$を$r$次実行列とする。$E_s$を$s$次の単位行列とする。テンソル積$A\otimes E_s=(c_{\lambda \mu })$を計算する。

$E_s$の$(i^{\prime },j^{\prime })$成分はクロネッカーのデルタを用いて${\delta }_{i^{\prime }{j}^{\prime }}$とかける。前節までの記号を使うと今は$a=r,b=s$となっている。先の逆関数を$g$としよう。$(u,u^{\prime })=g(\lambda ),(v,v^{\prime })=g(\mu )$とする。$c_{\lambda \mu }=a_{mn}{\delta }_{m^{\prime }{n}^{\prime }}$となる。

いくつかの計算

メモ

• 余りを$0,\cdots ,s-1$でなく、$1,\cdots s$にして割り算を実行すれば作れないかと思うが、商も$0$になってほしくないためそれは合致しない。
• 適切に商と余りを1だけずらせばよいはずですが、場合分けで書くと計算がちょっと手間です。その部分は割り算に全てお任せしたい。