1年前のGWに作成した問題とその解説

まえがき

こんばんは、高3のぱぺです。
去年の途中あたりから作問の能力が落ちてしまったので、とりあえず前に作った問題を振り返る形で今回は問題を投稿します。

問題

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解説

$\boldsymbol{z^2+a\abs{z}+b=0} -①$ とする。

$① \: ... z^2=-a\abs{z}-b$ より $\boldsymbol{z^2 \in \mathbb{R}}$
したがって、$①$の解$\boldsymbol{z}$は実数または純虚数。

$\quad$
$\quad$
$\quad$

$\text{(I)}$ $\boldsymbol{z}$が実数のとき、$z=x \; (x\in\mathbb{R})$ と表せる。
$① \; ... x^2+a\abs{x}+b=0$
$\quad$ $f(x)=x(x+a)$ とおくと $\quad$ $\boldsymbol{①\, ...f(\abs{x})=-b}$
$\quad$ ここで、$\boldsymbol{t=\abs{x}}$ とおくと、

$\hspace{2em} \begin{cases} \; t<0 \quad \textnormal{である1つの} \; t \; \textnormal{に対応する} \; x \; \textnormal{の値は} \; 0 \; \textnormal{個} \\ \; t=0 \quad \textnormal{に対応する} \; x \; \textnormal{の値は} \; 1 \; \textnormal{個} \; (x=0) \\ \; t>0 \quad \textnormal{である1つの} \; t \; \textnormal{に対応する} \; x \; \textnormal{の値は} \; 2 \; \textnormal{個} \; (\; x=\pm \, t \;) \end{cases}$

$\quad$ $f(t)=-b \; (t\geq0) -②$ を満たす$t$の個数をそれぞれ考える。
$\quad$ $C:u=f(t)$のグラフは下に凸であり、$t$軸と高々$2$点$(0,0),\, (0,-a)$を共有する。
$\quad$また、$②$を満たす実数$t$は、グラフ$C$と直線$l:u=-b$との共有点の$t$座標に等しく、
$\quad$ $②$を満たす異なる実数tの個数と$C,l$の共有点の個数は等しい。

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$\qquad$ $\text{(Ii)}$ $-a>0$ すなわち $a<0$ のとき
$C u=f(t) \; (a<0)$

$\qquad $ $\qquad$ 図1より、$a<0$において$①$を満たす実数解$z$の個数は、$C$と$l$の共有点の$t$座標に対応して

$\hspace{5em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(-b<-\frac{a^2}{4})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(-b=-\frac{a^2}{4},\;-b>0)\\ 3 \:\textnormal{個} \quad(-b=0)\\ 4 \:\textnormal{個} \quad(-\frac{a^2}{4}<-b<0) \end{cases} $

$\qquad $ $\qquad$ すなわち

$\hspace{5em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A1}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0, \; b=\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A2}) \\ 3 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{A3}) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(0< b<\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A4}) \end{cases}$

$\qquad$ $\qquad$ また、このとき、$①$が$z=0\; (\text{すなわち} \; x=0)$ を解にもつのは $b=0$のとき。

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$\qquad$ $\text{(Iii)}$ $-a \leq 0$ すなわち $a \geq 0$ のとき

$C: u=f(t) \; (a \geq 0)$

$\qquad $ $\qquad$ 図2より、$a \geq 0$において$①$を満たす実数解$z$の個数は、$C$と$l$の共有点の$t$座標によって

$\hspace{5em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(-b<0)\\ 1 \:\textnormal{個} \quad(-b=0)\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(-b>0) \end{cases}$

$\qquad $ $\qquad$ すなわち

$\hspace{5em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>0) \quad &-(R_{B1})\\ 1 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{B2})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0) \quad &-(R_{B3}) \end{cases}$

$\qquad$ $\qquad$ また、このとき、$①$ が$z=0\; (\text{すなわち} \; x=0)$ を解にもつのは $b=0$のとき。

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$\qquad$ $\text{(Ii) (Iii)}$より、

$\qquad $ 実数解の個数は
$\qquad$ $a<0$のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A1}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0 , \; b=\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A2}) \\ 3 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{A3}) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(0< b<\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A4}) \end{cases}$

$\qquad$ $ a \geq 0 $ のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>0) \quad &-(R_{B1})\\ 1 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{B2})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0) \quad &-(R_{B3}) \end{cases}$

$\qquad$ ただし、$①$が$z=0 \; ( \text{すなわち} \; x=0)$ を解にもつのはいずれの場合も$b=0$のときのみである。

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$\text{(II)}$ $\boldsymbol{z}$が純虚数のとき、$z=yi \; (y\in\mathbb{R}, y \neq 0)$ と表せる。
$\hspace{3em} \begin{aligned} ① \; ... -y^2+a\abs{y}+b&=0 \\ y^2-a\abs{y}-b&=0 \end{aligned}$
$\qquad$ ここで、$\text{(I)}$ の議論で$a$を$-a$, $b$を$-b$, $x=y$, $y \neq 0$ として同様に進めると、

$\qquad $ 虚数解の個数は
$\qquad$ $-a<0$のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(-b>\frac{a^2}{4}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(-b<0 , \; b=\frac{a^2}{4})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(-b=0) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(0<-b<\frac{a^2}{4}) \end{cases}$

$\qquad$ $ -a \geq 0 $ のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(-b>0) \\ 0 \:\textnormal{個} \quad(-b=0) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(-b<0) \end{cases}$

$\qquad$ すなわち

$\qquad$ $a>0$のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b<-\frac{a^2}{4}) \quad &-(I_{A1}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b \geq0 , \; b=-\frac{a^2}{4}) \quad &-(I_{A2}) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(-\frac{a^2}{4}< b<0) \quad &-(I_{A3}) \end{cases}$

$\qquad$ $ a \leq 0 $ のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b \leq 0) \quad &-(I_{B1})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b>0) \quad &-(I_{B2}) \end{cases}$

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$\text{(I) (II)}$より、$①$について、

実数解の個数は
$\qquad$ $a<0$のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A1}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0 , \; b=\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A2}) \\ 3 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{A3}) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(0< b<\frac{a^2}{4}) \quad &-(R_{A4}) \end{cases}$

$\qquad$ $ a \geq 0 $ のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b>0) \quad &-(R_{B1})\\ 1 \:\textnormal{個} \quad(b=0) \quad &-(R_{B2})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b<0) \quad &-(R_{B3}) \end{cases}$

虚数解の個数は
$\qquad$ $a>0$のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b<-\frac{a^2}{4}) \quad &-(I_{A1}) \\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b \geq0 , \; b=-\frac{a^2}{4}) \quad &-(I_{A2}) \\ 4 \:\textnormal{個} \quad(-\frac{a^2}{4}< b<0) \quad &-(I_{A3}) \end{cases}$

$\qquad$ $ a \leq 0 $ のとき：
$\hspace{3em} \begin{cases} 0 \:\textnormal{個} \quad(b \leq 0) \quad &-(I_{B1})\\ 2 \:\textnormal{個} \quad(b>0) \quad &-(I_{B2}) \end{cases}$

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表にすると、以下のようになる。

$①$の解の個数を$a,b$の値で分類したもの

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したがって、$①$の解$z$の個数で分類すると、

・解が$0$個となるような$(a,b)$はない。

・解が$1$個となるような$(a,b)$の条件は
$\hspace{3em} a=0, \; b=0$

・解が$2$個となるような$a,b$の条件は
$\hspace{3em} \begin{cases} a \geq 0 \quad \text{かつ} \quad b>0 \quad &( \; \text{実数解\,$0$\,個,\;虚数解\,$2$\,個}\;)\\ a < 0 \quad \text{かつ} \quad b>\frac{a^2}{4} \quad &( \; \text{実数解\,$0$\,個,\;虚数解\,$2$\,個}\;)\\ a \leq 0 \quad \text{かつ} \quad b<0 \quad &( \; \text{実数解\,$2$\,個,\;虚数解\,$0$\,個}\;)\\ a > 0 \quad \text{かつ} \quad b<-\frac{a^2}{4} \quad &( \; \text{実数解\,$2$\,個,\;虚数解\,$0$\,個}\;) \end{cases}$

・解が$3$個となるような$(a,b)$の条件は
$\hspace{3em} a \neq 0, \; b=0$

・解が$4$個となるような$a,b$の条件は
$\hspace{3em} \begin{cases} a < 0 \quad \text{かつ} \quad b=\frac{a^2}{4} \quad &( \; \text{実数解\,$2$\,個,\;虚数解\,$2$\,個}\;)\\ a > 0 \quad \text{かつ} \quad b<-\frac{a^2}{4} \quad &( \; \text{実数解\,$2$\,個,\;虚数解\,$2$\,個}\;) \end{cases}$

・解が$5$個となるような$(a,b)$はない。

・解が$6$個となるような$a,b$の条件は
$\hspace{3em} \begin{cases} a < 0 \quad \text{かつ} \quad 0< b<\frac{a^2}{4} \quad &( \; \text{実数解\,$4$\,個,\;虚数解\,$2$\,個}\;)\\ a > 0 \quad \text{かつ} \quad -\frac{a^2}{4}< b<0 \quad &( \; \text{実数解\,$2$\,個,\;虚数解\,$4$\,個}\;) \end{cases}$

以上から、

あとがき

$ab$平面における図示は気の向いたときにしようと思います。

更新欄

2025.6/18.23:40 投稿
2025.6/19.13:10 問題文直後の空白設定