高校数学の問題集を見ていると$a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{n}$を求めよ.ただし$a_1=1$とする.という問題を見かけました.
多分解いたことがある人が多く,mathlogを見ているような人にとっては
簡単すぎる問題かもしれないですが
参考書の解答は両辺に$n!$をかけて置換して等比数列に帰着させると書いてあったのですが,発想的にどうなんだろうと思ったりしました(そういう変形もあるのかもしれないけど)
$a_{n+1}=f(n)a_n$のように見ると$f(n)=\dfrac{3}{n}$は
$\dfrac{3}{1},\dfrac{3}{2}のようになっていくので結局
a_n=\dfrac{3^{n-1}}{(n-1)!}a_1$
ようするに$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}$をかけているというふうに
式を見れば良いというだけでした〜(3は定数なので省略している部分がありますが)
**$a_1=1$ ,$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n$,
解答
分母を払って等比数列とみなすこともできると思いますが,
$ a_{n}=$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{k+1}a_1$(n$\geq2$)と変形できるので答えは
$a_n=\dfrac{1}{n}$になります.
mathlogを使う練習のための記事になりました