0

高校の参考書の変な変形?

33
0
$$$$

高校数学の問題集を見ていると$a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{n}$を求めよ.ただし$a_1=1$とする.という問題を見かけました.

多分解いたことがある人が多く,mathlogを見ているような人にとっては
簡単すぎる問題かもしれないですが

参考書の解答は両辺に$n!$をかけて置換して等比数列に帰着させると書いてあったのですが,発想的にどうなんだろうと思ったりしました(そういう変形もあるのかもしれないけど)

$a_{n+1}=f(n)a_n$のように見ると$f(n)=\dfrac{3}{n}$
$\dfrac{3}{1},\dfrac{3}{2}のようになっていくので結局 a_n=\dfrac{3^{n-1}}{(n-1)!}a_1$

ようするに$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}$をかけているというふうに
式を見れば良いというだけでした〜(3は定数なので省略している部分がありますが)

計算問題

**$a_1=1$ ,$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n$,

解答
分母を払って等比数列とみなすこともできると思いますが,
$ a_{n}=$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{k+1}a_1$(n$\geq2$)と変形できるので答えは
$a_n=\dfrac{1}{n}$になります.

mathlogを使う練習のための記事になりました

投稿日:2024925
更新日:2024926
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

すうがくをはじめてみました。 ぼくのせいちょうきろくです

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中