中学数学議論

a^2+b^2=c^4を満たす互いに素な自然数a,b,cはあるかな？

三平方の定理,ピタゴラス数

こんにちは。最近よく歩くせいでずっと疲れてます。
今回は三平方の定理と似た式のお話。早速やっていきましょう！

本題

次の式を満たす自然数は無数にある

\begin{align*} a^2+b^2=c^4 \end{align*}

初めに言った通り、ほとんど三平方の定理の形です。実際、
$a^2+b^2=c^4$は$a^2+b^2=(c^2)^2$と書き換えることができます。実はこれが鍵です。もう一つ鍵があって、それがピタゴラス数の性質。

ピタゴラス数

$a^2+b^2=c^2$
を満たす自然数$a,b,c$は次の式で見つけることができる。
\begin{align*} \begin{cases} a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2 \end{cases} \end{align*}
ただし、$m,n\in\mathbb{N}$

これらを用いて予想を解決していきましょう！

$a^2+b^2=c^4$
について、$c^2=d$と置くと
$a^2+b^2=d^2$
を得る。ここで、ピタゴラス数の性質を用いると、自然数$m,n$を用いて$a,b,d$は
\begin{align*} \begin{cases} a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ d=m^2+n^2 \end{cases} \end{align*}
と表される。ここで$c^2=d$だったことを思い出すと、一番下の式は
$c^2=m^2+n^2$
となる。再度ピタゴラス数の性質を用いると、$m,n,c$は自然数$p,q$を用いて
\begin{align*} \begin{cases} m=p^2-q^2\\ n=2pq\\ c=p^2+q^2 \end{cases} \end{align*}
この式より、自然数$p,q$を適当に決めると$m,n$が決まり、その$m,n$から元々の$a,b,c$が定まるため予想は示された。

さて、満たす自然数$a,b,c$は無数にあることがわかりました。
となれば、実際の組を知りたいですよね。なんなら、その組を文字式で構成したいですよね！

解を構成したいな～

実はとても簡単にできます。証明の中で出てきた式たちをピックアップしてみましょう。
\begin{align*} &c^2=d\\ &\begin{cases} a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ d=m^2+n^2 \end{cases}\\ &\begin{cases} m=p^2-q^2\\ n=2pq\\ c=p^2+q^2 \end{cases} \end{align*}
単純です。元の式へとたどっていけばいいのです。まずは$a$から。
\begin{align*} a&=m^2-n^2\\ &=(p^2-q^2)^2-(2pq)^2\\ &=p^4-6p^2q^2+q^4 \end{align*}
同様に$b,c$も
\begin{align*} b&=2mn\\ &=2(p^2-q^2)\cdot2pq\\ &=4p^3q-4pq^3\\ &\\ c&=p^2+q^2 \end{align*}
(一応補足すると、$p\ge q$です。)
以上より、
$a^2+b^2=c^4$
を満たす自然数$a,b,c$の組は$p\ge q$なる自然数を用いて次の様に定まる。
\begin{align*} (a,b,c)=(|p^4-6p^2q^2+q^4|\:,\:4p^3q-4pq^3\:,\:p^2+q^2) \end{align*}
$a$はマイナスの項がある影響で負になる可能性があります。しかし、結局は二乗するので符号なんて関係ありません。なので絶対値を付けました。

さて。解を構成したなら実際の値が見てみたいですよね
$p=2,q=1$とか試してみましょう。このとき、
$(a,b,c)=(7,24,5)$
となります。実際、
$7^2+24^2=625=5^4$
となるため、正しいことがわかります。ほかにも試してみましょう。ここからは便宜上$p=?,q=??$と書かずに、$(p,q)\rightarrow(a,b,c)\:,a^2+b^2=???=c^4$と書くことにします。
\begin{align*} (3,1)\rightarrow&(28,96,10),28^2+96^2=10000=10^4\\ (4,1)\rightarrow&(161,240,17),161^2+240^2=83521=17^4\\ (100,10)\rightarrow&(94010000,39600000,10100),94010000^2+39600000^2=10406040100000000=10100^4 \end{align*}
解を構成する多項式が四次式のせいで増加がとても速いですね。最後のやつはふざけましたが()