メルセンヌ数

$$ 2 ^{p}-1 \equiv 1\mod{6} を証明する $$
$$ \boldsymbol{p} = 3の時　 2^{3}-1 =7 $$
$$ \boldsymbol{p} = nの時　 2^{n} -1 \equiv 1\mod{6} $$
$$ 2^{n+2} -1=2^{n+1}+2^{n}+........+1 $$
$$ 2^{n+2} -1=2^{n+1}+2^{n}+(2^{n}-1) $$
$$ 2^{n+2} -1=6 \times 2^{n-1}+(2^{n}-1) $$
$$ \Rightarrow 2^{n+2} -1 \equiv 1 \mod{6} $$