Burchnall-Chaundyの作用素とAppellの超幾何級数
Burchnall-Chaundyの作用素
$x,y$に関するべき級数に対して, Burchnall-Chaundyの作用素$\Delta(h),\nabla(h)$を
\begin{align}
\Delta(h)x^ny^m&:=\frac{(h)_{n+m}}{(h)_n(h)_m}x^ny^m\\
\nabla(h)x^ny^m&:=\frac{(h)_{n}(h)_m}{(h)_{n+m}}x^ny^m
\end{align}
によって導入する. これは, $\theta_x,\theta_y$をそれぞれ$x,y$に関するEuler作用素
\begin{align}
\theta_x x^n&:=nx^n\\
\theta_y y^m&:=my^m
\end{align}
として,
\begin{align}
\Delta(h)&=\frac{\Gamma(h)\Gamma(\theta_x+\theta_y+h)}{\Gamma(\theta_x+h)\Gamma(\theta_y+h)}\\
\nabla(h)&=\frac{\Gamma(h)\Gamma(\theta_x+\theta_y+h)}{\Gamma(\theta_x+h)\Gamma(\theta_y+h)}\\
\end{align}
と表すことができる. 定義から, $\Delta(h),\nabla(h)$は互いに逆変換になっていることが分かる.
Appellの超幾何級数
Appellの超幾何級数は
\begin{align}
F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b_1)_n(b_2)_m}{(c)_{n+m}n!m!}x^ny^m\\
F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b_1)_n(b_2)_m}{(c_1)_{n}(c_2)_mn!m!}x^ny^m\\
F_3\left(\begin{matrix}a_1,a_2;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a_1,b_1)_n(a_2,b_2)_m}{(c)_{n+m}n!m!}x^ny^m\\
F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{(c_1)_n(c_2)_mn!m!}x^ny^m
\end{align}
によって定義される. 定義通りに計算することによって, 以下の等式が得られる.
\begin{align} F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\nabla(a)\Delta(c)F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c\end{matrix};y\right)\\\\ &=\nabla(a)F_3\left(\begin{matrix}a,a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)\\\ &=\Delta(c)F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c,c\end{matrix};x,y\right)\\ F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\nabla(a)F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c_1\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c_2\end{matrix};y\right)\\ F_3\left(\begin{matrix}a_1,a_2;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\Delta(c)F\left(\begin{matrix}a_1,b_1\\c\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a_2,b_2\\c\end{matrix};y\right)\\ F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\nabla(b)F_2\left(\begin{matrix}a;b,b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x+y\right)&=\nabla(b)F_1\left(\begin{matrix}a;b,b\\c\end{matrix};x,y\right)\\ &=\Delta(c)F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)\\ &=\nabla(b)F_2\left(\begin{matrix}a;b,b\\c,c\end{matrix};x,y\right)\\ &=\nabla(b)\Delta(c)F_2\left(\begin{matrix}a;b,b\\c,c\end{matrix};x,y\right) \end{align}
Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\frac{\Gamma(h)\Gamma(n+m+h)}{\Gamma(n+h)\Gamma(m+h)}&=\sum_{0\leq r}\frac{(-n,-m)_r}{r!(h)_r}\\
\frac{\Gamma(n+h)\Gamma(m+h)}{\Gamma(h)\Gamma(n+m+h)}&=\sum_{0\leq r}\frac{(-n,-m)_r}{r!(-h-n-m+1)_r}\\
\end{align}
が得られる. また, Dougallの${}_5F_4$の和公式から
\begin{align}
\frac{\Gamma(n+h)\Gamma(m+h)}{\Gamma(h)\Gamma(n+m+h)}&=\sum_{0\leq r}\frac{(-1)^r(h)_{2r}(-n,-m)_r}{r!(h+r-1)_r(m+h,n+h)_r}\\
\frac{\Gamma(h)\Gamma(n+m+h)\Gamma(m+k)\Gamma(n+k)}{\Gamma(n+h)\Gamma(m+h)\Gamma(k)\Gamma(m+n+k)}&=\sum_{0\leq r}\frac{(k)_{2r}(k-h,-n,-m)_r}{r!(k+r-1)_r(m+k,n+k,h)_r}
\end{align}
が得られる. また, Saalschutzの和公式により,
\begin{align}
\frac{\Gamma(h)\Gamma(n+m+h)\Gamma(m+k)\Gamma(n+k)}{\Gamma(n+h)\Gamma(m+h)\Gamma(k)\Gamma(m+n+k)}&=\sum_{0\leq r}\frac{(h-k,-n,-m)_r}{r!(h,-k-n-m+1)_r}
\end{align}
という表示も得られる. これらの公式において, $n,m$を$\theta_x,\theta_y$に置き換えることによって作用素$\nabla(h),\Delta(h)$の表示を得ることができる. 具体例を挙げると,
\begin{align}
\Delta(h)&=\sum_{0\leq r}\frac{(-\theta_x,-\theta_y)_r}{r!(-h-\theta_x-\theta_y+1)_r}\\
\nabla(h)&=\sum_{0\leq r}\frac{(-\theta_x,-\theta_y)_r}{r!(h)_r}
\end{align}
のようになる.
18個の展開公式
\begin{align} F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a,b_1,b_2)_r}{r!(c_1,c_2)_r}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a+r,b_1+r\\c_1+r\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a+r,b_2+r\\c_2+r\end{matrix};y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c_1\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c_2\end{matrix};y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a,b_1,b_2)_r}{r!(c_1,c_2)_r}(xy)^rF_2\left(\begin{matrix}a+r;b_1+r,b_2+r\\c_1+r,c_2+r\end{matrix};x,y\right)\\ F_3\left(\begin{matrix}a_1,a_2;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a_1,a_2,b_1,b_2)_r}{r!(c+r-1)_r(c)_{2r}}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a_1+r,b_1+r\\c\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a_2+r,b_2+r\\c\end{matrix};y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a_1,b_1\\c\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a_2,b_2\\c\end{matrix};y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a_1,a_2,b_1,b_2)_r}{r!(c)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_3\left(\begin{matrix}a_1+r,a_2+r;b_1+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a,b_1,b_2,c-a)_r}{r!(c+r-1)_r(c)_{2r}}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a+r,b_1+r\\c+2r\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c\end{matrix};y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a,b_1,b_2,c-a)_r}{r!(c)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_1\left(\begin{matrix}a+r;b_1+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a,b_1,b_2)_r}{r!(c)_{2r}}(xy)^rF_3\left(\begin{matrix}a+r,a+r;b_1+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_3\left(\begin{matrix}a,a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a,b_1,b_2)_r}{r!(c)_{2r}}(xy)^rF_1\left(\begin{matrix}a+r;b_1+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a)_{2r}(b_1,b_2)_r}{r!(c+r-1)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_2\left(\begin{matrix}a+2r;b_1+r,b_2+r\\c+2r,c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c,c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a)_{2r}(b_1,b_2)_r}{r!(c)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_1\left(\begin{matrix}a+2r;b_1+r,b_2+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a)_{2r}(b)_r}{r!(c_1,c_2)_{r}}(xy)^rF_2\left(\begin{matrix}a+2r;b+r,b+r\\c_1+r,c_2+r\end{matrix};x,y\right)\\ F_2\left(\begin{matrix}a;b,b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a)_{2r}(b)_r}{r!(c_1,c_2)_{r}}(xy)^rF_4\left(\begin{matrix}a+2r;b+r\\c_1+r,c_2+r\end{matrix};x,y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x+y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a)_{2r}(b)_r}{r!(c)_{2r}}(xy)^rF_1\left(\begin{matrix}a+2r;b+r,b+r\\c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a)_{2r}(b)_r}{r!(c)_{2r}}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a+2r;b+r\\c+2r\end{matrix};x+y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x+y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a,b)_{2r}}{r!(c+r-1)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_4\left(\begin{matrix}a+2r;b+2r\\c+2r,c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c,c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a,b)_{2r}}{r!(c)_r(c)_{2r}}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a+2r;b+2r\\c+2r\end{matrix};x+y\right)\\ F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x+y\right)&=\sum_{0\leq r}\frac{(a)_{2r}(b,c-b)_{r}}{r!(c+r-1)_r(c)_{2r}}(xy)^rF_2\left(\begin{matrix}a+2r;b+r,b+r\\c+2r,c+2r\end{matrix};x,y\right)\\ F_2\left(\begin{matrix}a;b,b\\c,c\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq r}(-1)^r\frac{(a)_{2r}(b,c-b)_r}{r!(c)_r(c)_{2r}}(xy)^rF\left(\begin{matrix}a+2r;b+r\\c+2r\end{matrix};x+y\right)\\ \end{align}
数が多いので, 例として1つ目の公式を考えると,
\begin{align}
F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\nabla(a)F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c_1\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c_2\end{matrix};y\right)\\
&=\sum_{0\leq r}\frac{(-\theta_x,-\theta_y)_r}{r!(a)_r}F\left(\begin{matrix}a,b_1\\c_1\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a,b_2\\c_2\end{matrix};y\right)
\end{align}
であり,
\begin{align}
(-\theta_x)_rF\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x\right)=(-1)^r\frac{(a,b)_r}{(c)_r}x^r
F\left(\begin{matrix}a+r,b+r\\c+r\end{matrix};x\right)
\end{align}
と計算できることから示すことができる. 同様に他の公式も, Gaussの超幾何定理, Dougallの和公式, Saalschutzの和公式から従う作用素の展開を用いることによって示すことができる.
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