SURANYI's inequality
始めに
どうも，Weskです．
最近，あまり知られていない(？)不等式を知ったので，英語の勉強も兼ねて日本語に起こそうと思います．
ミスがあったら(どうせある気がしますが)教えてください．
Suranyi's inequality
まず，次のような有名不等式があります．等号成立条件は略します．
$x,y,z,r≧0$に対し，$$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)≧0$$
これから紹介する不等式は，これの一般化(r=1の時)です．
Suranyi's inequalityと呼ばれているらしいです．
$x_k>0(k=1,2,…,n)$に対し，$$(n-1) \sum_{k=1}^{n}x_k^n+n \prod_{k=1}^{n}x_k≧( \sum_{k=1}^{n}x_k )(\sum_{k=1}^{n}x_k^{n-1})$$
数学的帰納法を用いる．
$n=2$の時は当然成り立つ．
以下，nの時成り立つと仮定し，n+1について成り立つことを示す．
題意の不等式は対称式かつ斉次式であるので，$x_1≧x_2≧…≧x_{n+1}$かつ$x_1+x_2+…+x_n=1$として良い．示すべき不等式は，$$n \sum_{k=1}^{n+1}x_k^{n+1}+(n+1) \prod_{k=1}^{n+1}x_k≧( \sum_{k=1}^{n+1}x_k )(\sum_{k=1}^{n+1}x_k^{n})$$
これを書き換えると，$$n\sum_{k=1}^{n}x_k^{n+1}+nx_{n+1}^{n+1}+n x_{n+1}\prod_{k=1}^{n}x_k+x_{n+1}\prod_{k=1}^{n}x_k-(1+x_{n+1})(\sum_{k=1}^{n}x_k^{n}+x_{n+1}^n)≧0$$
帰納法の仮定より，$$nx_{n+1}\prod_{k=1}^{n}x_k≧x_{n+1}\sum_{k=1}^{n}x_k^{n-1}-(n-1)x_{n+1}\sum_{k=1}^{n}x_k^{n}$$
であるので，残る式は，
$$(n\sum_{k=1}^nx_k^{n+1}-\sum_{k=1}^nx_k^n)-x_{n+1}(n\sum_{k=1}^n x_k^n-\sum_{k=1}^n x_k^{n-1})+x_{n+1}(\prod_{k=1}^n x_k+(n-1)x_{n+1}^n-x_{n+1}^{n-1})≧0$$
この不等式を2部分に分けて示す．
まずChebyshev's inequalityより，$$n\sum_{k=1}^n x_k^n-\sum_{k=1}^n x_k^{n-1}≧0$$が成り立つ．
次に$nx_{k}^{n+1}+\dfrac{1}{n}x_k^{n-1}≧2x_k^n$だから，これを加えていくことで次を得る．
$$\prod_{k=1}^n x_k+(n-1)x_{n+1}^n-x_{n+1}^{n-1}=\prod_{k=1}^n(x_k-x_{n-1}+x_{n+1})+(n-1)x_{n+1}^n-x_{n+1}^{n-1}≧x_{n+1}^n+x_{n+1}^{n-1}\sum_{k=1}^{n}(x_k-x_{n+1})+(n-1)x_{n+1}^n-x_{n+1}^{n-1}=0$$
ところで，$$n\sum_{k=1}^{n}x_k^{n+1}-\sum_{k=1}^{n}x_k^n≧\dfrac{1}{n}(n\sum_{k=1}^{n}x_k^{n}-\sum_{k=1}^{n}x_k^{n-1})$$であり，$x_{n+1}≦\dfrac{1}{n}$であった．
以上より示したい不等式が得られたので，帰納法が回り，示された□
これにおける$n=3$が定理1(Schur's inequality)と一致します．
また$n=4$についての式から，次の結果が得られます．
$x_1,x_2,x_3,x_4≧0$に対し，$$2 (\sum_{k=1}^{4}x_k^4+2 \prod_{k=1}^{4}x_k)≧ \sum_{1≦i< j≦4}x_ix_j(x_i^2+x_j^2) $$
また定理3と$x_i^2x_j^2≧2x_ix_j$から，次がわかります．
$x_1,x_2,x_3,x_4≧0$に対し，$$\sum_{k=1}^4x_k^4+2\prod_{k=1}^4x_k≧\sum_{1≦i< j≦4}x_i^2x_j^2$$
つまりこの不等式は，Turkevici's inequalityの一般化でもあります．
ここまでの結果を用い，問題を幾つか解いてみましょう．
三角形$ABC$の各辺の長さを$a,b,c$，$\dfrac{a+b+c}{2}=s$とする．
外接円・内接円の半径をそれぞれ$R,r$とする時以下を示せ．
1)$R≧2r$ (Eulerの不等式)
2)$s^2≧r^2+16Rr$
3)$(4R+r)^3≧s^2(16R-5r)$
解答(略)
いずれの問題についても，Suranyi's inequalityにおけるn=3を用いればよい．
1)$x_1=a,x_2=b,x_3=c$とすれば示せる．
2)$x_1=s-a,x_2=s-b,x_3=s-c$とすれば示せる．
3)$x_1=r_a,x_2=r_b,x_3=r_c$とすればよい(いずれもA-/B-/C-傍接円の半径)
