【備忘録】pi/9 の美しい等式

高校数学で示せます！

証明

\begin{align*} (\text{L.H.S.})^2&=\tan^2\frac\pi9+16\sin^2\frac\pi9+8\sin\frac\pi9\tan\frac\pi9\\ &=\frac{1-\cos^2\frac\pi9}{\cos^2\frac\pi9}+16\left(1-\cos^2\frac\pi9\right)+\frac{8(1-\cos^2\frac\pi9)}{\cos\frac\pi9} \end{align*}

$\displaystyle t=\cos\frac\pi9$とおく.
\begin{align*} &=\frac{1-t^2}{t^2}+16(1-t^2)+\frac{8(1-t^2)}{t}\\ &=\frac{-16t^4-8t^3+15t^2+8t+1}{t^2} \end{align*}

ここで, $\cos$ の3倍角の公式より,
\begin{align*} 4\cos^3\frac\pi9-3\cos\frac\pi9&=\cos\frac\pi3=\frac12\\ 8t^3-6t-1&=0 \end{align*}
がわかるので,

\begin{align*} &=\frac{(-2t-1)(8t^3-6t-1) + 3t^2}{t^2}\\ &=3\\ &=(\text{R.H.S.})^2 \end{align*}

$(\text{L.H.S.}) > 0$ より示された.

最後に

問題自体はどこで見つけたのかもう忘れてしまいました...

この解き方はわたしの友人によるもので, 高校数学で十分できる, とってもいい解法だったので感動した覚えがあります！

図形で解くことはできるのでしょうか？🤔