合流型超幾何関数の積分表示
合流型超幾何関数を
\begin{align}
M(a,b;x)&:=\F11{a}bx\\
U(a,b;x)&:=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}M(a,b;x)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}x^{1-b}M(1+a-b,2-b;x)
\end{align}
と定義する. 今回はこれらの積分表示を与える.
Euler-Laplace型積分表示
$0<\Re(a)<\Re(b)$のとき,
\begin{align}
M(a,b;x)&=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}e^{xt}\,dt\\
\end{align}
が成り立つ. また, $0<\Re(a),\Re(x)$のとき,
\begin{align}
U(a,b;x)&=\frac 1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}e^{-xt}\,dt
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の式は指数関数のMaclaurin展開と項別積分により,
\begin{align}
&\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}e^{xt}\,dt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!}\int_0^1t^{a+n-1}(1-t)^{b-a-1}\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)}\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!(b)_n}x^n\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)}M(a,b;x)
\end{align}
と示される. 2つ目の式は指数関数を
\begin{align}
e^{-xt}=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-s)(xt)^{s}\,ds
\end{align}
とMellin-Barnes積分に展開すると,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}e^{-xt}\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\left(\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-s)(xt)^{s}\,ds\right)\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-s)x^{s}\left(\int_0^{\infty}t^{a+s-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt\right)\,ds\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-s)x^{s}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(1-b-s)}{\Gamma(1+a-b)}\,ds
\end{align}
となる. ここで, 積分路の右側の極に関してMellin-Barnes積分を展開すると
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-s)x^{s}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(1-b-s)}{\Gamma(1+a-b)}\,ds\\
&=\frac 1{\Gamma(1+a-b)}\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(1-b-n)}{n!}(-x)^n+\frac{x^{1-b}}{\Gamma(1+a-b)}\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(1+a-b+n)\Gamma(b-1-n)}{n!}(-x)^n\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}M(a,b;x)+x^{1-b}\Gamma(b-1)M(1+a-b,2-b;x)\\
&=\Gamma(a)U(a,b;x)
\end{align}
と示される.
Mellin-Barnes積分表示
合流型超幾何関数は以下のようなMellin-Barnes積分表示を持つ.
\begin{align} M(a,b;x)&=\frac{\Gamma(b)}{2\pi i\Gamma(a)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)}(-x)^s\,ds\\ U(a,b;x)&=\frac 1{2\pi i\Gamma(a)\Gamma(1+a-b)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(a+s)\Gamma(1-b-s)\Gamma(-s)x^s\,ds \end{align}
$U(a,b;x)$の方は定理1の証明の過程で現れたものであり, $M(a,b;x)$の方も同様に展開すれば確認できる.
変形Bessel関数による積分表示
第1種, 第2種の変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(x)&:=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+\nu}\\
K_{\nu}(x)&:=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin\pi\nu}
\end{align}
で定義される. これらを用いて, 合流型超幾何関数は以下のように積分表示できる.
\begin{align} M(a,b;x)&=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}x^{\frac{1-b}2}\int_0^{\infty}t^{a-\frac b2-\frac 12}e^{-t}I_{b-1}(2\sqrt{xt})\,dt\\ U(a,b;x)&=\frac{2x^{\frac{1-b}2}}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b)}\int_0^{\infty}t^{a-\frac b2-\frac 12}e^{-t}K_{b-1}(2\sqrt{xt})\,dt\\ \end{align}
1つ目の等式は項別積分により,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}\sum_{0\leq n}\frac 1{n!\Gamma(b+n)}x^nt^{n+a-1}e^{-t}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)}{n!\Gamma(b+n)}x^n\\
&=M(a,b;x)
\end{align}
と示される. 2つ目の等式は1つ目の等式を用いることで,
\begin{align}
&\frac{2x^{\frac{1-b}2}}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b)}\int_0^{\infty}t^{a-\frac b2-\frac 12}e^{-t}K_{b-1}(2\sqrt{xt})\,dt\\
&=\frac{\pi x^{\frac{1-b}2}}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b)\sin\pi b}\int_0^{\infty}t^{a-\frac b2-\frac 12}e^{-t}(I_{b-1}(2\sqrt{xt})-I_{1-b}(2\sqrt{xt}))\,dt\\
&=\frac{\pi}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b)\sin\pi b}\left(\frac{\Gamma(a)}{\Gamma(b)}M(a,b;x)-\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(2-b)}x^{1-b}M(1+a-b,2-b;x)\right)\\
&=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}M(a,b;x)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}x^{1-b}M(1+a-b,2-b;x)\\
&=U(a,b;x)
\end{align}
と示される.
