京大2024理系数学[4]コラッツ予想似問題
2024年京大理系数学の試験問題の４番、コラッツ予想似の問題、2月に解いてみていたものをこちらにアップロードします。
漸化式から、コラッツ予想だと構えずに、シンプルに解いてみました。
京大2024理系数学【4】
最初に考えたこと↓
(1)は１から順に計算していけば、答えだけは見つかりそうだけど、(2)は体当たり計算では無理そう。
(1)の答えだけ何とか出したら解き方がつかめて、(2)に応用できるかも。
とりあえず、奇数１から順に計算してみるか・・・。
a(n)=１のとき、a(n+1)=2
a(n)=3のとき、a(n+1)=5
a(n)=5のとき、a(n+1)=8
a(n)=7のとき、a(n+1)=11
a(n)=9のとき、a(n+1)=14
a(n)=11のとき、a(n+1)=17・・・
a(n+1)は、偶数、奇数が交互にきてる・・・ということは、奇数を、4m-3と4m-1とでおいてみるかな。
そして奇数のときの計算をしよう。３倍して１足して２で割ってみる・・・
3(4m-3)+1=12m-8=4(3m-2)
3(4m-1)+1=12m-2=2(3m-1)
あっ！２で割って奇数になるときは、4m-3のときは全くなくて（2で割ってもまだ偶数だから）、4m-1のときの一部。
このことを使って、とりあえず解いてみよう・・・。
(1)
mが1以上の整数であるとき、正の奇数は、4m-1と4m-3ですべて表せる。
①a(n)=4m-1のときは
a(n+1)=3(4m-1)+1=12m-2=2(3m-1)
②a(n)=4m-3のときは
a(n+1)=3(4m-3)+1=12m-8=4(3m-2)
②のとき、a(n+2)は偶数になるので、奇数が続くとき、その奇数は、①の４で割ると３余る数(4m-1)である。
よって、s,t,uが正の整数のとき、
a(n)=4s-1
a(n+1)=4t-1
a(n+2)=4u-1
とおいて、これを出題の奇数の漸化式に代入すると
a(n+1)=6s-1
a(n+2)=6t-1
a(n+3)=6u-1
なので
4t-1=6s-1
4u-1=6t-1
である。
よって、
t=(3/2)s
u=(3/2)t
と変形できるので、このs,t,uの数列は初項s、等比(3/2)の等比数列である。
a(n)が最小で、a(n+3)まで奇数が４続くときは、u=s(3/2)^2である。
uは整数にならなければならないので、2^2が、最小のa(0)をとるときのsである。
よって、a(0)=4×2^2-1=4×4-1=15である。
(2)
(1)より、奇数が１１続くときは、(3/2)を9乗したときに整数にならなければならないので、
2^9が、最小のa(0)をとるときのsである。
よって、a(0)=4×2^9-1=4×512-1=2047である。
