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OMCB041 参加記

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初めに

どうも、Weskdohnです。今回は4/14に行われたOMCB041の感想などを書いていこうと思います。
問題ページは以下です。writterさんが沢山回です。
OMCB041 コンテストページ

参加時の動き

配点は1-1-1-2-2-2-3-4
どうせ早解き勝負だろうなと思いながらFA狙いでBから着手.

B

OMCB041 B問題 OMCB041 B問題
明らかにa>b>c.c=2のときMINなのでc=2とすると、b=6,a=2・3・5・7・11・13である.
提出を見る感じまだFAが狙えそうだった(200点代)のでFに着手.

F

OMCB041 F問題 OMCB041 F問題
a=2^a1+2^a2,b=2^b1+2^b2と置くと,ab=2^(a1+b1)+2^(a1+b2)+2^(a2+b1)+2^(a2+b2)である.
1が2回現れるのは繰り上がりが2回あればよく,これはa1+b2=a2+b1=a1+b1-1と同値である.
よって,aとbが3・2^kと書ければよいので,9^2=81組と出る.
早く考察できたからかFAでした!
もうFAは取れなさそうなので(?)簡単そうなAに着手.

A

OMCB041 A問題 OMCB041 A問題
等差数列の基本(a_n=a+(n-1)d)と置くと,
a^2+4ad+4d^2=a^2+16adより3a=d,これとa+8d=100よりa=4すなわちd=12と出る.
Cの見た目がかなりいかついので,Eから着手することにする.

E

OMCB041 E問題 OMCB041 E問題
x-y=(√x+√y)(√x-√y)より,√x-√y=1である.同様にy,zについても考えると,(x,y,z)=((t+2)^2,(t+1)^2,t^2)と書け,これを第3式に代入してt^2-4t+5=0を得るので、答えは(49,36,25)のみである.
先に200を潰すべくDへ.

D

OMCB041 D問題 OMCB041 D問題
主客転倒めいたことをすれば良い.
ある線について,右にn個,左に98-n個あるような場合の数が100ずつ(n≠49)あるのでその積と、n=49の場合を足してあげる(50ずつ).
まだCがわからない(なぜ)のでGを解くことにする.

G

OMCB041 G問題 OMCB041 G問題
1~nまでの(6k-1)(6k-5)の積のorder5を求めれば良い.
(6k-1)のみ取り出すと、この和はn/5+n/5^2+…n/5^8+2(5^9,5^9・7の時)
(6k-5)のときも同様である.
分子のorder5はn/5+n/5^2+…n/5^8+1より、電卓ポチポチで解ける.
流石にHより後にCを解くわけにはいかず、Cへ……

C

OMCB041 C問題 OMCB041 C問題
Xを重心に持つ正n角形を考えれば良い.n=6の時XPi=PiPjとなるので,n=5とわかる.
後はHのみなのでHに取り掛かる.

H

OMCB041 H問題 OMCB041 H問題
相似がいっぱい出てくる問題.
CDEMが共円になることがangle-chaseより分かる.
ここでDMとACの交点をFとすると,AE=EF(∵三角形ADFについてDEはAFの中点であることがangle-chaseよりわかる)である.よってBA=BF=4かつBF=CF=4より,AE=3/2.よって三平方の定理で答えを得る.

結果

全完3ペナで10位でした!久しぶりの一枚目∧top10でめっちゃ嬉しいです!
個人的にはHが一番簡単だったんですが……青diffっぽくてびっくりです

投稿日:414
更新日:27日前
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'09(高1)|skg65|数研 OMC水3:Patience MathlogにはOMCの参加記(略気味)を書きます

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