ラマヌジャンの公式集：ラマヌジャンの出題した問題

$$\frac{3}{2}\log 2=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{(4n{)}^3-4n}$$
を示せ。

$$\begin{array}{}\text{(a)}& \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^3})& =\frac{1}{\pi }\cosh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}\text{(b)}& \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n^3})& =\frac{1}{3\pi }\cosh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}\end{array}$$
を示せ。また左辺の表示から$(\mathrm{b})=(\mathrm{a})/3$を示せ。

　未知数$x,y,z,p,q,r$に関する方程式
$$\begin{array}{rl}x+y+z& =a\\ px+qx+rz& =b\\ p^{2}x+q^{2}y+r^{2}z& =c\\ p^{3}x+q^{3}y+r^{3}z& =d\\ p^{4}x+q^{4}y+r^{4}z& =e\\ p^{5}x+q^{5}y+r^{5}z& =f\end{array}$$
は解けることを示せ。また$(a,b,c,d,e,f)=(2,3,4,6,12,32)$の場合についてこれを解け。

$$\frac{x^6-6}{x^2-y}=\frac{y^6-9}{y^2-x}=5(xy-1)$$
を解け。

$$\begin{array}{r}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}\\ \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\cdots }}}\end{array}$$
の値を求めよ。

　正整数$n$に対してある$\frac{1}{3}<\mathrm{\Theta }<\frac{1}{2}$が存在して
$$\frac{e^n}{2}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}+\frac{n^n}{n!}\mathrm{\Theta }$$
が成り立つことを示せ。

　$\alpha \beta =\pi$において
$$\sqrt{\alpha }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x^2}}{\cosh \alpha x}dx=\sqrt{\beta }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x^2}}{\cosh \beta x}dx$$
が成り立つことを示せ。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\theta \cot \theta \log \sin \theta d\theta & =-\frac{{\pi }^2}{48}-\frac{\pi }{4}(\log 2{)}^2\\ {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{\arcsin x}{x}dx-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}dx& =\frac{\pi }{8}\log 2\end{array}$$
を示せ。

　オイラー定数
$$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)$$
は
$$\log 2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\sum _{k=1}^{3^{n-1}}\frac{2}{(\frac{3^n-3}{2}+3k{)}^3-(\frac{3^n-3}{2}+3k)}$$
に等しいことを示せ。

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1-\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}& =(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{\frac{2}{5}\pi }\\ \frac{1}{1-\frac{e^{-\pi }}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1-\frac{e^{-3\pi }}{1+\ddots }}}}& =(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}-1}{2})e^{\frac{1}{5}\pi }\end{array}$$
を示せ。

　奇数$n\ge 1$に対し
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{\cosh x+\cos x}\frac{dx}{x}=\frac{\pi }{4}$$
が成り立つことを示せ。またこのことから
$$\frac{\pi }{8}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}{(\cosh \frac{2k+1}{2n}\pi +\cos \frac{2k+1}{2n}\pi )}^{-1}$$
が成り立つことを示せ。

　$4$の倍数$n\ne 0$に対し
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(2k+1{)}^{n-1}}{\cosh \frac{2k+1}{2}\pi }=0$$
が成り立つことを示せ。

$$\sin (x+y)=2\sin \frac{x-y}{2},\sin (y+z)=2\sin \frac{y-z}{2}$$
において
$${\left(\frac{\sin x\cos z}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}+{\left(\frac{\cos x\sin z}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}=(\sin 2y{)}^{\frac{1}{12}}$$
が成り立つことを示せ。また実際これが
$$\sin 2x=(\sqrt{5}-2{)}^3(4+\sqrt{15}{)}^2,\sin 2y=\sqrt{5}-2,\sin 2z=(\sqrt{5}-2{)}^3(4-\sqrt{15}{)}^2$$
の場合について成り立つことを確認せよ。

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+r^n{x}^2)}=\frac{\pi }{2}\frac{1}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$
を示せ。

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{e^{2\pi n}-1}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi }$$
を示せ。

　二次形式の積
$$(A{x}^2+Bxy+C{y}^2)(A{p}^2+Bpq+C{q}^2)$$
を再び$A{u}^2+Buv+C{v}^2$の形に表せ。またそのことから
$$(2x^2+3xy+5y^2)(2p^2+3pq+5q^2)=2u^2+3uv+5v^2$$
を満たすような$u,v$の一つとして
$$u=\frac{5}{2}(x+y)(p+q)-2xp,v=2qy-(x+y)(p+q)$$
が成り立つを示せ。

$$(6a^2-4ab+4b^2{)}^3=(3a^2+5ab-5b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3$$
を示せ。また同様の関係式(おそらく
$$P^3=Q^3+R^3+S^3$$
という恒等式のこと)を満たす別の二次式を見つけよ。

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos tx}{e^{2\pi \sqrt{x}}-1}dx=\varphi (t)$$
とおくと
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin tx}{e^{2\pi \sqrt{x}}-1}dx=\varphi (t)-\frac{1}{2t}+\varphi \left(\frac{{\pi }^2}{t}\right)\sqrt{\frac{2{\pi }^3}{t^3}}$$
が成り立つ。$\varphi (t)$を求めよ。特に
$$\begin{array}{c}\varphi (0)=\frac{1}{12},\varphi \left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4\pi },\varphi (\pi )=\frac{2-\sqrt{2}}{8}\\ \varphi (2\pi )=\frac{1}{16},\varphi (\mathrm{\infty })=0\end{array}$$
を示せ。

　$2^n-7$は$n=3,4,5,7,15$のとき平方数となる。このような$n$を他にも求めよ。

　$n!+1$は$n=4,5,7$のとき平方数となる。このような$n$を他にも求めよ。

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+e^{-(2n-1)\pi \sqrt{55}})=\frac{1+\sqrt{3+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{1}{24}\pi \sqrt{55}}$$
を示せ。

$$x^2=y+a,y^2=z+a,z^2=x+a$$
を解け。またそのことから
$$\begin{array}{rl}\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\cdots }}}& =1+2\sqrt{3}\sin {20}^{\circ }\\ \sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-\cdots }}}& =1+4\sin {10}^{\circ }\\ \sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23-\cdots }}}& =1+4\sqrt{3}\sin {20}^{\circ }\end{array}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{4\pi }{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{8\pi }{7}}& =\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}\\ \sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{9}}+\sqrt[3]{\cos \frac{4\pi }{9}}+\sqrt[3]{\cos \frac{8\pi }{9}}& =\sqrt[3]{\frac{3\sqrt[3]{9}-6}{2}}\end{array}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}& =\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25}}{3}\\ \sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}}& =\frac{\sqrt[3]{98}-\sqrt[3]{28}-1}{3}\end{array}$$
を示せ。

$$\frac{1}{x}>\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{n-2}}{(x+n{)}^n}(x>0)$$
を示せ。また$x$が十分大きいときの誤差を推定せよ。特に
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{n-2}}{(1000+n{)}^n}\fallingdotseq \frac{1}{1000}-{10}^{-440}$$
を示せ。

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!!}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\ddots }}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!!}{(2n+1)(2n+1)!!}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{n+1}})& =\frac{\pi }{12}\log (2+\sqrt{3})\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!!}{(2n+1)(2n+1)!!}& =\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{1}{2}(\log (1+\sqrt{2}){)}^2\end{array}$$
を示せ。

$$\frac{\pi }{2}\alpha =\log \tan (\frac{\pi }{4}(1+\beta ))$$
において
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1{)}^2-{\beta }^2}{(2n-1{)}^2+{\alpha }^2}\right)}^{(-1{)}^n(2n-1)}=e^{\frac{\pi }{2}\alpha \beta }$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n^2}}{\prod _{k=1}^n(1-x^k)}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n(n+1)}}{\prod _{k=1}^n(1-x^k)}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}\end{array}$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(x+a-b)!(8x+2b)!(9x+a+b)!}{(3x+a-c)!(3x+a-b+c)!(12x+3b)!}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$
を示せ。

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\sqrt{5}-2{)}^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{24}-\frac{1}{12}(\log (2+\sqrt{5}){)}^2$$
を示せ。

$$\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^{2}x}\cos \left(\pi n^2\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^{2}x}\sin \left(\pi n^2\sqrt{1-x^2}\right)$$
を示せ。またそのことから
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2}& =\sqrt{5\sqrt{5}-10}(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-5\pi n^2})\\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2}(\pi n^2-\frac{1}{4})& =\frac{1}{8}\end{array}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{2k+1}\right)\frac{5^{-n}}{2n+1}& =\frac{{\pi }^2}{4\sqrt{5}}\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{2k+1}\right)\frac{9^{-n}}{2n+1}& =\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{3}{8}(\log 2{)}^2\end{array}$$
を示せ。

　整数の範囲で
$$x^3+y^3+z^3=u^6$$
を解け。またそのことから
$$\begin{array}{rlrl}{6}^3-5^3-3^3& =2^6& 8^3+6^3+1^3& =3^6\\ {12}^3-{10}^3+1^3& =3^6& {46}^3-{37}^3-3^3& =6^6\\ {174}^3+{133}^3-{45}^3& ={14}^6& {1188}^3-{509}^3-3^3& ={34}^6\end{array}$$
を示せ。

　翻訳が面倒なので割愛。
Collected Papersより

　正の有理数の範囲で
$$x^y=y^x$$
を解け。例えば
$$(x,y)=(4,2),(27/8,9/4)$$
はこれを満たす。

　整数の範囲で
$$x^3+y^3+z^3=1$$
を解け。またそのことから
$$\begin{array}{rl}{6}^3+8^3& =9^3-1\\ 9^3+{10}^3& ={12}^3+1\\ {135}^3+{138}^3& ={172}^3-1\\ {791}^3+{812}^3& ={1010}^3-1\\ {11161}^3+{11468}^3& ={14258}^3+1\\ {65601}^3+{67402}^3& ={83802}^3+1\end{array}$$
を示せ。

　$A+\sqrt[3]{B}$という形の無理数の三乗根の求め方を提示せよ。またそのことから
$$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$$
を示せ。

　方程式
$$\begin{array}{rl}{x}^6-x^3+x^2+2x-1& =0\\ x^6+x^5-x^3-x^2-x+1& =0\end{array}$$
の解はそれぞれ根号を用いて表せることを示せ。

$$\sum _{k=1}^n(a+b+2k-1)\frac{(a{)}_k^2}{(b{)}_k^2}$$
を求めよ。

$$x^2=y+a,y^2=z+a,z^2=u+a,u^2=x+a$$
を解け。またそのことから
$$x=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+x}}}}$$
のとき
$$x=\frac{1}{2}(2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}})$$
が成り立つこと、および
$$x=\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5-\sqrt{5+x}}}}$$
のとき
$$x=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-2+\sqrt{13-4\sqrt{5}}+\sqrt{50+12\sqrt{5}-2\sqrt{68-20\sqrt{5}}})$$
が成り立つことを示せ。

$$\begin{array}{rl}[\frac{n}{3}]+\left[\frac{n+2}{6}\right]+\left[\frac{n+4}{6}\right]& =[\frac{n}{2}]+\left[\frac{n+3}{6}\right]\\ [\frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{2}}]& =[\frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}]\\ [\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]& =\left[\sqrt{4n+2}\right]\end{array}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n\arctan \frac{1}{2n+2k-1}& =\sum _{k=1}^n\arctan \frac{1}{(2k-1)(1+2(2k-1{)}^2)}\\ \sum _{k=1}^n\arctan \frac{1}{(2n+2k-1)\sqrt{3}}& =\sum _{k=1}^n\arctan \frac{1}{((2k-1)\sqrt{3}{)}^3}\end{array}$$
を示せ。

$$\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{n-2}{x}^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-nx}$$
とおいたとき$0\le x\le 1$において$\varphi (x)=1$が成り立ち、$x>1$においては$\varphi (x)\ne 1$が成り立つことを示せ。また極限
$$\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\frac{\varphi (1+ϵ)-\varphi (1)}{ϵ}$$
を求めよ。

　正整数$n$に対し
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nx}(\cot x+\coth x)\sin nxdx=\frac{\pi }{2}{\left(\frac{1+e^{-\pi n}}{1-e^{-\pi n}}\right)}^{(-1{)}^n}$$
を示せ。

$$\varphi (x)={\left(\frac{e^x[x]!}{x^{[x]}}\right)}^2-2\pi x(x>0)$$
とおいたとき、$\varphi (x)$は連続関数を定めること、および$x\to \mathrm{\infty }$において$\frac{\pi }{3}$から$-\frac{\pi }{6}$までを振動することを示せ。また$\varphi (x)$を微分せよ。

$$\varphi (x)=\frac{1}{2}\log 2\pi x-x+{\int }_1^x\frac{[t]}{t}dt$$
とおいたとき
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}x\varphi (x)=\frac{1}{24},\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim inf}x\varphi (x)=-\frac{1}{12}$$
を示せ。

　ある$\frac{1}{100}<E<\frac{1}{30}$が存在し、$x>0$において
$${\left(\frac{e}{x}\right)}^x\frac{\mathrm{\Gamma }(1+x)}{\sqrt{\pi }}=\sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+E}$$
が成り立つことを示せ。

　翻訳が面倒なので割愛。
Collected Papersより

$$\psi (x)=\frac{x+2}{x^2+x+1}$$
とおいたとき、$x>0$において
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n}\psi (x^{3^{-n}})=\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}$$
が成り立ち、$x<0$において
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n}\psi (x^{3^{-n}})=\frac{1}{1-x}$$
が成り立つことを示せ。

$$\log 2\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\log n\log 2n}+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\log n}=\frac{1}{\log 2}$$
を示せ。

　${\delta }_n$を約数関数${\delta }_n=\sum _{d\mid n}1$とすると
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{\delta }_{2n+1}$$
は収束し
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{\delta }_n$$
は正か負の無限大に発散することを示せ。

　$x=y^n-y^{n-1}$において
$$J_n={\int }_0^1\frac{\log y}{x}dx$$
とおくと
$$J_0=\frac{{\pi }^2}{6},J_{\frac{1}{2}}=\frac{{\pi }^2}{10},J_1=\frac{{\pi }^2}{12},J_2=\frac{{\pi }^2}{15}$$
および
$$J_n+J_{\frac{1}{n}}=\frac{{\pi }^2}{6}$$
が成り立つことを示せ。

　$\{x\}$を$x$の小数部分(つまり$\{x\}=x-[x]$)とすると
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N\{N\sqrt{2}\}& =\frac{1}{2\sqrt{2}}\\ \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N\{N\sqrt{3}\}& =\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N\{N\sqrt{5}\}& =\frac{1}{2\sqrt{5}}\\ \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N\{N\sqrt{6}\}& =\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N\{N\sqrt{7}\}& =\frac{3}{2\sqrt{7}}\end{array}$$
および任意の整数$n,p(p>0)$に対し
$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim inf}N(\log N{)}^{1-p}\{N{e}^{\frac{2}{n}}\}=0$$
が成り立つことを示せ。また$p=0$においてはこれが成り立たないことも示せ。

$$\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{a^3+b^3}-a)(\sqrt[3]{a^3+b^3}-b)}=\sqrt[3]{(a+b{)}^2}-\sqrt[3]{a^2-ab+b^2}$$
を示せ。これは
$$\sqrt{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)(\sqrt{a^2+b^2}-b)}=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$$
の類似である。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\ddots }}}}dx& =\frac{\sqrt{\pi /2}}{n+\frac{1}{n+\frac{2}{n+\frac{3}{n+\ddots }}}}\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(\pi nx/2\right)}{x+\frac{1^2}{x+\frac{2^2}{x+\frac{3^2}{x+\ddots }}}}dx& =\frac{1}{n+\frac{1^2}{n+\frac{2^2}{n+\frac{3^2}{n+\ddots }}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\sqrt{\sqrt[5]{\frac{1}{5}}+\sqrt[5]{\frac{4}{5}}}& =\sqrt[5]{1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{8}}\\ & =\sqrt[5]{\frac{16}{125}}+\sqrt[5]{\frac{8}{125}}+\sqrt[5]{\frac{2}{125}}-\sqrt[5]{\frac{1}{125}}\\ \sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}}-\sqrt[5]{\frac{27}{5}}}& =\sqrt[5]{\frac{1}{25}}+\sqrt[5]{\frac{3}{25}}-\sqrt[5]{\frac{9}{25}}\\ \sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]{5}}{3-2\sqrt[4]{5}}}& =\frac{\sqrt[4]{5}+1}{\sqrt[4]{5}-1}\end{array}$$
を示せ。

$$\begin{array}{rl}\sqrt[6]{7\sqrt[3]{20}-19}& =\sqrt[3]{\frac{5}{3}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\\ \sqrt[8]{4\sqrt[3]{\frac{2}{3}}-5\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}& =\sqrt[3]{\frac{4}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{1}{9}}\end{array}$$
を示せ。