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数学史・伝記解説
文献あり

ラマヌジャンの公式集:ラマヌジャンの出題した問題

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{T}[0]{\Theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではラマヌジャンの発見した公式の数々を鑑賞していきます。
 今回はラマヌジャンが渡英以前にインド数学会誌("Journal of The Indian Mathematical Society")に出題していた問題を紹介していきます。
 なおそれらの問題はG.H. Hardyによる"Collected Papers"にてまとめられており、当時(1927)解決されていた問題についてはその解答が掲載されたインド数学会誌の巻数や、その解法が載っている文献が付記されています。またその"Collected Papers"やその原典である"Journal of The Indian Mathematical Society"における記述については このサイト のQuestionsからも閲覧できます。

III

Question 260

$$\frac32\log2=1+\sum^\infty_{n=1}\frac2{(4n)^3-4n}$$
を示せ。

Question 261

\begin{align} \tag{a}\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac1{n^3}\r)&=\frac1\pi\cosh\frac{\sqrt3\pi}2\\ \tag{b}\prod^\infty_{n=1}\l(1-\frac1{n^3}\r)&=\frac1{3\pi}\cosh\frac{\sqrt3\pi}2 \end{align}
を示せ。また左辺の表示から$(\mathrm{b})=(\mathrm{a})/3$を示せ。

Question 283

 未知数$x,y,z,p,q,r$に関する方程式
\begin{align} x+y+z&=a\\ px+qx+rz&=b\\ p^2x+q^2y+r^2z&=c\\ p^3x+q^3y+r^3z&=d\\ p^4x+q^4y+r^4z&=e\\ p^5x+q^5y+r^5z&=f \end{align}
は解けることを示せ。また$(a,b,c,d,e,f)=(2,3,4,6,12,32)$の場合についてこれを解け。

Question 284

$$\frac{x^6-6}{x^2-y}=\frac{y^6-9}{y^2-x}=5(xy-1)$$
を解け。

Question 289

\begin{align} \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots}}}\\ \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\cdots}}} \end{align}
の値を求めよ。

Question 294

 正整数$n$に対してある$\frac13<\T<\frac12$が存在して
$$\frac{e^n}2=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{n^k}{k!}+\frac{n^n}{n!}\T$$
が成り立つことを示せ。

Question 295

 $\a\b=\pi$において
$$\sqrt\a\int^\infty_0\frac{e^{-x^2}}{\cosh\a x}dx =\sqrt\b\int^\infty_0\frac{e^{-x^2}}{\cosh\b x}dx$$
が成り立つことを示せ。

Question 308

\begin{align} \int^{\frac\pi2}_0\t\cot\t\log\sin\t\ d\t&=-\frac{\pi^2}{48}-\frac\pi4(\log2)^2\\ \int^{\frac1{\sqrt2}}_0\frac{\arcsin x}xdx-\frac12\int^1_0\frac{\arctan x}xdx&=\frac\pi8\log2 \end{align}
を示せ。

Question 327

 オイラー定数
$$\g=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r)$$

$$\log2-\sum^\infty_{n=1}n\sum^{3^{n-1}}_{k=1}\frac2{(\frac{3^n-3}2+3k)^3-(\frac{3^n-3}2+3k)}$$
に等しいことを示せ。

IV

Question 352

\begin{align} \cfrac1{1-\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\ddots}}}} &=\l(\sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}-\frac{\sqrt5+1}2\r)e^{\frac25\pi}\\ \cfrac1{1-\cfrac{e^{-\pi}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1-\cfrac{e^{-3\pi}}{1+\ddots}}}} &=\l(\sqrt{\frac{5-\sqrt5}2}-\frac{\sqrt5-1}2\r)e^{\frac15\pi} \end{align}
を示せ。

Question 353

 奇数$n\geq1$に対し
$$\int^\infty_0\frac{\sin nx}{\cosh x+\cos x}\frac{dx}x=\frac\pi4$$
が成り立つことを示せ。またこのことから
$$\frac\pi8=\sum^\infty_{k=0}\frac{(-1)^k}{2k+1}\l(\cosh\frac{2k+1}{2n}\pi+\cos\frac{2k+1}{2n}\pi\r)^{-1}$$
が成り立つことを示せ。

Question 358

 $4$の倍数$n\neq0$に対し
$$\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{(2k+1)^{n-1}}{\cosh\frac{2k+1}2\pi}=0$$
が成り立つことを示せ。

Question 359

$$\sin(x+y)=2\sin\frac{x-y}2,\quad\sin(y+z)=2\sin\frac{y-z}2$$
において
$$\l(\frac{\sin x\cos z}2\r)^{\frac14}+\l(\frac{\cos x\sin z}2\r)^{\frac14}=(\sin2y)^{\frac1{12}}$$
が成り立つことを示せ。また実際これが
$$\sin2x=(\sqrt5-2)^3(4+\sqrt{15})^2,\quad\sin2y=\sqrt5-2,\quad\sin2z=(\sqrt5-2)^3(4-\sqrt{15})^2$$
の場合について成り立つことを確認せよ。

Question 386

$$\int^\infty_0\frac{dx}{\prod^\infty_{n=0}(1+r^nx^2)}=\frac\pi2\frac1{\sum^\infty_{n=0}r^{\frac{n(n+1)}2}}$$
を示せ。

Question 387

$$\sum^\infty_{n=1}\frac{n}{e^{2\pi n}-1}=\frac1{24}-\frac1{8\pi}$$
を示せ。

Question 427

 二次形式の積
$$(Ax^2+Bxy+Cy^2)(Ap^2+Bpq+Cq^2)$$
を再び$Au^2+Buv+Cv^2$の形に表せ。またそのことから
$$(2x^2+3xy+5y^2)(2p^2+3pq+5q^2)=2u^2+3uv+5v^2$$
を満たすような$u,v$の一つとして
$$u=\frac52(x+y)(p+q)-2xp,\quad v=2qy-(x+y)(p+q)$$
が成り立つを示せ。

V

Question 441

$$(6a^2-4ab+4b^2)^3=(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3$$
を示せ。また同様の関係式(おそらく
$$P^3=Q^3+R^3+S^3$$
という恒等式のこと)を満たす別の二次式を見つけよ。

Question 463

$$\int^\infty_0\frac{\cos tx}{e^{2\pi\sqrt x}-1}dx=\phi(t)$$
とおくと
$$\int^\infty_0\frac{\sin tx}{e^{2\pi\sqrt x}-1}dx=\phi(t)-\frac1{2t}+\phi\l(\frac{\pi^2}t\r)\sqrt{\frac{2\pi^3}{t^3}}$$
が成り立つ。$\phi(t)$を求めよ。特に
\begin{gather} \phi(0)=\frac1{12},\quad\phi\l(\frac\pi2\r)=\frac1{4\pi},\quad\phi(\pi)=\frac{2-\sqrt2}8\\ \phi(2\pi)=\frac1{16},\quad\phi(\infty)=0 \end{gather}
を示せ。

Question 464

 $2^n-7$$n=3,4,5,7,15$のとき平方数となる。このような$n$を他にも求めよ。

 上の問題はINTEGERSの こちらの記事 にて解説されています。

Question 469

 $n!+1$$n=4,5,7$のとき平方数となる。このような$n$を他にも求めよ。

Question 489

$$\prod^\infty_{n=1}(1+e^{-(2n-1)\pi\sqrt{55}})=\frac{1+\sqrt{3+2\sqrt5}}{\sqrt2}e^{-\frac1{24}\pi\sqrt{55}}$$
を示せ。

Question 507

$$x^2=y+a,\quad y^2=z+a,\quad z^2=x+a$$
を解け。またそのことから
\begin{align} \sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\cdots}}}&=1+2\sqrt3\sin20^\circ\\ \sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-\cdots}}}&=1+4\sin10^\circ\\ \sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23-\cdots}}}&=1+4\sqrt3\sin20^\circ\\ \end{align}
を示せ。

VI

Question 524

\begin{align} \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}7}+\sqrt[3]{\cos\frac{8\pi}7} &=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]7}2}\\ \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}9}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}9}+\sqrt[3]{\cos\frac{8\pi}9} &=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt[3]9-6}2} \end{align}
を示せ。

Question 525

\begin{align} \sqrt{\sqrt[3]5-\sqrt[3]4}&=\farc{\sqrt[3]2+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25}}3\\ \sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}}&=\frac{\sqrt[3]{98}-\sqrt[3]{28}-1}3 \end{align}
を示せ。

Question 526

$$\frac1x>\sum^\infty_{n=1}\frac{n^{n-2}}{(x+n)^n}\quad(x>0)$$
を示せ。また$x$が十分大きいときの誤差を推定せよ。特に
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{n^{n-2}}{(1000+n)^n}\fallingdotseq\frac1{1000}-10^{-440}$$
を示せ。

Question 541

$$\sum^\infty_{n=0}\frac1{(2n+1)!!}+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac2{1+\cfrac3{1+\cfrac4{1+\ddots}}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}2}$$
を示せ。

 上の式もINTEGERSの こちらの記事 にて解説されています。

Question 546

\begin{align} \sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!!}{(2n+1)(2n+1)!!}\l(\frac13-\frac1{4^{n+1}}\r) &=\frac\pi{12}\log(2+\sqrt3)\\ \sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(2n)!!}{(2n+1)(2n+1)!!}&=\frac{\pi^2}8-\frac12(\log(1+\sqrt2))^2 \end{align}
を示せ。

Question 571

$$\frac\pi2\a=\log\tan\l(\farc\pi4(1+\b)\r)$$
において
$$\prod^\infty_{n=1}\l(\frac{(2n-1)^2-\b^2}{(2n-1)^2+\a^2}\r)^{(-1)^n(2n-1)}=e^{\frac\pi2\a\b}$$
を示せ。

Question 584

\begin{align} \sum^\infty_{n=0}\frac{x^{n^2}}{\prod^n_{k=1}(1-x^k)} &=\prod^\infty_{n=1}\frac1{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}\\ \sum^\infty_{n=0}\frac{x^{n(n+1)}}{\prod^n_{k=1}(1-x^k)} &=\prod^\infty_{n=1}\frac1{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})} \end{align}

Question 605

$$\lim_{x\to\infty}\frac{(x+a-b)!(8x+2b)!(9x+a+b)!}{(3x+a-c)!(3x+a-b+c)!(12x+3b)!}=\sqrt{\frac23}$$
を示せ。

Question 606

$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(\sqrt5-2)^{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{24}-\frac1{12}(\log(2+\sqrt5))^2$$
を示せ。

VII

Question 629

$$\frac12+\sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2x}\cos(\pi n^2\sqrt{1-x^2}) =\frac{\sqrt2+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}\sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2x}\sin(\pi n^2\sqrt{1-x^2})$$
を示せ。またそのことから
\begin{align} \frac12+\sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2}&=\sqrt{5\sqrt5-10}\l(\frac12+\sum^\infty_{n=1}e^{-5\pi n^2}\r)\\ \sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2}\l(\pi n^2-\frac14\r)&=\frac18 \end{align}
を示せ。

Question 642

\begin{align} \sum^\infty_{n=0}\l(\sum^n_{k=0}\frac1{2k+1}\r)\frac{5^{-n}}{2n+1}&=\frac{\pi^2}{4\sqrt5}\\ \sum^\infty_{n=0}\l(\sum^n_{k=0}\frac1{2k+1}\r)\frac{9^{-n}}{2n+1} &=\frac{\pi^2}8-\frac38(\log2)^2\\ \end{align}
を示せ。

Question 661

 整数の範囲で
$$x^3+y^3+z^3=u^6$$
を解け。またそのことから
\begin{align} 6^3-5^3-3^3&=2^6& 8^3+6^3+1^3&=3^6\\ 12^3-10^3+1^3&=3^6& 46^3-37^3-3^3&=6^6\\ 174^3+133^3-45^3&=14^6& 1188^3-509^3-3^3&=34^6 \end{align}
を示せ。

Question 662

 翻訳が面倒なので割愛。
Collected Papersより Collected Papersより

Question 666

 正の有理数の範囲で
$$x^y=y^x$$
を解け。例えば
$$(x,y)=(4,2),(27/8,9/4)$$
はこれを満たす。

Question 681

 整数の範囲で
$$x^3+y^3+z^3=1$$
を解け。またそのことから
\begin{align} 6^3+8^3&=9^3-1\\ 9^3+10^3&=12^3+1\\ 135^3+138^3&=172^3-1\\ 791^3+812^3&=1010^3-1\\ 11161^3+11468^3&=14258^3+1\\ 65601^3+67402^3&=83802^3+1 \end{align}
を示せ。

Question 682

 $A+\sqrt[3]B$という形の無理数の三乗根の求め方を提示せよ。またそのことから
$$\sqrt[3]{\sqrt[3]2-1}=\sqrt[3]{\frac19}-\sqrt[3]{\frac29}+\sqrt[3]{\frac49}$$
を示せ。

Question 699

 方程式
\begin{align} x^6-x^3+x^2+2x-1&=0\\ x^6+x^5-x^3-x^2-x+1&=0 \end{align}
の解はそれぞれ根号を用いて表せることを示せ。

Question 700

$$\sum^n_{k=1}(a+b+2k-1)\frac{(a)_k^2}{(b)_k^2}$$
を求めよ。

 ただし$(x)_n$はポッホハマー記号
$$(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$
としました。

Question 722

$$x^2=y+a,\quad y^2=z+a,\quad z^2=u+a,\quad u^2=x+a$$
を解け。またそのことから
$$x=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+x}}}}$$
のとき
$$x=\frac12(2+\sqrt5+\sqrt{15-6\sqrt5})$$
が成り立つこと、および
$$x=\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5-\sqrt{5+x}}}}$$
のとき
$$x=\frac14(\sqrt5-2+\sqrt{13-4\sqrt5}+\sqrt{50+12\sqrt5-2\sqrt{68-20\sqrt5}}\ \ )$$
が成り立つことを示せ。

Question 723

\begin{align} \bigg[\frac n3\bigg]+\l[\frac{n+2}6\r]+\l[\frac{n+4}6\r] &=\bigg[\frac n2\bigg]+\l[\frac{n+3}6\r]\\ \l[\frac12+\sqrt{n+\frac12}\r]&=\l[\frac12+\sqrt{n+\frac14}\r]\\ \l[\sqrt n+\sqrt{n+1}\r]&=\l[\sqrt{4n+2}\r] \end{align}
を示せ。

 ただし$[x]$はガウス記号としました。

Question 724

\begin{align} \sum^n_{k=1}\arctan\frac1{2n+2k-1}&=\sum^n_{k=1}\arctan\frac1{(2k-1)(1+2(2k-1)^2)}\\ \sum^n_{k=1}\arctan\frac1{(2n+2k-1)\sqrt3}&=\sum^n_{k=1}\arctan\frac1{((2k-1)\sqrt3)^3} \end{align}
を示せ。

VIII

Question 738

$$\phi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{n^{n-2}x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-nx}$$
とおいたとき$0\leq x\leq1$において$\phi(x)=1$が成り立ち、$x>1$においては$\phi(x)\neq1$が成り立つことを示せ。また極限
$$\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{\phi(1+\epsilon)-\phi(1)}\epsilon$$
を求めよ。

Question 739

 正整数$n$に対し
$$\int^\infty_0e^{-nx}(\cot x+\coth x)\sin nx\ dx=\frac\pi2\l(\frac{1+e^{-\pi n}}{1-e^{-\pi n}}\r)^{(-1)^n}$$
を示せ。

Question 740

$$\phi(x)=\l(\frac{e^x[x]!}{x^{[x]}}\r)^2-2\pi x\quad(x>0)$$
とおいたとき、$\phi(x)$は連続関数を定めること、および$x\to\infty$において$\frac\pi3$から$-\frac\pi6$までを振動することを示せ。また$\phi(x)$を微分せよ。

Question 753

$$\phi(x)=\frac12\log2\pi x-x+\int^x_1\frac{[t]}tdt$$
とおいたとき
$$\limsup_{x\to\infty}x\phi(x)=\frac1{24},\quad\liminf_{x\to\infty}x\phi(x)=-\frac1{12}$$
を示せ。

Question 754

 ある$\frac1{100}< E<\frac1{30}$が存在し、$x>0$において
$$\l(\frac ex\r)^x\frac{\G(1+x)}{\sqrt\pi}=\sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+E}$$
が成り立つことを示せ。

Question 755

 翻訳が面倒なので割愛。
Collected Papersより Collected Papersより

Question 768

$$\psi(x)=\frac{x+2}{x^2+x+1}$$
とおいたとき、$x>0$において
$$\sum^\infty_{n=1}\frac1{3^n}\psi(x^{3^{-n}})=\frac1{\log x}+\frac1{1-x}$$
が成り立ち、$x<0$において
$$\sum^\infty_{n=1}\frac1{3^n}\psi(x^{3^{-n}})=\frac1{1-x}$$
が成り立つことを示せ。

Question 769

$$\log2\sum^\infty_{n=2}\frac1{n\log n\log2n}+\sum^\infty_{n=2}\frac{(-1)^n}{n\log n} =\frac1{\log2}$$
を示せ。

Question 770

 $\d_n$を約数関数$\d_n=\sum_{d\mid n}1$とすると
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\d_{2n+1}$$
は収束し
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\d_n$$
は正か負の無限大に発散することを示せ。

Question 783

 $x=y^n-y^{n-1}$において
$$J_n=\int^1_0\frac{\log y}xdx$$
とおくと
$$J_0=\frac{\pi^2}6,\quad J_\frac12=\frac{\pi^2}{10},\quad J_1=\frac{\pi^2}{12},\quad J_2=\frac{\pi^2}{15}$$
および
$$J_n+J_\frac1n=\frac{\pi^2}6$$
が成り立つことを示せ。

Question 784

 $\{x\}$$x$の小数部分(つまり$\{x\}=x-[x]$)とすると
\begin{align} \liminf_{N\to\infty}N\{N\sqrt2\}&=\frac1{2\sqrt2}\\ \liminf_{N\to\infty}N\{N\sqrt3\}&=\frac1{\sqrt3}\\ \liminf_{N\to\infty}N\{N\sqrt5\}&=\frac1{2\sqrt5}\\ \liminf_{N\to\infty}N\{N\sqrt6\}&=\frac1{\sqrt6}\\ \liminf_{N\to\infty}N\{N\sqrt7\}&=\frac3{2\sqrt7} \end{align}
および任意の整数$n,p\;(p>0)$に対し
$$\liminf_{N\to\infty}N(\log N)^{1-p}\{Ne^{\frac 2n}\}=0$$
が成り立つことを示せ。また$p=0$においてはこれが成り立たないことも示せ。

Question 785

$$\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{a^3+b^3}-a)(\sqrt[3]{a^3+b^3}-b)} =\sqrt[3]{(a+b)^2}-\sqrt[3]{a^2-ab+b^2}$$
を示せ。これは
$$\sqrt{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)(\sqrt{a^2+b^2}-b)}=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$$
の類似である。

XI

Question 1049

\begin{align} \int^\infty_0\cfrac{\sin nx}{x+\cfrac1{x+\cfrac2{x+\cfrac3{x+\ddots}}}}dx &=\cfrac{\sqrt{\pi/2}}{n+\cfrac1{n+\cfrac2{n+\cfrac3{n+\ddots}}}}\\ \int^\infty_0\cfrac{\sin(\pi nx/2)}{x+\cfrac{1^2}{x+\cfrac{2^2}{x+\cfrac{3^2}{x+\ddots}}}}dx &=\cfrac1{n+\cfrac{1^2}{n+\cfrac{2^2}{n+\cfrac{3^2}{n+\ddots}}}}\\ \end{align}

 $n$という記号は一般に整数を表すものとして用いられるが、ラマヌジャンは$n$を連続変数にもよく用いていたことを踏まえると、上の式は$n>0$あたりで成り立つものと思われる(詳しくは検証していない)。

Question 1070

\begin{align} \sqrt{\sqrt[5]{\frac15}+\sqrt[5]{\frac45}} &=\sqrt[5]{1+\sqrt[5]2+\sqrt[5]8}\\ &= \sqrt[5]{\frac{16}{125}}+\sqrt[5]{\frac8{125}}+\sqrt[5]{\frac2{125}}-\sqrt[5]{\frac1{125}}\\ \sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}5}-\sqrt[5]{\frac{27}5}} &=\sqrt[5]{\frac1{25}}+\sqrt[5]{\frac3{25}}-\sqrt[5]{\frac9{25}}\\ \sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]5}{3-2\sqrt[4]5}} &=\frac{\sqrt[4]5+1}{\sqrt[4]5-1} \end{align}
を示せ。

Question 1076

\begin{align} \sqrt[6]{7\sqrt[3]{20}-19}&=\sqrt[3]{\frac53}-\sqrt[3]{\frac23}\\ \sqrt[8]{4\sqrt[3]{\frac23}-5\sqrt[3]{\frac13}} &=\sqrt[3]{\frac49}-\sqrt[3]{\frac29}+\sqrt[3]{\frac19} \end{align}
を示せ。

参考文献

[1]
G. H. Hardy, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge University Press, 1927
投稿日:214
更新日:214

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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