変な証明:Σφ(d)=n

突然ですが,$n$以下で,$n$とのgcdが$d<n$であるような正整数の総和は
$${\displaystyle \frac{n\phi \left(\frac{n}{d}\right)}{2}}$$
です.実際に,$d=\frac{n}{2}$でないとき,足したら$n$になるようなペアが$\frac{\phi \left(\frac{n}{d}\right)}{2}$個あり(なぜかは考えて下さい),$d=\frac{n}{2}$であるときは代入して確認できます.
よって,
$$\sum _{n\ne d\mid n}{\displaystyle \frac{n\phi \left(\frac{n}{d}\right)}{2}}={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}⟹\sum _{d\mid n}\phi \left(\frac{n}{d}\right)=n$$

おまけ

$n\in {\mathbb{Z}}_{>0},\zeta =\exp \left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{n}\right)$としたときに,
$$\prod _{\begin{array}{c}0<d<n\\ (d,n)=1\end{array}}{\zeta }^d=1\mathrm{or}-1$$
じゃねと思ったのがきっかけです.これは当然といえば当然で,円分多項式の定数項に値していて,円分多項式は$\mathbb{Z}$-係数であることもよく知られています.あとは,適当に閉じた式で表せば,今回の証明にたどり着くというわけです.