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nmoon杯 解説

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こんにちは,nmoonです.こちらは先日(?)行われた nmoon杯 の問題を解説した記事となっています.ずっと作ろうと思いながら何もしないままでいたんですが,解説が欲しいという声もあったので,重い腰を上げて作ることにしました.開催から時間が経っているのでおかしなことを書いているかもしれませんが,ご了承ください.

この記事では,直線XYのことを単にXYと表記することがあります.

解説

鋭角三角形ABCの重心をG,外接円をΓとする.直線BG,CGΓとの交点をそれぞれP(B),Q(C)とし,三角形BGQの外接円とCGPの外接円の交点をX(G)としたとき,Γの点B,Cでの接線の交点は直線GX上にあることを示せ.

この問題は,3点が同一直線上にあることを示す問題です.大まかな方針としては
1.角度の和が180度になることを示す.
2.根心を利用する.
3.その他定理を適用できる形にする.
の3つをBaseにとりあえず考えてみます.
今回は1つ目の方針でやってみましょう.

解答

Γの点B,Cでの接線の交点をTとおき,A=xとおく.A,Q,B,C,Pは同一円周上にあるので,
BQC=BPC=x
がわかる.また,四角形BQGXCPGXは内接四角形なので,BXC=BQG+CPG=2x
となる.また,接弦定理より,
BTC=180BCTCBT=1802A=1802x
よって,BXC+BTC=180なので,B,X,C,Tも同一円周上にある.よって,円周角の定理から
GXT=GXB+TXB=(180x)+x=180
よって,示された.

線分ABを直径とする半円の中心をOとし,半円上に点P(A,B)をとった,また,半直線OP上に点Qをとり,三角形APQの外接円の中心をX,三角形BPQの外接円の中心をYとしたとき,三角形OXYの外接円は直線ABに接することを示せ.

問題の図を見る限りでは角度追跡で終わりそうです.最後は接弦定理で締めたいので,その式を頑張って作っていきます.

解答

仮定より,XA=XP,OA=OP,XO=XOから三角形XAOXPOは合同であるので,AOX=POXがわかる.同様にして,BOY=POYもわかる.
また,仮定より,XYPQの垂直ニ等分線なので,線分PQの中点をMとすると,
YXO=180XMOXOM=90XOM=90 displaystyle12(180BOP)=12BOP=BOY
よって,接弦定理の逆より示された.

凹みのない四角形ABCDの対角線ACBDの交点をEとする.円ABEと円CDEは点P(E)で,円BCEと円ADEは点Q(E)で交わる.線分ACの中点をMとしたとき,E,M,P,Qは同一円周上にあることを示せ.

一気に難易度が上がりましたね.
この問題は実際にこのまま角度追跡をして解き切るのは難しいです.ここで,この問題における対称性に気づくと,少しは示しやすくなるのではないでしょうか.

解答

線分BDの中点をNとする.このとき,四角形EMNPEMQNが内接四角形になれば良い(実際には,ここで点の位置の厳密な議論が必要になりますが,ここでは省略させていただきます.)
対称性より,四角形EMNPが内接四角形であることを示せば良い.
4点A,B,P,EC,D,E,Pがそれぞれ同一円周上にあるので,
PAE=PBE,PCE=PDE
がわかる.よって,三角形APCBPDは相似である.よって,AP:AM=BP:BNなので,PAM=PBNと合わせて,三角形PAMPBNも相似である.
よって,EMP=ENPなので,円周角の定理の逆より示された.

鋭角三角形ABCの内心をI,内接円をωωと辺BCとの接点をD,外接円をΓとする.直線AIΓとの交点をM(A)とし,A内の混線内接円とΓとの接点をTとする.このとき,直線MDは線分ATの中点を通った.このとき,DI=DTを示せ.ただし,三角形ABCA内の混線内接円とは,三角形ABCの外接円に内接し,かつ辺AB,ACにも接する円のことを指す.

混線内接円の問題ですね.
混線内接円についての構図の知識がある人はすぐに解けるかもしれません(作問者は知識が少ないためこんなのを問題にしました).

解答

まずは,以下の補題を順に示していく(以下は,構図として使われるものが多いので,証明含め頭に入れておくことを勧める).

線分AIを直径とする円とΓの交点をP(A)とすると,P,D,Mは同一直線上にある.

AB,ACωとの接点をそれぞれF,Eとすると,仮定より,Pは完全四角形BCEFのミケル点である.よって,三角形BFPCEP,三角形PEFPCBはそれぞれ相似である.よって,
BD:CD=BF:CE=BP:CP
よって,角の二等分線の定理の逆より,BPD=CPDがわかるので,あとは円周角の定理の逆により示される.

AOΓとの交点をQ(A)とすると,P,I,Qは同一直線上にある.

仮定より,API=APQ=90になるので,示された.

BACの中点をNとすると,T,I,Nは同一直線上にある.また,ATB=CTDである.

ここでは,証明は省略する(かなり長くなるので).気になる人は調べてみると良い.(気が向いたら追加するかも)

線分ATPMとの交点をKとすると,六角形NARTEQについて,パスカルの定理から,K,I,Oは同一直線上にあることがわかる.よって,IOは線分ATの垂直二等分線であり,特にIA=ITである.
ここで,三角形AITと三角形IDTについて,Tが孤BACの中点なので,補題3と合わせて,

ATI=NTBATB=NTCCTD=ITD

また,NMIDより,

TAI=TNM=TID

よって,三角形AITと三角形IDTは相似である.よって,IA=ITと合わせて,DI=DTが示された.

補足

この解説の後半で示した,”三角形AITと三角形IDTが相似である”という事実も構図として使えるものなので,こちらも理解しておくといいかもしれない.

鋭角三角形ABCの垂心をH,外接円をΓとし,直線AHBCの交点をD,直線BHΓの交点をE(B),直線 CHΓの交点をF(C),円DFHΓの交点をP(F)とする.また,円 DFHと直線PHの交点をQとしたとき,A,P,D,Qは同一円周上にあった.
このとき,ACB=45を示せ.

最終問題です.想定解は強めの2番級だったんですか,さらに簡単な解法が見つかったので,強めの1番級から弱めの2番級くらいの難易度に落ち着いたと思われます.最終問題だからと身構えてしまった人も一度挑戦してみてください.
こちらでは想定していた解法を紹介したいと思います.

解説

線分BHの中点をMCHΓとの交点のうち,Cでない方をGAKと円DFHとの交点のうち,Aから遠い方をRAPと円DEHとの交点のうち,Pでない方をSとする.
中心がHで,半径AH×DHの円で反転する.このとき,各点が映る点は以下の通りである.

AD,CG,EM,PQ,RS

よって,特にR,H,Sは同一直線上.なので,

ABH=APE=SHE

なので,ABRH.よって,

GAH=HRA=HFQ

から,4点A,Q,G,Fは同一円周上にあることがわかる.また,H,D,B,Gも同一円周上にあるので,

AG×AB=AH×AD=AQ×AR

よって,4点Q,R,B,Gも同一円周上.以上から,

ABC=AFC=GQR=180ABR=180ABCCBR=90ABC

よって,ABC=45が示された.


解説は以上です.最後に,testerをしてくれた ぽもどーろくん と,このコンテストに参加してくださった方々に感謝を申し上げます.ここまで読んでくださり,ありがとうございました.

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nmoon
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