軌跡領域•同値変形まとめ

1.はじめに

知っておくべきこと

式で表すと上みたいな感じざっくり言えば代入の原理は式を代入したら代入した式を残して変形すれば同値性は保たれるということ、存在条件の代入原理は存在するものの条件が具体的に分かれば存在条件を消せるということ！
$${\displaystyle \begin{array}{r}{}^{\mathrm{\exists }}t\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=-t^2\\ t\in \mathbb{R}\end{array}⟺{}^{\mathrm{\exists }}t\{\begin{array}{l}t=x-1\\ y=-t^2\\ t\in \mathbb{R}\end{array}⟺{}^{\mathrm{\exists }}t\{\begin{array}{l}t=x-1\\ y=-(x-1{)}^2\\ t\in \mathbb{R}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y=-(x-1{)}^2\\ {}^{\mathrm{\exists }}t\{t=x-1_{\wedge }t\in \mathbb{R}\}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y=-(x-1{)}^2\\ x\in \mathbb{R}\end{array}\end{array}}$$
と言ったような感じ
途中
${\displaystyle {}^{\mathrm{\exists }}t\{t\in {\mathbb{R}}_{\wedge }t=x-1\}⟺x-1\in \mathbb{R}⟺x\in \mathbb{R}}$
という変形を省略しました！
同値変形で大切なことは$\text{変形前と変形後を行き来できること！}$
ですので戻れない変形はしないように気をつけましょう！！

例題

解答

${\displaystyle \begin{array}{r}{}^{\mathrm{\exists }}t\{\begin{array}{l}x=t^2+1\\ y=t^4\\ t\in \mathbb{R}\end{array}⟺{}^{\mathrm{\exists }}t\{\begin{array}{l}{t}^2=x-1\\ y=t^4\\ t\in \mathbb{R}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{}^{\mathrm{\exists }}t\{t^2=x-1_{\wedge }t\in \mathbb{R}\}\\ y=(x-1{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x-1\geqq 0\\ y=(x-1{)}^2\end{array}\end{array}}$

よって求めるべき軌跡の式は

${\displaystyle \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}y=(x-1{)}^2\\ x\geqq 1\end{array}\end{array}}$

解答

${\displaystyle \begin{array}{r}{}^{\mathrm{\exists }}s,t\{\begin{array}{l}x=st\\ y=s+t\\ 0\leqq s,t\leqq 1\\ s,t\in \mathbb{R}\end{array}⟺u\text{についての二次方程式}{u}^2-xu+y=0\text{が重解を含めて}2\text{つの実数解を持つ}\end{array}}$

${\displaystyle ⟺\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}f(0)\geqq 0\\ f(1)\geqq 0\\ 0\leqq \frac{x}{2}\leqq 1\\ D=x^2-4y\geqq 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y\geqq 0\\ 1-x+y\geqq 0\\ 0\leqq x\leqq 2\\ x^2-4y\geqq 0\end{array}\end{array}}$
これが答え！一応図示するとこんな感じ
黄色部分ただし境界線を全て含む
考え方としては「さかのぼって」で例えば
「$0\leqq s,t\leqq 1$かつ$s+t=1,st=-1$なる実数$s,t$は存在するか？」
なら
「このような$s,t$は$u$の二次方程式$u^2-u-1=0$の2実解だから
${\displaystyle s,t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$
これは$0\leqq s,t\leqq 1$を満たさないから不適切！」
のようにもし$x,y$が具体値だったらどう解くかを考えその後具体値のところを文字に変えるとやりやすい！$\text{わからなくなったら具体値で試そう！}$
場合分けが必要だったり図示があんまり楽しくないから僕は嫌い😠

解答

突然簡単になったと思うけど大事だから簡単な例で体感してね

加減法の原理を利用すれば

$${\displaystyle \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ x-y=-1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x+3y-8=0\cdots \mathrm{①}\\ x-y+1=0\cdots \mathrm{②}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\mathrm{①}+\mathrm{②}\times 3=0\\ \mathrm{①}-\mathrm{②}\times 2=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}5x-5=0\\ 5y-10=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\end{array}}$$
既に気づいているかもしれませんがこれは連立方程式を厳密に解いてるだけです！
正確な同値変形で解こうとするとだいぶ面倒ですが、このような同値変形が大切になることもありますよ！！
【別解】代入法で解く

${\displaystyle \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ x-y=-1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ y=x+1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x+3(x+1)=8\\ y=x+1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=x+1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\end{array}}$
のよう！代入した式を残すのを忘れずに！

解答

三角関数を含む媒介変数表示された曲線から媒介変数を消去する時は大体三角関数の基本公式を使うことで解決できる！

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=\sin t+\cos t\\ y=\sin t-\cos t\\ 0\leqq t\leqq \pi \end{array}⟺\{\begin{array}{l}x+y=2\sin t\\ x-y=2\cos t\\ 0\leqq t\leqq \pi \end{array}⟺\{\begin{array}{l}(\frac{x+y}{2}{)}^2+(\frac{x-y}{2}{)}^2=1\\ 0\leqq \frac{x+y}{2}\leqq 1\\ -1\leqq \frac{x-y}{2}\leqq 1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2\\ 0\leqq x+y\leqq 2\\ -2\leqq x-y\leqq 2\end{array}\end{array}$
これを図示して式を整理すれば求めるべき答えは
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2\\ -x\leqq y\end{array}\end{array}$$
となります！

解答

この問題はちょいとむずいです
$OPQ$が三角形とならければいけないので$p\ne q,p\ne 0,q\ne 0\cdots \mathrm{①}$に注意します！
$\mathrm{△}OPQ$の重心$G$の座標は$O,P,Q$の座標を足し合わせて3で割ったものなので$G$の座標を$(x_G,y_G)$とおけば

${\displaystyle (x_G,y_G)=(\frac{1}{3}(p+q),\frac{1}{3}(p^2+q^2))⟺\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}3x_G=p+q\\ 3y_G=pq\end{array}\end{array}}$

となります！
ここでさかのぼっての考え方を思い出して例えば

「$p+q=3,p^2+q^2=5$となるような$\text{実数}p,q$は存在するか？」

と考えれば

「$p+q=3,pq=2$となるような$p,q$は$t^2-3t+2=0$の2解で判別式は$D=(-3{)}^2-4\times 2=1\geqq 0$だから共に実数となる！」

と考えられるので具体値を文字にすれば

「$p+q=3x_G,p^2+q^2=3y_G$となるような$\text{実数}p,q$は存在するか？」

と考えて

「${\displaystyle p+q=3x_G,pq=\frac{1}{2}(9x_G^2-3y_G)}$となるような$p,q$は${\displaystyle t^2-3x_{G}t+\frac{1}{2}(9x_G^2-3y_G)=0}$の2解で判別式は$D=9x_G^2-4\times \frac{1}{2}(9x_G^2-3y_G)$だからこれが$\geqq 0$となれば共に実数となる！」

となります！ここで①の条件をふまえれば
判別式が0となると重解を持ってしまうので
判別式$D>0$が必要だとわかります！
また$p,q$のどちらかが0になってしまうと$pq$も0になってしまうので${\displaystyle pq=\frac{1}{2}(9x_G^2-3y_G)\ne 0}$
以上より

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}-9x_G^2+6y_G>0\\ \frac{1}{2}(9x_G^2-3y_G)\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2y_G>3x_G^2\\ 3x_G^2\ne y_G\end{array}\end{array}$$
よって求めるべき軌跡は
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2y>3x^2\\ 3x^2\ne y\end{array}\end{array}$$
一応図はこんな感じです
赤い範囲ただし点線は全て含まない

解答

$x$を固定して$y$を$a$の関数と見ることで
$y=2a^2+xa+x\cdots \mathrm{①}$
平方完成して
${\displaystyle y=2(a+\frac{x}{4}{)}^2-\frac{1}{8}{x}^2+x}$