Desargueの定理を使って競技数学を解く
Desargueの定理（デザルグの定理）という、射影幾何を代表する定理があります。この定理を使うと、いくつかの競技数学の問題を解くことができます。
Desargueの定理の基本
点Oで交わる3直線α、β、γがある。α上に点A₁とA₂、β上にB₁とB₂、γ上に点C₁とC₂をとる。直線A₁B₁とA₂B₂の交点をP、B₁C₁とB₂C₂の交点をQ、C₁A₁とC₂A₂の交点をRとすると、3点P,Q,Rは同一直線上にある。
証明にはメネラウスの定理を使います。証明は巷にあふれているのでここでは書きません（この記事では証明を把握している必要はありません）。
また、Desargueの定理は逆も成り立ちます。すなわち、点P、Q、Rが同一直線上にあるならば、3直線α、β、γは1点で交わります。
この定理を用いることで、「3点が同一直線上にある」ことと「3直線が1点で交わる」を自由自在に言い換えることができるわけです。これが肝であり、競技数学を解くときに役立ちます。では2問見ていきましょう。
実際に解いてみよう
三角形ABCは、∠A＝90°なる直角三角形で、Dは辺AC上の点である。直線BDに関して点Aと対称な点をEとし、Dから直線BCにおろした垂線と直線CEの交点をFとする。このとき3直線AF、DE、CBは1点で交わることを示せ。（Romanian mathematics Competition 2007）
問1、問題
直線GFとBAの交点P、EFとDAの交点C、EGとDBの交点Qが同一直線上にあれば、Desargueの定理の逆より、題意が示せます。P、C、Qが同一直線上にあることを示します。
∠DCG
＝∠ACB
＝90°－（∠ABG）
＝90°－（∠ABD+∠DBG）
＝（90°－∠EBD）－∠DEG
＝∠EDB－∠DEG
＝∠DQG
より、四角形DGCQは円1に内接します。また、仮定より、5点GDEABも円2に内接します。そして、
∠CQB
＝∠CQD
＝180°－（∠CGD）
＝90°
＝∠CAB
より、四角形CQABは円3に内接します。
よって、円1円2円3の根心は点Pとわかり、P、C、Qが同一直線上にあるとわかります。
問1、解答
四角形ABCDは、2組の対辺（AB、CD）、（AD、CB）がいずれも平行ではない四角形である。Aを通り直線BDに平行な直線と直線CDの交点をFとし、Dを通り直線BCと平行な直線と直線ABの交点をEとする。M、N、P、Qを、それぞれ、線分AC、BD、AF、DEの中点とするとき、3直線MN、PQ、ADは1点で交わることを証明せよ。（Romanian mathematics Competition 2008）
問2、問題
線分ADの中点をR、AFとDEの交点をS、ACとBDの交点をTとします。四角形ASDTは平行四辺形だから、3点S、R、Tは同一直線上にあります。また、仮定より、3点Q、R、Nも同一直線上にあります（FQ＝QD、AR＝RD、BN＝NDより）。同様に3点P、R、Mも同一直線上にあるとわかります。よって、Desargueの定理より、A、D、そしてPQとMNの交点は同一直線上にあるとわかります。これで題意が示せます。
問2、解答
終わりに
Desargueの定理は、発見した時の快感がすごいです。
解法の一つとして知っておいても損はないと思います。
参考文献：平面幾何パーフェクト・マスター めざせ、数学オリンピック
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