累次積分の順序交換のq類似

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この記事では, 以下のような累次積分の順序の交換の $q$ 類似について考える.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} f (t) (\int_{0}^{t} g (s) d s) d t = \int_{0}^{1} g (s) (\int_{s}^{1} f (s) d t) d s \end{array}$

まず, 区間 $(0, a)$ における $q$ 積分を以下のように定義する.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{a} f (x) d_{q} x = \sum_{0 \leq n} a q^{n} f (a q^{n}) \end{array}$
そして, 区間 $(a, b)$ における $q$ 積分を
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d_{q} x & = \int_{0}^{b} f (x) d_{q} x - \int_{0}^{a} f (x) d_{q} x \end{aligned}$
によって定義する.

以下の等式が成り立つ.
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} f (t) (\int_{0}^{t} g (s) d_{q} s) d_{q} t = \int_{0}^{1} g (s) (\int_{s q}^{1} f (s) d_{q} t) d_{q} s \end{array}$

以下の計算によって示される.
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} f (t) (\int_{0}^{t} g (s) d_{q} s) d_{q} t & = \int_{0}^{1} f (t) (\sum_{0 \leq m} t q^{m} g (t q^{m})) d_{q} t \\ = \sum_{0 \leq n, m} q^{n} f (q^{n}) q^{n + m} g (q^{n + m}) \\ = \sum_{0 \leq n \leq m} q^{n} f (q^{n}) q^{m} g (q^{m}) \\ = \sum_{0 \leq n, m} q^{n} f (q^{n}) q^{m} g (q^{m}) - \sum_{0 \leq m < n} q^{m} g (q^{m}) q^{n} f (q^{n}) \\ = \int_{0}^{1} g (s) (\int_{0}^{1} f (t) d_{q} t) d_{q} s - \int_{0}^{1} g (s) (\int_{0}^{s q} f (t) d_{q} t) d_{q} s \\ = \int_{0}^{1} g (s) (\int_{s q}^{1} f (s) d_{q} t) d_{q} s \end{aligned}$

このように, $q$ 積分だと順序を交換したときに1か所だけ $s$ が $s q$ になっているところがあるので, よく使われる反復積分のように
$\begin{array}{r} \int_{0 < s < t < 1} f (s) g (t) d_{q} s d_{q} t \end{array}$
のように書いたときに, 通常の積分と同じように計算すると $s$ から積分したときと $t$ から積分したときの値が異なってしまうので注意する必要がある.