任意の有理数は3つの有理数の三乗の和で表せる

・$(1)\Leftrightarrow (2)$
任意の$x,y,z\in \mathbb{Q}$に対して、
\begin{align} (x+y+z)^3=&x^3+y^3+z^3\\ &+3(x+y)(y+z)(z+x) \end{align}
が成り立つ。
この等式の両辺から$3(x+y)(y+z)(z+x)$を引くと
\begin{align} x^3+y^3+z^3=&(x+y+z)^3\\ &-3(x+y)(y+z)(z+x) \end{align}
となる。
したがって$(1)$と$(2)$は同値であり、どちらかに有理数解が存在すれば、もう一方も同じ解を与える。

・$(2)\Rightarrow (3)$
$(2)$に対して、$x,y,z\in \mathbb{Q}$の解があると仮定する。
ここで
\begin{align} u=x+y,\quad v=y+z,\quad w=z+x \end{align}
とすると、$u,v,w\in \mathbb{Q}$であり、
\begin{align} u+v+w=2(x+y+z) \end{align}
が成り立ち、ゆえに
\begin{align} x+y+z=\frac{u+v+w}{2}. \end{align}
また、定義から
\begin{align} (x+y)(y+z)(z+x)=uvw \end{align}
となる。よって、$(2)$
\begin{align} a=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x) \end{align}
は
\begin{align} a=\left(\frac{u+v+w}{2}\right)^3-3uvw \end{align}
と書き換えられる。両辺に$8$をかけると
\begin{align} 8a=(u+v+w)^3-24uvw \end{align}
となる。
すなわち、$(2)$に有理数解が存在すれば、上記変数変換により$(3)$も有理数解を持つ。

・$(3)\Rightarrow (2)$
逆に、$(3)$
\begin{align} 8a=(u+v+w)^3-24uvw \end{align}
に解$u,v,w\in \mathbb{Q}$があると仮定する。このとき、
\begin{align} x&=\frac{u-v+w}{2},\\ y&=\frac{u+v-w}{2},\\ z&=\frac{-u+v+w}{2} \end{align}
とする。
$u,v,w\in \mathbb{Q}$であれば$x,y,z\in \mathbb{Q}$であり、また
\begin{align} x+y=u,\quad y+z=v,\quad z+x=w \end{align}
となる。さらに、
\begin{align} a&=\left(\frac{u+v+w}{2}\right)^3-3uvw\\ &=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x) \end{align}
が成り立つので、$(3)$に有理数解が存在すれば、上記変数変換により$(2)$も有理数解を持つ。　■

$B\ne 0$として、比を
\begin{align} t=\frac{A}{B} \end{align}
と置くと、$A=tB$となる。
すると
\begin{align} A+B &= (t+1)B,\\ AB &= tB^2. \end{align}
これを元の式に代入すると、
\begin{align} \bigl((t+1)B\bigr)^3 - 24\,tB^2 = 0. \end{align}
整理すると
\begin{align} &(t+1)^3B^3 - 24\,tB^2\\ &= B^2\Bigl((t+1)^3B - 24\,t\Bigr)\\ &=0. \end{align}

$(1) B^2\neq 0$の場合
\begin{align} (t+1)^3B - 24\,t = 0 \end{align}
とならなければならない。したがって、$t\neq -1$として
\begin{align} B = \frac{24\,t}{(t+1)^3}. \end{align}
すると$A=tB$より、
\begin{align} A=\frac{24\,t^2}{(t+1)^3}. \end{align}

$(2) B^2=0$の場合は自明解$A=B=0$となる。
実際、上記で求めた  $t$でパラメトライズされた$A,B$に対し、$t=0$とすると自明解$A=B=0$となることが確認できる。　■

\begin{align} A &= \frac{24t^2}{(t+1)^3},\\ B &= \frac{24t}{(t+1)^3} \end{align}
とすると、
\begin{align} u &= (A-1)w,\\ v &= Bw \end{align}
とできる。これより
\begin{align} \begin{aligned} u+v+w &= (A+B)w,\\ uvw &= (A-1)B\,w^3 \end{aligned} \end{align}
なので、左辺は
\begin{align} \begin{aligned} &(u+v+w)^3 - 24uvw\\ &= (A+B)^3w^3 - 24(A-1)B\,w^3\\ &= w^3\Bigl((A+B)^3 - 24(A-1)B\Bigr)\\ &= w^3\Bigl((A+B)^3 - 24AB + 24B\Bigr). \end{aligned} \end{align}
補題2より$(A+B)^3 - 24AB = 0$が成り立つので、
\begin{align} (u+v+w)^3 - 24uvw = 24B\,w^3. \end{align}
さらに$B = \frac{24t}{(t+1)^3}$であることから、
\begin{align} (u+v+w)^3 - 24uvw = \frac{576t}{(t+1)^3}w^3. \end{align}
最後に$t = \frac{a}{72r^3}$を代入すると、
\begin{align} \begin{aligned} (u+v+w)^3 - 24uvw &= \frac{576\cdot\frac{a}{72r^3}}{(t+1)^3}w^3\\ &= \frac{8a}{r^3}\frac{w^3}{(t+1)^3}\\ &= 8a\left(\frac{w}{r(t+1)}\right)^3.　■ \end{aligned} \end{align}

補題3で$w=r(t+1)$として$w\in \mathbb{Q}$を取ると、同様に補題3で定めた$u,v\in \mathbb{Q}$を用いて
\begin{align} (u+v+w)^3-24uvw=8a \end{align}
が成り立つ。
よって命題1より
\begin{align} a=x^3+y^3+z^3 \end{align}
を満たす$x,y,z\in \mathbb{Q}$が存在する。
実際、
\begin{align} x&=\frac{u-v+w}{2},\\ y&=\frac{u+v-w}{2},\\ z&=\frac{-u+v+w}{2} \end{align}
として定めればよい。　■

まず、$x,z> 0$より$w> 0$である。
次に、
\begin{align} x&=\frac{u-v+w}{2}=\frac{12t(t-1)}{(t+1)^3}w,\\ y&=\frac{u+v-w}{2}=\left(\frac{12t}{(t+1)^2}-1\right)w,\\ z&=\frac{-u+v+w}{2}=\left(1-\frac{12t(t-1)}{(t+1)^3}\right)w \end{align}
であるので、それぞれが正であるための条件について考える。

$(1) x> 0$
$x=\dfrac{12t(t-1)}{(t+1)^3}w>0$と$w>0$より  
\begin{align} 12t(t-1)>0\quad\Longrightarrow\quad t>1. \end{align}

$(2) y> 0$
$y=\Bigl(\dfrac{12t}{(t+1)^2}-1\Bigr)w>0$より
\begin{align} \frac{12t}{(t+1)^2}>1\quad\Longrightarrow\quad 12t>(t+1)^2. \end{align}
両辺を整理すると
\begin{align} t^2-10t+1< 0. \end{align}
この2次不等式を解くと、
\begin{align} 0.101\approx 5-2\sqrt6 < t < 5+2\sqrt6 \approx 9.899. \end{align}

$(3) z> 0$
$z=\Bigl(1-\dfrac{12t(t-1)}{(t+1)^3}\Bigr)w>0$より
\begin{align} 1-\frac{12t(t-1)}{(t+1)^3}>0\quad\Longrightarrow\quad \frac{12t(t-1)}{(t+1)^3}< 1. \end{align}
両辺を整理すると
\begin{align} 12t(t-1)< (t+1)^3. \end{align}
展開して整理すると
\begin{align} t^3-9t^2+15t+1>0. \end{align}
この3次不等式を解くと、
\begin{align} t< t_1\approx 2.305\quad\text{または}\quad t>t_2\approx 6.759. \end{align}

$(1),(2),(3)$より、$x,y,z> 0$となるためには
\begin{align} t&\in (1,\,2.305\ldots)\quad \text{または}\\ t&\in (6.759\ldots,\, 9.899\ldots).　■ \end{align}

有理数の稠密性より、補題5の$t$の範囲を満たすように補題3における$r\in \mathbb{Q}$を取ることが出来る。
また、今回$a\in \mathbb{Q}_{>0}$であり、補題5の$t$は$t> 0$なので、補題3における$r$は$r> 0$である。すると$w=r(t+1)> 0$となることが分かる。
このように取った$r$を補題3に適用し得られた$u,v,w\in \mathbb{Q}$を用いて
\begin{align} x&=\frac{u-v+w}{2},\\ y&=\frac{u+v-w}{2},\\ z&=\frac{-u+v+w}{2} \end{align}
とすることで、$a\in \mathbb{Q}_{>0}$に対して$x,y,z\in \mathbb{Q}_{>0}$が取れる。　■