多重ゼータ値は二項係数の拡張である。

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二項係数

二項係数ってこんな式あるよね

\begin{array}{r} (\binom{r}{k}) = (\binom{r - 1}{k}) + (\binom{r - 1}{k - 1}) \end{array}

でさ、
俺の書いた記事とはちょっと違うけどこういう風に多重ゼータ値を定義すると、

\begin{array}{r} ζ_{r}^{p} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r} < p} n_{1}^{- k_{1}} n_{2}^{- k_{2}} \dots n_{r}^{- k_{r}} (r < p) \end{array}

そうするとさ、この式が成り立つんよ(成り立つよね？)

\begin{array}{r} ζ_{r}^{p} = ζ_{r}^{p - 1} + (p - 1)^{- k_{r}} ζ_{r - 1}^{p - 1} \end{array}

なぁ、似てない？

\begin{array}{r} (\binom{r}{k}) = (\binom{r - 1}{k}) + (\binom{r - 1}{k - 1}) \\ ζ_{r}^{p} = ζ_{r}^{p - 1} + (p - 1)^{- k_{r}} ζ_{r - 1}^{p - 1} \end{array}

う～ん...
めちゃくちゃ似てますけどねこれ
じゃぁ二項係数で成り立つような式があるのかな
二項係数の公式ってほとんど階乗表示から来てますよね
上の式から導かれるものって少なそう
悲しきかな

q-類似になんかもっと近いものを見つけた
むむむ、、、

\begin{array}{r} {(\binom{r}{k})}_{q} = {(\binom{r - 1}{k})}_{q} + q^{n - k} {(\binom{r - 1}{k - 1})}_{q} \end{array}

けどやっぱり本質的に違うので、また別の拡張みたいに見えますね。
いろんな二項係数の拡張かぁ

投稿日：2024年7月29日

更新日：2024年7月29日

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