Y.K.

多重ゼータ値は二項係数の拡張である。

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二項係数

二項係数ってこんな式あるよね

\begin{eqnarray} \binom{r}{k}=\binom{r-1}{k} + \binom{r-1}{k-1} \end{eqnarray}

でさ、
俺の書いた記事とはちょっと違うけどこういう風に多重ゼータ値を定義すると、

\begin{eqnarray} \zeta^p_r=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< p}n_1^{-k_1}n_2^{-k_2}\cdots n_r^{-k_r} \quad\quad\quad\quad (r< p) \end{eqnarray}

そうするとさ、この式が成り立つんよ(成り立つよね？)

\begin{eqnarray} \zeta^p_r= \zeta^{p-1}_r + (p-1)^{-k_r}\!\ \zeta^{p-1}_{r-1} \end{eqnarray}

なぁ、似てない？

\begin{eqnarray} \binom{r}{k}=\binom{r-1}{k} + \binom{r-1}{k-1} \\ \\ \zeta^p_r= \zeta^{p-1}_r + (p-1)^{-k_r}\!\ \zeta^{p-1}_{r-1} \end{eqnarray}

う～ん...
めちゃくちゃ似てますけどねこれ
じゃぁ二項係数で成り立つような式があるのかな
二項係数の公式ってほとんど階乗表示から来てますよね
上の式から導かれるものって少なそう
悲しきかな

さっき見つけたやつ

q-類似になんかもっと近いものを見つけた
むむむ、、、

\begin{eqnarray} \binom{r}{k}_q=\binom{r-1}{k}_q + q^{n-k}\binom{r-1}{k-1}_q \end{eqnarray}

けどやっぱり本質的に違うので、また別の拡張みたいに見えますね。
いろんな二項係数の拡張かぁ

参考文献

Binomial coefficient (Wikipedia)
q-類似 (Wikipedia)

ではまた(｡･ω･)ﾉ

投稿日：7月29日

更新日：7月29日

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Y.K.

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