スキーム論クイズ（３）
環$R$について，各$n\ge 0$に対して，部分加法群$R_n\subset R$が定められていて，$R=\bigoplus_{n\ge0}R_n$，$R_nR_m\subset R_{n+m}$，$1\in R_0$を満たすとき，$R$を次数付き環という．$R_n$の元を次数$n$の斉次元と呼ぶ．
次数付き環の斉次イデアルとは，$R$の斉次元だけで構成されたイデアルのことである．○か×か．
問題1の答え
×$R_+=\bigoplus_{n>0}R_n$は斉次イデアルになるか？
問題2の答え
なる$R_+=\bigoplus_{n>0}R_n$は何と呼ばれている？
(1) 無縁イデアル（irrelevant ideal）
(2) 大きなイデアル（big iedal）
問題3の答え
(1)次数付き環$R$がNoether環ならば$R_0$はNoether環でかつ$R$は有限生成$R_0$多元環だが，逆は成り立たない．○か×か．
問題4の答え
×次数付き環$A$に対して，$\text{Proj}(A)$は$A$の斉次な素イデアル全体の全体のなす集合として定義される．○か×か．
問題5の答え
×：$A_+$を含まない$A$の斉次な素イデアル全体の全体のなす集合として定義される$\text{Proj}(A)$のZariski位相はどのようにして入れられる？$I$で$A$の斉次イデアルを表します．
(1) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in\text{Proj}(A)|\mathfrak{p}\subset I\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
(2) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in\text{Proj}(A)|I\subset \mathfrak{p}\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
問題6の答え
(2)斉次元$f\in A_+$に対して，$D_+(f)=\{\mathfrak{p}\in\text{Proj}(A)|f\notin \mathfrak{p}\}$とおく．
$D_+(f)$は$\text{Proj}(A)$の開基をなす．○か×か．
問題7の答え
○$A$を次数付き環，$f\in A$とする．$A_{(f)}$の定義として正しいものはどれ？
(1) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$以上の元からなる部分環
(2) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$の元からなる部分環
(3) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$以下の元からなる部分環
問題8の答え
(2)$A$を次数付き環とする．$\mathfrak{p}\in\text{Proj}(A)$に対して，$A$の斉次元のうち$\mathfrak{p}$に含まれないもののなす積閉集合$S$について，$A$を局所化し，その中で$\square$の元のなす部分環を$A_{(\mathfrak{p})}$とかく．
$\square$に入る言葉は次のうちどれ？
(1) 次数が$0$以上
(2) 次数が$0$
(3) 次数が$0$以下
問題9の答え
(2)$\text{Proj}(A)$の構造層は$D_+(f)$に対して$A_{(f)}$を対応させる．○か×か．
問題10の答え
○$\text{Proj}(A)$の構造層の$\mathfrak{p}$におけるストークは$A_{(\mathfrak{p})}$である．○か×か．
問題11の答え
○$\text{Proj}(A)$はアフィンスキームである．○か×か．
