スキーム論クイズ（３）

次数付き環の斉次イデアルとは，$R$の斉次元だけで構成されたイデアルのことである．○か×か．

$R_{+}=\underset{n>0}{⨁}{R}_n$は斉次イデアルになるか？

$R_{+}=\underset{n>0}{⨁}{R}_n$は何と呼ばれている？
(1) 無縁イデアル（irrelevant ideal）
(2) 大きなイデアル（big iedal）

次数付き環$R$がNoether環ならば$R_0$はNoether環でかつ$R$は有限生成$R_0$多元環だが，逆は成り立たない．○か×か．

次数付き環$A$に対して，$\text{Proj}(A)$は$A$の斉次な素イデアル全体の全体のなす集合として定義される．○か×か．

$\text{Proj}(A)$のZariski位相はどのようにして入れられる？$I$で$A$の斉次イデアルを表します．
(1) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in \text{Proj}(A)|\mathfrak{p}\subset I\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
(2) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in \text{Proj}(A)|I\subset \mathfrak{p}\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．

$D_{+}(f)$は$\text{Proj}(A)$の開基をなす．○か×か．

$A$を次数付き環，$f\in A$とする．$A_{(f)}$の定義として正しいものはどれ？
(1) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$以上の元からなる部分環
(2) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$の元からなる部分環
(3) $A$の$f$による局所化$A_f$の次数が$0$以下の元からなる部分環

$A$を次数付き環とする．$\mathfrak{p}\in \text{Proj}(A)$に対して，$A$の斉次元のうち$\mathfrak{p}$に含まれないもののなす積閉集合$S$について，$A$を局所化し，その中で$◻$の元のなす部分環を$A_{(\mathfrak{p})}$とかく．
$◻$に入る言葉は次のうちどれ？
(1) 次数が$0$以上
(2) 次数が$0$
(3) 次数が$0$以下

$\text{Proj}(A)$の構造層は$D_{+}(f)$に対して$A_{(f)}$を対応させる．○か×か．

$\text{Proj}(A)$の構造層の$\mathfrak{p}$におけるストークは$A_{(\mathfrak{p})}$である．○か×か．

$\text{Proj}(A)$はアフィンスキームである．○か×か．