ある加群上の分解とそのwell-defined

こんにちは。Mark6という者です。
この記事の主題は、ある写像のwell-defined性を、あの整数論の大定理を援用して示すことです。

どうやら子葉さんの記事を読む限り、超幾何数列の話に関係がありそうなんですが、怖すぎて先行研究を調べないまま公開します。ごめんなさい。

経緯とモチベ

最近下のような式を大量にいじくり回す機会がありました。

証明は読者に任せます(言ってみたかった)。
この記事では別のことについて書きたいと思います。

上の式のシグマの中の式から$(-1{)}^k$を取り払い、$(3k-2)$を$(3k-2)!/(3k-3)!$と書き直すと
$$\frac{(3k-2)!(2k-2)!(2n+k-3)!}{k!(k-1)!(3k-3)!(n+2k-2)!(n-k)!}$$
となります。分母分子が複数の$(an+bk+c)!$の積で書けました。

上のような式の簡略化として、下の式について考えてみます。

$$6(n+1)(2n+1)!(3n+2)!$$

この式の表示には、ある種の冗長性があります。

$$\begin{array}{rl}& 6(n+1)(2n+1)!(3n+2)!\\ & =3(2n+2)!(3n+2)!\\ & =2(2n+1)!(3n+3)!\end{array}$$

表示方法が複数あること自体は受け入れるとしても、その構造についてもう少し理解したくなりました。
この記事ではこの問いを、環上の加群のあたりの言葉を使って定式化したのち、うまい写像を構成してこの「表示揺れ」のひとつの支点の姿を明らかにします。

定式化の概観

① まず考える対象とする式、つまり
$$f(n,k)=\prod _{i=1}^N[(a_{i}n+b_{i}k+c_i)!{]}^{\pm e_i}$$
のように書ける$f(n,k)$のことを「ユニット」と呼ぶことにします。
このユニットは、通常の意味での積を演算として、群を成します。

② 「ユニットの表示方法」を考える上でユニットそのものを使うことはできません。例えば
$$\frac{(2n)!k!}{(2n-1)!(k-1)!}=\frac{n!(2k)!}{(n-1)!(2k-1)!}$$
は、$n,k$の関数としては全く同じなので、ユニットとして扱っている限りは区別することができません。

ユニットの表示方法を考える上では、これらを区別し、それぞれの表示を構成する$(2n)!$などを分離して扱うことができるような枠組みが必要です。

③ この記事ではその枠組みとして「骨格」と呼ぶ対象を導入します。
ユニット
$$\prod _{i=1}^N[(a_{i}n+b_{i}k+c_i)!{]}^{e_i}$$
に対応して
$$\sum _{i=1}^N{e}_i(a_i,b_i,c_i)$$
という形式和のことを骨格と呼びます。骨格には自由加群としての構造が入り、これはある準同型写像を通してユニットの積と対応します。

④ ユニットや骨格に同値関係「合同」を導入します。この同値類が直感的な「表記揺れ」の範囲になっています。
そして「同値類それぞれに代表元を定めたい」として問いを定式化します。
つまり、「ユニット$f,g$が合同なら$\mathrm{\Phi }(f)=\mathrm{\Phi }(g)$」となるような写像$\mathrm{\Phi }$を探します。
表記揺れ全体をひとつの元にまで潰し込むこの写像$\mathrm{\Phi }$が、この記事の目標です。

問いの定式化

初心者なので下の定義は非常に読みにくいです。許してください。良い書き方を教えてください。

Yoikumiなので$Y$です(カス)。

Kokkakuなので$K$です(カス)。
$$F=\sum _{i=1}^N{e}_i(a_i,b_i,c_i)$$という書き方をする場合、暗黙に$e_i\ne 0$が満たされているものとします。

Unitなので$U$です。

良い組をギリシャ小文字$\alpha ,\beta$など、骨格を英大文字$F,G$など、ユニットを英小文字$f,g$などで表します。また、ユニットの$n,k$に対する代入操作を考える場合は$f(n,k)$などと明示的に書きます。

要するに定数倍を無視するという話です。

この意味での$\equiv$は反射律、対称律、推移律を満たすことが簡単に分かります。つまり同値関係です。

問いを立てます。

上の要請を満たす写像$\mathrm{\Phi }$を「分解写像」と呼ぶことにしましょう。

要するに、「$K$を”$\equiv$”で割った同値類の代表元を定める」ことであり、「合同なユニットを判定する方法を見つける」ことです。

ユニットの骨格とユニットを厳しく区別する必要があったために、定義が複雑になってしまいました。

基本的な性質の整理

$\mathrm{\Phi }$の構成を与える前にできる議論は一通り終わらせてしまいます。

(1)$Y$の整理

下の同値性が成り立ちます。

(2)$U$の整理

ユニットの集合$U$は、通常の意味での積を演算として可換群を成します。
ユニット同士の積は記号を省略して$fg$などと書きます。

(3)$\mathrm{\Omega }$の整理

ユニットの定義の式
$$f=\prod _{i=1}^N{[(a_{i}n+b_{i}k+c_i)!]}^{e_i}$$
は正の有理数$r\ne 1$の素因数分解
$$r=\prod _{i=1}^N{p}_i^{e_i}$$
と形が同じです。
しかし、有理数の素因数分解は一意なのに対して、ユニットをセルの積に分解する方法は一般には一意ではないという相違点があります。

つまり、$\mathrm{\Omega }$は単射ではありません。複数の骨格が同一のユニットに対応する可能性があります。

$\mathrm{\Omega }$について重要なのは、これが骨格からユニットへの全射な準同型であるという点です。

(4)合同$\equiv$の整理

ユニットの合同に関して下の性質が成り立ちます。$\equiv$の定義と上の定理より自明です。

(5)$\mathrm{\Phi }$の整理

分解写像$\mathrm{\Phi }$の要請を再掲します。

この「分解写像の判定法」が今回のメインウェポンです。

$\mathrm{\Phi }$の準備

ただし$\text{gcd}(a,b,c)$は$a,b,c$の最大公約数です。

詳しく$\mathrm{\Phi }$の構成を述べる前に、次の章で構成する$\mathrm{\Phi }$がどのように働くかを見てみましょう。ユニット$(6n+3)!$の分解は以下のように進みます。

$$\begin{array}{rl}(6n+3)!& =(6n+3)\cdot (6n+2)!\\ & =3(2n+1)\cdot (6n+2)!\\ & \equiv (2n+1)\cdot (6n+2)!\\ & =\frac{(2n+1)!}{(2n)!}\cdot (6n+2)!\\ & =\frac{1}{2n}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot (6n+2)!\\ & \equiv \frac{1}{n}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot (6n+2)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot (6n+2)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot (6n+2)\cdot (6n+1)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot 2(3n+1)\cdot (6n+1)!\\ & \equiv \frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot (3n+1)\cdot (6n+1)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot \frac{(3n+1)!}{(3n)!}\cdot (6n+1)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot \frac{1}{3n}\cdot \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!}\cdot (6n+1)!\\ & \equiv \frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!}\cdot (6n+1)!\\ & =\frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}\cdot \frac{(n-1)!}{n!}\cdot \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!}\cdot (6n+1)!\\ & =\frac{(6n+1)!(3n+1)!(2n+1)![(n-1)!{]}^2}{(3n-1)!(2n-1)![n!{]}^2}\end{array}$$

最終的に全てのセルの骨格が既約になるように、
$$\begin{array}{rl}& (gan+gbk+gc)!\\ & \equiv \frac{(an+bk+c)!}{(an+bk+c-1)!}(gan+gbk+gc-1)!\end{array}$$
を根拠とした変形を繰り返して手続きが進んでいきます。

$\mathrm{\Phi }$の構成

諸々の正当性の確認をしましょう。

1. 処理4の${\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },{\alpha }_3^{\prime }$が良い組である保証
2. 手続きの停止性の保証
3. 出力の一意性の保証

1.の証明は容易なので省略します。
2.を示す必要があるのは明らかでしょう。処理2~5のループを抜けられる保証が必要です。
3.については、手続き内に「骨格をひとつ取る」「非ゼロ基底のうち既約でないものをひとつ取る」という自由度が存在することによります。選び方によらず出力がひとつに定まることを言わなければなりません。その一意性を示すのがこの記事の主題です。

とりあえず、$\mathrm{\Phi }$にユニットを突っ込むと、(途中の選び方によって違う結果になるかもしれないとはいえ)なんらかの骨格が出力されるということは、最低限保証できました。

下は割と重要な主張です。

$\mathrm{\Phi }$の出力の一意性保証

(1)$K_{PF}$について

定義

つまり「非ゼロ基底が全て既約な骨格」を既約骨格と呼びます。

$K_{PF}$の${}_{PF}$は$\mathrm{Prime}\mathrm{Factorization}$です。
既約な良い組と素数には類似性があり、$K_{PF}$の元(既約骨格)はある意味で素因数分解されたような形になっています。

$K_{PF}$の対外的な立ち位置

実は「$\mathrm{\Phi }$からの出力としてありうる骨格全ての集合」は$K_{PF}$と等しいことが言えます。

$K_{PF}$自体の構造

$K_{PF}$は$K$の部分加群になります。確認は容易です。

(2)問題の整理

メインウェポン「分解写像の判定法」について、「考えている手続きがそもそも写像と言えるかどうかすら分からない」という現状に合わせて議論しなおします。

以上より、既約骨格$K_{PF}$に関する命題である命題7さえ証明できれば良いことが分かります。問題を手続き$\mathrm{\Phi }$から分離できました。

(3)議論する対象の拡張

さて、命題7の証明は、$\mathrm{\Phi }$による分解よりもう一度「深い」分解${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$を考えることで行います。$\mathrm{\Phi }$による分解を整数の素因数分解に例えるなら、${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$による分解はガウス整数環での素因数分解に例えられます。

この分解はユニットを関数として見た時の$n,k$の定義域を犠牲にします。この辺りは厳密に述べようとするとほとんど繰り返しになってしまうので概略のみ示します。これは論文ではないので…

「良い組」の条件を緩めたものになっており、$Y\subset Y^{\prime }$が成立します。

これに伴い、悪くない組を組み込んだ骨格を定義します。

$(2n+3k-1)!$はセルですが、擬セルでもあります。$(2n+3k-6)!$はセルではありませんが、擬セルです($2+3+(-6)=-1$だから)。
一般に
(概念)$\subset$擬(概念)
(集合)$\subset$(集合)’
となっています。
これに伴い、骨格の合同の定義を擬骨格・擬ユニットまで自然に広げておきます。

特に、$a+b+c=-1$のとき必ず$gcd(a,b,c)=1$となるため、「よい組でない悪くない組」は必ず完全既約です。

下のような包含関係が成り立ちます。

包含関係

整数としては素数だがより大きなガウス整数のなかでは素数として振る舞わないものがあること、及び通常の意味での素数ではないがガウス素数であるものが存在すること、によく似ています。

記号は適当に察して

考える対象をユニットから擬ユニットにまで広げ、それに伴い既約と呼ぶ条件を厳しくして($a+b+c=0$を削除して)います。

(4)$K_{PF},K_{PF}^{\prime }$の構造

$K_{PF}\cup K_{PF}^{\prime }$から生成される加群を$⟨K_{PF}\cup K_{PF}^{\prime }⟩$と書くことにします。
これは以下のように４つの部分加群の直和に分解することができます。

既約な良い組が$K_1^{\prime },K_2^{\prime }$の、完全既約な悪くない組が$K_3^{\prime },K_4^{\prime }$の2行目の条件のうちいずれか１つのみを満たすことから明らかだと思います。

(5)${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$の構成

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$の定義域は$K_{PF}$です。$\mathrm{\Phi }$がユニットから既約骨格への写像だったのに対し、${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$は既約骨格から完全既約擬骨格への写像です。

停止保証はいいでしょう(ループごとに$F_1$の非ゼロ基底がひとつずつ減る)。
出力の一意性については、$\mathrm{\Phi }$と異なり${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$は引数として明示的に骨格を取る点、$F_1$に新たな非ゼロ基底が生まれることがない点、加法に結合法則が成り立つ点より、「$F_1$の非ゼロ基底全てに対して一気に一度だけ操作を行う」としても良いので大丈夫でしょう。

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$には下の重要な性質があります。

これの証明のため補題を１つ用意します。

補題を用いて証明します。

標語的には、「$\mathrm{\Phi }$によって$0$まで潰れないなら、${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$によっても$0$まで潰れない」と言えるでしょう。

また下も成立します。証明は$\mathrm{\Phi }$の時と全く同様なので省略します。

$(2n-2)!$(既約なセル)を、完全既約な擬セルの積に分解してみます。$\mathrm{\Phi }$ではこれ以上分解されませんが、${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$はさらに分解します。

$$\begin{array}{rl}(2n-2)!& =(2n-2)\cdot (2n-3)!\\ & =2(n-1)\cdot (2n-3)!\\ & \equiv (n-1)\cdot (2n-3)!\\ & =\frac{(n-1)!}{(n-2)!}\cdot (2n-3)!\\ & =\frac{(2n-3)!(n-1)!}{(n-2)!}\end{array}$$

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$による分解により、$n=1$を代入できなくなっています。これが「ユニットの定義域を犠牲にする」の意味です。

実は${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$は単射な準同型であり、$K_{PF}\cong \mathrm{Im}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }$が成立するのですが、この事実は使わないので詳しくは述べません。

(6)命題7の証明

ここから牛刀の極み（ディリクレの算術級数定理）をやりすぎなほど用いて、鶏（命題7）を割いて（証明して）いきます。

まず補題を示します。

割と本質情報を沢山使うのでここが証明の本体です。