大学数学チック(?)な入試問題を高校数学でゴリ押すだけ

　$a,b,c$が正の定数であるため, 自然数$n$に対して, $f(n)$は$f(n)>n^3$を満たす.
\begin{equation*} \text{任意の }n\in\mathbb{N}\text{に対して, }\sqrt[\huge 3]{f(n)}\in\mathbb N\Rightarrow \text{任意の }n\in\mathbb N \text{に対して, }m\in\mathbb{N}\text{が存在して, }f(n)=(n+m)^3 \end{equation*}
が成立する. 以降, 「任意の$n\in\mathbb N$に対して, $m\in\mathbb N$が存在して, $f(n)=(n+m)^3$」を$(*)$と略す.
　十分大きな$n$に対して,
\begin{equation*} 3n^2+(9-2a)n+7-a-b>0 \end{equation*}
が成立する. また, 十分大きな$x$に対して, $f(x)$は狭義単調増加関数である.

　$k\in\mathbb{N}$を$3k^2+(9-2a)k+7-a-b>0$を満たしてかつ, $k\leq x$において$f(x)$が狭義単調増加関数となるようにとる.
　$(*)$が成立するには, $f(k)=(k+m)^3$を満たす$m\in\mathbb N$が存在することが必要である.
　このとき, $(k+m)^3< f(k+1)<(k+m+2)^3$であることを示す.

・$(k+m)^3< f(k+1)$は, $f(k)< f(k+1)$より従う.

・$f(k+1)<(k+m+2)^3$について,

$f(k+1)=f(k)+3k^2+(3+2a)k+a+b+1$
$(k+m+2)^3=(k+m)^3+6(k+m)^2+12(k+m)+8$

であるが, $f(k)=(k+m)^3$であるため,

$3k^2+(3+2a)k+a+b+1<6(k+m)^2+12(k+m)+8$

すなわち,

$3k^2+(9-2a)k+7-a-b+12km+6m^2+12m>0$

を示せば良い.
　ここで, $m\geq1$から,
\begin{flalign*} 3k^2+(9-2a)k+7-a-b+12km+6m^2+12m>3k^2+(9-2a)k+7-a-b>0 \end{flalign*}であるため, $f(k+1)<(k+m+2)^3$も示された.
　ゆえに, $(k+m)^3< f(k+1)<(k+m+2)^3$が示された.

　(*)が成立するには, $f(k+1)=(k+1+m_1)^3$を満たす$m_1\in\mathbb N$が存在することが必要だが, 先程の議論から, このような$m_1$としてありえるものは$m_1=m$のみである.

　また, $(*)$が成立するには, $m_1$の存在に加え, $f(k+2)=(k+2+m_2)^3,\text{ }f(k+3)=(k+3+m_3)^3$を満たす$m_2,m_3\in\mathbb N$が存在することが必要であるが, $m_1=m$を考えると同様の議論により, このような$m_2,m_3$としてあり得るものは$m_2=m_3=m$のみである.
　以上より, (*)が成立するには$x=k,k+1,k+2,k+3$で$f(x)=(x+m)^3$が成立することが必要であるが, $f(x),(x+m)^3$はともに三次多項式であり, これが成立するには$f(x)=(x+m)^3$が$x$の恒等式となることが必要. $\square$