数学A:図形の性質をつなぐ① 知識・証明・「何を疑うか」
はじめに
ごきげんよう、みなさま。
角の二等分線、五心、チェバ、メネラウス、円周角、接弦定理、方べき。数Aの「図形の性質」には、いろいろな名前が登場します。
ただ、それぞれの式を覚えていても、図を前にすると「どれを使えばよいのか」で止まってしまうことがあります。反対に、解説を読むと知っている定理しか使っていなかった、ということもあります。
そこで今回は、二つの記事で図形の性質を整理します。
| 記事 | 目的 |
|---|---|
| この記事・知識と考え方の講義編 | 必要な知識を整理し、証明と関係を理解して、図から候補を見つけられるようにする |
| 次の記事・問題編 | 実際の問題で候補を見つけ、条件を確かめ、知識をつないで使う |
この記事では、まず知識を総整理します。その後で重要な性質の証明を読み、知識同士の関係を整理し、最後に問題を見たときの考え方へ進みます。最初から解法のコツだけを追う記事ではありません。
分量は多めです。一度で覚え切ろうとせず、最初は第1部で全体を見渡し、証明や問題編で必要になったところへ戻ってください。
「基本」は中心となる知識、「重要な発展」は基本から自然につながる有用な内容です。「参考」は初読で飛ばしても、本筋を追える内容とします。
中学数学の合同・相似・三平方の定理は使います。三角比・座標などを使う説明は、その旨を明記します。ベクトルや複素数を知らなくても、中心部分は読める構成です。
目次
知識の全体像 → 主要な証明 → 知識の関係 → 何を疑うか → 解法の循環、の順に進みます。
第1部 図形の知識を総整理する
1．言葉・角・合同・相似
① 図の前に、言葉を確定する
線分$AB$は端点$A,B$を含む有限の部分、直線$AB$は両方向に限りなく延びるものです。半直線$AB$は$A$から$B$へ向かう方向に延びます。
「辺$BC$上」と「直線$BC$上」は違います。また「辺$BC$の延長上」だけでは、$B$側と$C$側のどちらかが決まらないことがあります。必要なときは「$B,C,Q$がこの順に並ぶ」と書きます。
以下、$AB$は長さを表すときには非負です。三角形の三頂点は同一直線上にないものとし、別に断らない限り、登場する分点は端点ではありません。角は通常の$0^\circ$から$180^\circ$までの角を使います。
四角形の対角を扱うときは、凸四角形の頂点を周に沿って$A,B,C,D$の順に取ることを基本とします。点名を並べただけで、この順序が保証されるわけではありません。
② 角を運ぶための基本
| 分かっていること | 利用できること |
|---|---|
| 二直線が交わる | 対頂角は等しく、隣り合う角の和は$180^\circ$ |
| 二直線が平行 | 同位角・錯角が等しい |
| 同位角または錯角が等しい | 二直線の平行を示せる |
| 三角形 | 内角の和は$180^\circ$、一つの外角は隣り合わない二内角の和 |
| 凸$n$角形 | 内角の和は$(n-2)180^\circ$、周を同じ向きに進む外角の和は$360^\circ$ |
角を求める作業は、数値を埋めるだけではありません。等しい角が見つかれば、平行・相似・同一円周上という次の構造につながります。
③ 合同と相似
三角形の合同条件は「三辺」「二辺とその間の角」「一辺とその両端の角」です。直角三角形では、斜辺と他の一辺、または斜辺と一つの鋭角でも合同を示せます。
相似条件は「三辺の比」「二辺の比とその間の角」「二角」です。$\triangle ABC\sim\triangle DEF$と書いたら、$A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F$という対応を表します。
二辺と、挟まれていない角が分かっただけでは、一般に合同・相似は確定しません。図の見た目ではなく、条件の組を確認します。
相似比が$m:n$なら、対応する長さの比は$m:n$、面積比は$m^2:n^2$、相似な立体の体積比は$m^3:n^3$です。
図の$DE\parallel BC$なら、$\triangle ADE\sim\triangle ABC$です。二本の直線が交差する配置でも、対応する角をたどれば相似は見つかります。向きが違うことは障害ではありません。
④ 三平方の定理と、その逆
直角三角形の直角を挟む二辺を$a,b$、斜辺を$c$とすると、$a^2+b^2=c^2$です。逆に、三角形の三辺についてこの等式が成り立てば、$c$に対する角が直角です。
直角を得たら長さを計算でき、長さの平方の関係を得たら直角を証明できます。この双方向を意識しておきます。
2．線分比と面積比
① 内分と外分【基本】
$m,n$を正の数とします。線分$AB$の内部の点$P$が$AP:PB=m:n$を満たすとき、$P$は線分$AB$を$m:n$に内分するといいます。
$$AP=\frac{m}{m+n}AB,\qquad PB=\frac{n}{m+n}AB.$$
直線$AB$上で線分$AB$の外部にある点$Q$が$AQ:QB=m:n$を満たすとき、$Q$は線分$AB$を$m:n$に外分するといいます。$m\ne n$が必要です。
| 比 | 点の順序 | 長さ |
|---|---|---|
| $m\gt n$ | $A,B,Q$ | $AQ=\dfrac{m}{m-n}AB,\quad BQ=\dfrac{n}{m-n}AB$ |
| $m\lt n$ | $Q,A,B$ | $AQ=\dfrac{m}{n-m}AB,\quad BQ=\dfrac{n}{n-m}AB$ |
内分では二つの長さの和が$AB$、外分では二つの長さの差が$AB$です。公式を忘れても、$AP=mk,PB=nk$などと置けば復元できます。$1:1$の外分点は存在しません。
② 平行線・中点連結【基本】
$D$が辺$AB$の内部、$E$が辺$AC$の内部にあるとき、
$$DE\parallel BC\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$
同じ条件は$AD:DB=AE:EC$とも表せます。特に$D,E$が中点なら、$DE\parallel BC$かつ$DE=BC/2$です。これが中点連結定理です。
「中点が二つある」ことから、平行と長さの半分が同時に得られます。中点が一つしか見えていなくても、もう一つの辺の中点を取ることで、その二つの情報を作れる場合があります。
③ 面積比【基本】
三角形$ABC$の面積を$[ABC]$と書きます。三角形そのものと面積を区別するための記号です。
| 比較する三角形 | 面積比 |
|---|---|
| 高さが等しい | 底辺の比 |
| 底辺が等しい | 高さの比 |
| 一つの角が等しい、または互いに補角 | その角を挟む二辺の積の比 |
| 相似 | 相似比の二乗 |
$D$が辺$BC$上なら、
$$[ABD]:[ACD]=BD:DC.$$
さらに$P$が線分$AD$の内部にあれば、
$$[ABP]:[ACP]=BD:DC.$$
後者では「$B,C$から直線$AD$への高さの比」を見ています。共通の底辺$AP$を$AD$へ替えても、比は変わりません。
$D$が半直線$AB$上、$E$が半直線$AC$上にあるときは、
$$\frac{[ADE]}{[ABC]}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}.$$
これは相似を仮定していません。共通角を挟む二辺の積を比較しています。相似なら二つの比が等しくなるので、その特別な場合として面積比が二乗になります。
$M$を交点とする二直線の一方に、$M$とは異なる点$X,Y$があるとします。他方の直線までの$X,Y$からの距離を$h_X,h_Y$とすると、
$$h_X:h_Y=MX:MY.$$
垂線でできる直角三角形の相似から分かります。二直線が垂直なら、距離が$MX,MY$そのものになるので直接成り立ちます。$X,Y$が$M$の反対側にあっても、距離と長さを正で測れば同じです。
また、等しい角または補角をなす二つの配置では、「斜めの線分の長さに対する、相手の直線までの距離の割合」が等しくなります。直角の場合は、その割合がともに$1$です。面積や垂線を補助にして長さを比へ変える、という考え方です。
3．角の二等分線と五心
① 角の二等分線【基本】
角の内部の点について、二辺を含む直線までの距離が等しいことと、内角の二等分線上にあることは同値です。「点から直線までの距離」は垂線の長さです。
二直線から等距離にある点全体を見ると、内角・外角の二等分線に当たる二本の直線になります。この二本は垂直です。
$\triangle ABC$で、内角$\angle BAC$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とすると、
$$BD:DC=AB:AC.$$
逆に、辺$BC$の内部の点$D$についてこの比が成り立てば、$AD$は内角の二等分線である。
$AB\ne AC$とし、外角の二等分線と直線$BC$の交点を$E$とすると、$E$は線分$BC$の外部にあり、
$$BE:EC=AB:AC.$$
逆に、線分$BC$の外部の点$E$がこの比を満たせば、$AE$は外角の二等分線である。
$AB=AC$のとき、外角の二等分線は$BC$と平行で、有限の交点$E$はありません。内分と外分の式が似ているからこそ、点の位置を先に確かめます。
② 五心を「何から等距離か」で整理する【基本・一部発展】
| 名称 | 定義・作り方 | 得られる関係 |
|---|---|---|
| 外心$O$ | 三辺の垂直二等分線の交点 | $OA=OB=OC$。外接円の中心 |
| 内心$I$ | 三つの内角の二等分線の交点 | 三辺を含む直線までの距離が等しい。内接円の中心 |
| 重心$G$ | 三本の中線の交点 | 各中線を頂点側から$2:1$に内分 |
| 垂心$H$ | 各頂点から対辺を含む直線へ下ろした三本の垂線の交点 | $AH\perp BC,BH\perp CA,CH\perp AB$ |
| 傍心$I_A$ | $A$の内角、$B,C$の外角の二等分線の交点 | 辺$BC$と、辺$AB,AC$の延長に接する傍接円の中心 |
傍心は$I_A,I_B,I_C$の三つです。「五心」は五つの種類という意味で、傍心まで合わせて点が五つという意味ではありません。
$$\begin{xy} (9,27);(0,0)**@{-}, (0,0);(36,0)**@{-}, (36,0);(9,27)**@{-}, (9,30)*{A}, (-3,-2)*{B}, (39,-2)*{C}, (13.138,9.47)*\cir<9.470mm>{}, (13.138,9.47);(9,27)**@{--}, (13.138,9.47);(0,0)**@{--}, (13.138,9.47);(36,0)**@{--}, (13.138,9.47)*{\scriptstyle\bullet}, (15.138,12.47)*{I} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (9,27);(0,0)**@{-}, (0,0);(36,0)**@{-}, (36,0);(9,27)**@{-}, (9,30)*{A}, (-3,-2)*{B}, (39,-2)*{C}, (9,27);(18,0)**@{-}, (0,0);(22.5,13.5)**@{-}, (36,0);(4.5,13.5)**@{-}, (15,9)*{\scriptstyle\bullet}, (18,11)*{G} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (9,27);(0,0)**@{-}, (0,0);(36,0)**@{-}, (36,0);(9,27)**@{-}, (9,30)*{A}, (-3,-2)*{B}, (39,-2)*{C}, (9,27);(9,0)**@{--}, (9,1.4);(10.4,1.4)**@{-}, (10.4,1.4);(10.4,0)**@{-}, (0,0);(18,18)**@{--}, (17.01,17.01);(16.02,18)**@{-}, (16.02,18);(17.01,18.99)**@{-}, (36,0);(3.6,10.8)**@{--}, (4.928,10.357);(4.485,9.029)**@{-}, (4.485,9.029);(3.157,9.472)**@{-}, (9,9)*{\scriptstyle\bullet}, (12,11)*{H} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (5,15);(0,0)**@{-}, (0,0);(20,0)**@{-}, (20,0);(5,15)**@{-}, (5,18)*{A}, (-3,-2)*{B}, (23,-2)*{C}, (12.701,-17.622)*\cir<17.622mm>{}, (5,15);(12.701,-17.622)**@{--}, (0,0);(12.701,-17.622)**@{--}, (20,0);(12.701,-17.622)**@{--}, (0,0);(-4.016,-12.049)**@{--}, (20,0);(25.161,-5.161)**@{--}, (12.701,-17.622)*{\scriptstyle\bullet}, (16.701,-17.622)*{I_A} \end{xy}$$
外心は鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部にあります。垂心は鋭角三角形では内部、直角三角形では直角の頂点、鈍角三角形では外部です。内心と重心は常に内部です。
直角三角形で、例えば垂心が$A$と一致するときは「直線$AH$」を二点で定められません。この場合の高さは、頂点から対辺を含む直線に垂直な直線という定義へ戻ります。
外心の作図は垂直二等分線を二本、内心の作図は内角の二等分線を二本引けばできます。重心は二辺の中点を作って二本の中線を引きます。二本の交点が三本目にも乗る理由は、第2部で確認します。
③ 内心・傍心で得られる角と比
$$\angle BIC=90^\circ+\frac12\angle A,\qquad
\angle BI_A C=90^\circ-\frac12\angle A.$$
いずれも$\triangle BIC$、$\triangle BI_A C$の内角の和から導けます。$\angle A$は$\angle BAC$の略です。
$a=BC,b=CA,c=AB$とすると、内心から三辺への距離は共通なので、
$$[IBC]:[ICA]:[IAB]=a:b:c.$$
$D=AI\cap BC$とすれば、$\triangle ABD$で$BI$が$\angle ABD$の二等分線です。よって
$$AI:ID=AB:BD=(b+c):a.$$
大きな三角形の中に、二等分線を使える小さな三角形がもう一つあります。
④ 中線・重心・中線定理
中線は、頂点と対辺の中点を結ぶ線分です。$M$を辺$BC$の中点とすると、
$$AG:GM=2:1.$$
三本の中線は、三角形を面積の等しい六つの小三角形に分けます。また、$[ABG]=[BCG]=[CAG]=[ABC]/3$です。
$M$を辺$BC$の中点とすると、
$$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2).$$
特に、$a=BC,b=CA,c=AB$なら、
$$AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$
中線定理は、中点と長さの平方を結ぶ定理です。中線を高さと取り違えて、$AB^2=AM^2+BM^2$などとしてはいけません。
⑤ 五心相互の関係【重要な発展・参考】
正三角形では$O,I,G,H$が一致します。反対に、この四種類のうち二つが一致すれば、三角形は正三角形です。例えば$G=H$なら各中線が高さでもあり、$I=G$なら各中線が角の二等分線でもあるので、隣り合う辺が等しいことを三頂点で使えます。傍心はこの一致の主張に含めていません。
正三角形でない三角形では、外心$O$、重心$G$、垂心$H$は一直線上にあり、
$$OG:GH=1:2$$
で、$G$が$O,H$の間にあります。この直線をオイラー線といいます。内心がいつもこの直線に乗るわけではありません。正三角形では三点が一致するため、この三点だけから一本の直線を定めることはできません。
三つの傍心が作る$\triangle I_A I_B I_C$では、元の三角形の内心$I$が垂心になります。内角と外角の二等分線が垂直であることが、五心同士をつなぎます。
参考：五心に関する、もう少し先の見取り図
外接円の半径を$R$、内接円の半径を$r$とすると、$OI^2=R(R-2r)$という関係もあります。また、三辺の中点、三つの垂足、頂点と垂心を結ぶ線分の中点は、一つの円上にあります。後者は九点円と呼ばれ、その中心は$OH$の中点、半径は$R/2$です。
これらは今回の中心ではなく、問題編でも既知の公式として使いません。まずは、五心の定義・中線の比・オイラー線までを確実につなぐ方を優先してください。
4．チェバ・メネラウスと三角形の大小関係
① チェバの定理【基本】
$D,E,F$を、それぞれ辺$BC,CA,AB$の内部の点とする。
$$AD,BE,CF\text{が一点で交わる}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1.$$
「三角形と、その頂点から一点へ集まる三本の線」を結ぶ定理です。順方向は比の計算、逆方向は三直線が一点で交わることの証明に使えます。
積は、$B\to D\to C\to E\to A\to F\to B$と辺を一周すると書けます。分子と分母をすべて逆にしても正しいですが、一つだけ逆にすれば別の式になります。
重要な発展：外分点を含むチェバと、平行の例外
直線$AD,BE,CF$が三角形の外部の一点で交わり、$D,E,F$がいずれも有限の点であるときも、正の長さで書いた積は$1$です。この配置では、三つの分点のうち一つが内分点、二つが外分点になります。
逆方向では注意が必要です。「一つが内分点、二つが外分点」で積が$1$なら、三直線は一点で交わるか、三本とも平行です。一点で交わると結論するには、例えば$AD$と$BE$が平行でないことを別に確認します。
例として、$D$を$BC$の中点、$E$を$CA$の$A$側の延長上で$AE=AC$となる点、$F$を$AB$の$A$側の延長上で$AF=AB$となる点に取ると、積は$1\cdot2\cdot\frac12=1$ですが、$AD,BE,CF$は平行です。
内部の形には、この例外はありません。本記事の主な適用では、まず内部の形を用い、外部の形を使うときには点の位置と平行の可能性を明示します。
② メネラウスの定理【基本】
$D,E,F$を、それぞれ直線$BC,CA,AB$上の、頂点とは異なる点とする。三点のうち外分点が一つ、または三つであるとき、
$$D,E,F\text{が一直線上にある}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1.$$
長さを正で測る本記事では、チェバとメネラウスの積の形は同じです。区別しているのは、式の名前ではなく配置です。分点が三つとも内部にあるのに、この積から一直線上だとは結論できません。
計算前に「$\triangle ABC$と直線$DEF$について」などと対象を言葉で指定してください。元の大きな三角形ではなく、内部の小さな三角形に適用すると、欲しい比が一度で出ることもあります。
③ 三角形の成立条件と辺・角の大小【基本】
正の数$a,b,c$が三角形の三辺になるための条件は、
$$a\lt b+c,\quad b\lt c+a,\quad c\lt a+b.$$
同値な形として、$|b-c|\lt a\lt b+c$があります。最大の辺が$a$だと分かっているなら、$a\lt b+c$だけ確かめれば足ります。等号のときは三点が一直線上に並び、三角形は退化します。
同じ三角形では、大きな辺の向かいに大きな角があります。
$$AB\gt AC\quad\Longleftrightarrow\quad\angle ACB\gt \angle ABC.$$
等しい場合も同様です。二等辺三角形の底角が等しいことと、その逆を含んだ見方です。
④ 三角不等式と最短経路【重要な発展】
折れ線の長さは、その両端を結ぶ線分の長さ以上です。例えば$AX+XB\geqq AB$で、等号は$X$が線分$AB$上にあるときに限ります。
経由点$X$がある直線上を動く場合、一方の端点をその直線について対称移動すると、折れ線を一本の直線へ伸ばせることがあります。ただし、等号を実現する交点が、指定された直線・半直線・線分の範囲に入るかまで確認します。
5．円・接線・方べき
① 円周角・中心角・弦【基本】
同じ弧に対する円周角は等しく、その弧に対する中心角の半分です。ここで中心角は、その弧を実際になぞる方を取ります。大きな弧に対しては$180^\circ$を超える中心角になります。
同じ弦$AB$を見ていても、頂点が直線$AB$の同じ側なら円周角は等しく、反対側なら二つの円周角の和は$180^\circ$です。
特に、直径に対する円周角は$90^\circ$です。逆に$\angle AXB=90^\circ$なら、$X$は$AB$を直径とする円上にあります。
同じ円で、等しい弦は等しい小さい方の中心角を持ち、中心から弦までの距離も等しくなります。中心から弦へ下ろした垂線は、その弦を二等分します。弦の垂直二等分線は中心を通ります。
② 内接四角形と、四点が同一円周上にある条件【基本】
凸四角形$ABCD$について、
$$A,B,C,D\text{が同一円周上}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.$$
このとき一つの外角は、その頂点の向かいの内角に等しくなります。
もう一つ、異なる点$A,B$と、直線$AB$の同じ側にある異なる点$P,Q$について、
$$\angle APB=\angle AQB\quad\Longrightarrow\quad A,B,P,Q\text{が同一円周上}.$$
$P,Q$が反対側なら、必要な条件は二つの角の和が$180^\circ$になることです。単に「同じ線分を見る角が等しい」とだけ覚えると、位置の条件を落とします。
③ 接線と半径【基本】
円周上の点$T$を通る直線が、その点で円に接することと、半径$OT$に垂直であることは同値です。
円の外部の点$P$から引いた二接線の接点を$T,U$とすると、$PT=PU$です。また$OP$は接線のなす角を二等分し、$TU$を垂直に二等分します。
接線を見たら、「接点と中心を結んで直角を得る」「接弦定理で角を見る」「方べきで長さを見る」という三つの入口があります。
④ 接弦定理と逆【基本・逆は重要な発展】
円上の異なる三点$A,B,C$を考えます。$A$での接線上に点$T$を、$T$と$C$が直線$AB$の反対側にあるように取ると、
$$\angle TAB=\angle ACB.$$
逆に、三角形$ABC$と、同じ位置の条件を満たす点$T$についてこの角の等式が成り立てば、直線$AT$は$\triangle ABC$の外接円に$A$で接します。
接線には二つの向きがあります。反対の半直線を取ると角は補角になるため、「どちら側の角でも同じ」とは扱いません。
⑤ 方べきの定理【基本】
円と二直線が、それぞれ$A,B$、$C,D$で交わり、二直線の交点を$P$とします。
| $P$の位置 | 条件と等式 |
|---|---|
| 円の内部 | $A,P,B$と$C,P,D$の順に並び、$PA\cdot PB=PC\cdot PD$ |
| 円の外部 | 各直線上の二交点は$P$から見て同じ方向にあり、$PA\cdot PB=PC\cdot PD$ |
| 円の外部・接線もある | 接点を$T$として、$PT^2=PA\cdot PB$ |
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<18.000mm>{}, (17.96,1.192);(-17.037,-5.807)**@{-}, (5.807,17.037);(-1.192,-17.96)**@{-}, (20.96,1.192)*{A}, (-20.037,-5.807)*{B}, (5.807,20.037)*{C}, (-1.192,-20.96)*{D}, (5,-5)*{P} \end{xy}$$
積に入れるのは、すべて同じ点$P$からの距離です。$P,A,B$の順に並び、$PA=3,AB=5$なら、$PA\cdot PB=3\cdot8$であって$3\cdot5$ではありません。
中心を$O$、半径を$R$とすると、外部では積が$PO^2-R^2$、内部では正の長さの積が$R^2-PO^2$です。両者を同じ符号の式にまとめるには向き付きの長さが必要ですが、本記事では使いません。
⑥ 方べきの逆【重要な発展】
二本の異なる直線上に$A,B$と$C,D$があり、交点を$P$とします。五点は互いに異なるものとします。
次のいずれかの配置で$PA\cdot PB=PC\cdot PD$なら、四点$A,B,C,D$は同一円周上にあります。
- $P$が線分$AB$と線分$CD$の両方の内部にある。
- $A,B$が$P$から同じ方向にあり、$C,D$も$P$から同じ方向にある。
片方だけが$P$を挟む配置には適用できません。正の長さの積の等式だけでは、位置の違いを表せないためです。
また、$P,A,B$がこの順に並び、$T$が直線$AB$上にない点で、
$$PT^2=PA\cdot PB$$
なら、直線$PT$は$\triangle ABT$の外接円に$T$で接します。
⑦ トレミーの定理【重要な発展】
円に内接する凸四角形$ABCD$について、
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$
「対角線どうしの積」が「向かい合う辺どうしの積の和」になります。辺・対角線の長さが複数現れたときの有力な候補です。円に内接しない四角形へ、この等式をそのまま使うことはできません。
逆も凸四角形について成り立ちますが、今回の問題編では同一円周上の確認に角や方べきの逆を使い、トレミーは長さの処理に用います。証明では、対角線上の一点を選んで二組の相似を作ります。
6．内接円と二つの円
① 接線の長さと半周長【基本】
$a=BC,b=CA,c=AB$、$s=(a+b+c)/2$とします。$s$を半周長といいます。内接円の接点を$D\in BC,E\in CA,F\in AB$とすると、
$$AF=AE=s-a,\quad BD=BF=s-b,\quad CD=CE=s-c.$$
同じ点からの接線が等しいので、$AF=AE=x,BD=BF=y,CD=CE=z$と置けば、$c=x+y,a=y+z,b=z+x$です。この三式を解いたものが半周長の公式です。三角不等式により、$s-a,s-b,s-c$はいずれも正です。
三角形の面積を$S$、内接円の半径を$r$とすると、
$$S=rs,\qquad r=\frac{S}{s}.$$
内心と三頂点を結び、三つの三角形へ分けた面積を足しています。$A$に対する傍接円の半径$r_A$については、
$$S=r_A(s-a)$$
です。傍心では面積を単純に三つ足すのではなく、外側にできる部分を引くことになります。
② 二円の位置関係【基本】
二円の半径を$R\geqq r\gt 0$、中心間の距離を$d$とします。
| 条件 | 位置関係 | 共通接線の本数 |
|---|---|---|
| $d\gt R+r$ | 外部で離れる | $4$ |
| $d=R+r$ | 外接 | $3$ |
| $R-r\lt d\lt R+r$ | 二点で交わる | $2$ |
| $d=R-r\gt 0$ | 内接 | $1$ |
| $0\leqq d\lt R-r$ | 小円が大円の内部にあり、接しない | $0$ |
| $d=0,R=r$ | 二円が一致 | 無数 |
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<10.000mm>{}, (16,0)*\cir<6.000mm>{}, (0,0);(16,0)**@{--}, (8,-16)*{d=R+r} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<10.000mm>{}, (10,0)*\cir<6.000mm>{}, (0,0);(10,0)**@{--}, (5,-16)*{R-r\lt d\lt R+r} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<10.000mm>{}, (4,0)*\cir<6.000mm>{}, (0,0);(4,0)**@{--}, (2,-16)*{d=R-r\gt 0} \end{xy}$$
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<10.000mm>{}, (2,0)*\cir<6.000mm>{}, (0,0);(2,0)**@{--}, (1,-16)*{d\lt R-r} \end{xy}$$
異なる同心円は、$d=0\lt R-r$の場合です。一致する円を「内接」と数えないようにします。接する二円では、二中心と接点が一直線上に並びます。
③ 共通接線の長さ【重要な発展】
共通接線のうち、二中心がその直線の同じ側にあるものを共通外接線、反対側にあるものを共通内接線と呼びます。接点間の長さは、それぞれ
$$\sqrt{d^2-(R-r)^2},\qquad\sqrt{d^2-(R+r)^2}.$$
前者は$d\gt R-r$、後者は$d\gt R+r$のときの、異なる二接点の間の長さです。境界の接触では接点が一致し、長さは$0$になります。二円が一致する場合は別です。
$$\begin{xy} (0,0)*\cir<10.000mm>{}, (34,0)*\cir<6.000mm>{}, (4.706,8.824);(31.176,-5.294)**@{-}, (0,0);(4.706,8.824)**@{-}, (34,0);(31.176,-5.294)**@{-}, (0,0);(34,0)**@{--}, (7.529,14.118);(34,0)**@{--}, (6.871,12.882);(8.106,12.224)**@{-}, (8.106,12.224);(8.765,13.459)**@{-}, (-2,-3)*{O_1}, (38,3)*{O_2}, (4.706,11.824)*{T_1}, (35.176,-8.294)*{T_2}, (-1.235,7.059)*{R+r} \end{xy}$$
半径を接点へ引くと平行な二本の垂線ができます。その差が$R-r$か、和が$R+r$かを確認して直角三角形を作れば、三平方の定理で求められます。
二円が交わる場合、共通弦は中心を結ぶ直線に垂直で、中心を結ぶ直線が共通弦を二等分します。これも「中心から弦まで」を見る考え方です。
7．空間の位置関係と四面体
① 直線・平面の位置関係【基本】
| 対象 | 位置関係 |
|---|---|
| 異なる二直線 | 一点で交わる／平行／ねじれの位置 |
| 直線と平面 | 一点で交わる／平行／直線が平面に含まれる |
| 異なる二平面 | 一本の直線で交わる／平行 |
ねじれの位置とは、同一平面上になく、交わらない二直線の関係です。「交わらない」だけでは、平行かねじれかは決まりません。
本記事では、直線と平面が平行というとき、両者に共有点がないことを意味します。「平面に含まれる」場合は区別します。
空間の二直線のなす角は、一点を通る平行な二直線へ移して測れます。その角が$90^\circ$なら、元の二直線がねじれの位置でも、方向として垂直といいます。ただし「垂線の足」は実際の交点を指します。
② 垂直は、何本に対して確認するか
直線$l$が平面$\alpha$と点$O$で交わるとする。$\alpha$内で$O$を通る、異なる二直線の両方に$l$が垂直なら、$l$は$\alpha$に垂直である。
平面に垂直な直線は、その平面内のすべての直線と方向として垂直です。逆向きでは、平面内の一本への垂直だけでは足りません。交わる二本への垂直を確認します。
二平面のなす角は、交線上の同じ点で、各平面内に交線への垂線を引き、その二直線の角として測ります。これが$90^\circ$なら二平面は垂直です。
一方の平面が、他方の平面に垂直な直線を含めば、二平面は垂直です。しかし、二平面が垂直でも、一方の平面内のすべての直線が他方の平面に垂直になるわけではありません。
平行についても、平面内の交わる二直線がそれぞれ別の平面と平行なら、二平面は平行です。一本ずつの平行を見つけただけで、平面同士の平行まで進まないようにします。
③ 三垂線の定理【重要な発展】
平面$\alpha$の外の点$P$から下ろした垂線の足を$O$とします。$\alpha$内の直線$l$は$O$を通らないものとし、$O$から$l$への垂線の足を$X$とすると、
$$PX\perp l.$$
反対に、$X$が$l$上にあり$PX\perp l$なら、$OX\perp l$です。
「立体の斜めの線分$PX$」と「平面上への影$OX$」が、同じ直線$l$に垂直になる関係です。点から辺までの距離や、二面角を扱うときの入口になります。
④ 四面体と高さ【基本・重要な発展】
四面体は、同一平面上にない四点を頂点とする三角錐です。面は四つ、辺は六本です。共通の頂点を持たない二辺を、向かい合う辺といいます。
四面体$PABC$で$PA=PB=PC$なら、$P$から平面$ABC$へ下ろした垂線の足$O$について、
$$OA^2=PA^2-PO^2,\quad
OB^2=PB^2-PO^2,\quad
OC^2=PC^2-PO^2$$
です。したがって$OA=OB=OC$で、$O$は底面の外心です。このような、頂点から底面の三頂点への辺が等しい四面体を、ここでは等脚四面体と呼びます。
底面が鈍角三角形なら外心は外部です。頂点から下ろした垂線の足が、必ず底面の内部にあるわけではありません。重心や内心と決めつけることもできません。
すべての辺が等しい正四面体では、底面が正三角形なので、底面の外心・内心・重心が一致します。
⑤ 等面四面体と直方体【重要な発展】
四つの面がすべて合同な四面体を、等面四面体と呼びます。これは、向かい合う三組の辺の長さがそれぞれ等しいことと同値です。
直方体の、隣り合わない四つの頂点を一つおきに選ぶと、等面四面体を作れます。直方体の三辺を$x,y,z\gt 0$とすると、四面体の三種類の辺の長さは
$$\sqrt{x^2+y^2},\quad
\sqrt{y^2+z^2},\quad
\sqrt{z^2+x^2}$$
です。体積は直方体の体積の$1/3$になります。
逆に、等面四面体はこの形の直方体に埋め込めます。そのため各面は鋭角三角形です。例えば三種類の辺を$u,v,w$として
$$u^2=x^2+y^2,\quad v^2=y^2+z^2,\quad w^2=z^2+x^2$$
と対応させたなら、
$$x^2=\frac{u^2+w^2-v^2}{2},\quad y^2=\frac{u^2+v^2-w^2}{2},\quad z^2=\frac{v^2+w^2-u^2}{2}.$$
三つとも正であることが必要です。一つが$0$なら、立体として退化します。「三角形になる三辺」であっても、鈍角三角形の四枚を等面四面体に組み立てられるわけではありません。
⑥ 内接球・外接球・体積
ここでは凸多面体を考えます。そのすべての面に内側から接する球を内接球といいます。半径$r$、多面体の表面積$S$、体積$V$について、
$$\boxed{V=\frac13rS}$$
です。球の中心と各面を結ぶ角錐に分けると、どの高さも$r$になるためです。三角形の$[ABC]=rs$と同じ考え方が、一つ次元を上げて現れています。
ただし、一般の多面体に内接球があるとは限りません。四面体には内接球が一つ存在します。球の中心から面へ下ろす垂線の足が接点です。
四面体には、四頂点を通る外接球も一つ存在します。底面の外心を通り底面に垂直な直線上で、残る頂点までの距離も等しくなる点を探すと、その中心が求められます。
一辺$a$の正四面体では、
$$h=\frac{\sqrt6}{3}a,\qquad
R=\frac{\sqrt6}{4}a,\qquad
r=\frac{\sqrt6}{12}a,\qquad R=3r.$$
これらは、頂点・底面の中心・底面の頂点を含む断面と、$V=rS/3$から導けます。公式だけを増やすより、その断面を作れることを大切にしてください。
8．正多面体・切断・回転体
① 正多面体は五種類【基本】
ここでは、すべての面が合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数も等しい凸多面体を正多面体と呼びます。
| 正多面体 | 一面 | 一頂点に集まる面の数 | 頂点数$v$ | 辺数$e$ | 面数$f$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | $3$ | $4$ | $6$ | $4$ |
| 正六面体（立方体） | 正方形 | $3$ | $8$ | $12$ | $6$ |
| 正八面体 | 正三角形 | $4$ | $6$ | $12$ | $8$ |
| 正十二面体 | 正五角形 | $3$ | $20$ | $30$ | $12$ |
| 正二十面体 | 正三角形 | $5$ | $12$ | $30$ | $20$ |
一面が正$n$角形、一頂点に$m$枚の面が集まるなら、
$$nf=2e,\qquad mv=2e.$$
一辺を二つの面から数え、一辺の両端を二つの頂点から数えています。数の表は、この二重の数え方から復元できます。
② オイラーの多面体定理【基本・証明は発展】
凸多面体について
$$\boxed{v-e+f=2}$$
が成り立ちます。穴のある立体などへ、条件を変えずに適用してはいけません。
正多面体が五種類に限られる理由は、各頂点に集まる面の角の和が$360^\circ$未満でなければ、立体の角ができないことです。この制限と上の数え方を、第2部で確認します。
③ 切断面を探す
多面体の一つの面と切断平面が異なっていて交わるなら、その共通部分は一本の直線上にあります。同じ面上の二点が分かれば、その面にできる切り口を結べます。
隣の面へ進むときは、共有する辺との交点を引き継ぎます。必要なら面を延長して交線を調べますが、多面体の外部へ延びた部分を、そのまま切断面の辺と数えてはいけません。
平行な二平面を第三の平面で切ると、交線は平行です。立方体の切断などで、反対側の面の切り口を決める手掛かりになります。
④ 回転体は、軸に垂直な断面で見る
立体や平面図形を回転させたとき、軸に垂直な平面で切ると、半径が見えやすくなります。ただし、断面が円板なのか、中心に穴のある円環なのかを確認します。
例えば、正八面体を向かい合う頂点を結ぶ軸のまわりに回すと、合同な二つの円錐を底面で合わせた立体になります。軸を含む断面だけでなく、軸に垂直な各断面が円板を埋めることを確かめるのが大切です。
空間の計量では、底面、対角線を含む断面、軸に垂直な断面など、必要な点と垂線が同時に現れる平面を選びます。
第2部 重要な性質を証明する
ここでは、繰り返し使う性質を中心に証明します。長めの証明は折り畳みました。「何を補助にすると、既知の関係へ戻るか」も読んでみてください。
1．比・二等分線・五心の証明
① 共通角を挟む二辺の積と面積
$D$が半直線$AB$上、$E$が半直線$AC$上にあるとします。間に$[ABE]$を挟むと、
$$\frac{[ADE]}{[ABC]}
=\frac{[ADE]}{[ABE]}\cdot\frac{[ABE]}{[ABC]}
=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}.$$
一つ目は$E$から直線$AB$への高さ、二つ目は$B$から直線$AC$への高さが共通です。三角比を使わずに、二回の「同じ高さ」で証明できました。補角の場合も、片方の辺を延長して同じ高さを見れば同様です。
② 角の二等分線定理と逆
内角の二等分線上の点$D$から$AB,AC$へ下ろす垂線の長さは等しいので、
$$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{AB}{AC}.$$
一方、底辺を$BD,DC$と見れば高さが共通なので、この比は$BD/DC$でもあります。よって$BD/DC=AB/AC$です。
外角の二等分線上の$E$でも、直線$AB,AC$までの距離は等しいので、同様に$[ABE]/[ACE]=AB/AC=BE/EC$となります。
逆は、実際の二等分線と直線$BC$の交点をいったん$D'$または$E'$と置き、順方向の定理を使います。同じ比の内分点は一つ、$1:1$でない同じ比の外分点も一つです。したがって、与えられた点と一致します。
「正しい性質を持つ点を作り、その一意性で一致させる」という、逆の証明に繰り返し現れる方法です。
補足：二直線までの距離と角の二等分線
二辺へ下ろした垂線でできる二つの直角三角形は、斜辺を共有します。二等分線上なら一つの鋭角が等しく、合同なので垂線の長さが等しくなります。逆に垂線の長さが等しければ、斜辺と他の一辺による合同から角が等しくなります。外角についても、その角の内部で同じ証明が使えます。
③ 三本が一点で交わる理由
証明：外心・内心・傍心
二辺$AB,AC$の垂直二等分線の交点を$O$とすると、$OA=OB$かつ$OA=OC$です。したがって$OB=OC$で、残る$BC$の垂直二等分線にも乗ります。
内角$A,B$の二等分線の交点$I$は三角形の内部にあります。$I$から直線$AB,AC$までの距離が等しく、直線$BA,BC$までの距離も等しいため、三辺までの距離が等しくなります。よって内角$C$の二等分線にも乗ります。
$B,C$の外角の二等分線のうち、辺$BC$を挟んで$A$と反対側に交わるものの交点を$I_A$とします。同じ等距離の議論から、$I_A$は$A$の内角の二等分線上にあります。二等分線のどちら側を選ぶかによって、内心と傍心を区別しています。
証明：重心の$2:1$と三本の中線
$M,N$を$BC,CA$の中点とし、$AM$と$BN$の交点を$G$とします。中点連結定理により$MN\parallel AB$、$MN=AB/2$です。
したがって$\triangle GAB\sim\triangle GMN$より、$AG:GM=BG:GN=2:1$です。
第三の中線と$AM$の交点についても同じ議論で、$AM$を頂点側から$2:1$に分けると分かります。そのような内分点は一つなので、第三の中線も$G$を通ります。
中点へ引く線は同じ高さの三角形を等分するので、三本の中線でできる六つの小三角形は等積です。
証明：垂心の存在を、外心へ帰着する
$A,B,C$を通って、それぞれ対辺に平行な直線を引き、外側に三角形を作ります。平行四辺形の性質から、元の$A,B,C$は外側の三角形の各辺の中点になります。
例えば$A$を通る元の高さは$BC$に垂直であり、$A$を通って$BC$に平行に引いた外側の辺にも垂直です。しかも$A$はその辺の中点なので、元の高さは外側の三角形の垂直二等分線です。
三本とも同様です。外側の三角形の外心で交わるため、元の三本の高さも一点で交わります。鈍角三角形でも、辺を含む直線として考えれば同じです。
④ 中線定理
証明：三平方の定理を二回使う（座標による表記）
$M=(0,0),B=(-u,0),C=(u,0),A=(v,w)$と置きます。これは数Iの座標距離を用いた短い証明です。
$$AB^2=(v+u)^2+w^2,\qquad AC^2=(v-u)^2+w^2.$$加えると交差項が消え、
$$AB^2+AC^2=2(v^2+w^2+u^2)=2(AM^2+BM^2).$$中点を原点に取ったことで、左右の符号だけが違う二つの式になりました。座標を使わず、$A$から直線$BC$へ下ろした垂線と三平方の定理で場合分けしても同じ計算です。
⑤ オイラー線と、傍心の作る三角形
証明：中線の$2:1$を、外心と垂心へ移す
まず三角形が直角三角形なら、垂心は直角の頂点、外心は斜辺の中点です。その中線を重心が$2:1$に分けるので、結論が成り立ちます。
以下、直角三角形ではないとします。$M$を$BC$の中点とします。$O\ne G$の場合、直線$OG$上で$G$を挟んで$O$と反対側に、$GH'=2GO$となる点$H'$を取ります。
$AG=2GM$でもあるので、対頂角と二辺の比から$\triangle GAH'\sim\triangle GMO$です。よって$AH'\parallel MO$。外心の性質から$MO\perp BC$なので、$AH'\perp BC$となります。
ほかの中線でも同じことがいえるため、$H'$は三本の高さの交点、すなわち垂心$H$です。したがって$O,G,H$は一直線上で$OG:GH=1:2$です。
この議論で$A,G,O$が一直線上なら、$A,G,H',M,O$も同一直線上で、直接$AH'\perp BC$と分かります。相似の三角形が退化する場合を、無理に相似として扱う必要はありません。
一方、$O=G$なら、外心を通る各中線は対辺の垂直二等分線になります。よって三辺が等しく、正三角形です。このとき$H=G=O$です。
証明：内心は傍心三角形の垂心
$I_B,I_C$はともに$A$の外角の二等分線上にあり、$A$を挟んで反対側にあります。したがって直線$I_BI_C$は$A$の外角の二等分線です。
一方、$A,I,I_A$は内角の二等分線上にあり、内角・外角の二等分線は垂直です。よって$I_AI\perp I_BI_C$です。残る二頂点についても同様なので、$I$は$\triangle I_AI_BI_C$の垂心です。
⑥ 辺と角の大小・三角不等式
証明：大きい辺の向かいに、大きい角
$AB\gt AC$とし、辺$AB$上に$AD=AC$となる点$D$を取ります。二等辺三角形$ACD$で$\angle ACD=\angle CDA$です。
$\angle CDA$は$\triangle BCD$の外角なので、$\angle CDA\gt \angle CBD=\angle ABC$です。また$\angle ACB\gt \angle ACD$です。したがって$\angle ACB\gt \angle ABC$となります。
逆は、$AB=AC$なら二角は等しく、$AB\lt AC$なら今の順方向によって大小が逆になることから従います。
三角不等式$AB+AC\gt BC$は、$BA$を$A$の先へ延長し、$AD=AC$となる点$D$を取って示せます。$\angle BCD\gt \angle ACD=\angle ADC=\angle BDC$なので、$BD\gt BC$です。$BD=AB+AC$より結論を得ます。
2．チェバとメネラウス、その逆
① チェバは、面積比を一周させる
$AD,BE,CF$が内部の点$P$で交わるとします。
$$\frac{BD}{DC}=\frac{[PAB]}{[PAC]},\quad
\frac{CE}{EA}=\frac{[PBC]}{[PBA]},\quad
\frac{AF}{FB}=\frac{[PCA]}{[PCB]}.$$
例えば一つ目は、底辺を$PA$と見ると高さの比が$BD:DC$だからです。三式を掛けると、各小三角形の面積が約分され、積が$1$になります。
逆に、辺の内部の$D,E,F$について積が$1$とします。内部で交わる$AD,BE$の交点を$P$とし、直線$CP$と$AB$の交点を$F'$とします。順方向から
$$\frac{AF'}{F'B}=\frac{DC}{BD}\cdot\frac{EA}{CE}
=\frac{AF}{FB}.$$
同じ内分比の点は一つなので$F'=F$となり、三直線は一点で交わります。
補足：外部のチェバで、何が変わるか
交点が外部にあるときも、各頂点から一本の直線へ下ろす高さの比を使えば、対応する面積比の積が約分されます。分点の位置は「一つが内分、二つが外分」になります。
逆の証明で二直線が実際に交われば、交点と残る頂点を結び、順方向と分点の一意性を使えます。ところが二直線が平行だと、この交点を作れません。その場合、辺の比例関係から第三の直線も平行になる配置が残ります。これが第1部で区別した例外です。
② メネラウスは、一本の直線までの高さを一周させる
直線$DEF$までの$A,B,C$からの距離を、それぞれ$h_A,h_B,h_C$とします。直線$DEF$は三角形の頂点を通らないので、これらは正です。
垂線でできる直角三角形の相似から、
$$\frac{BD}{DC}=\frac{h_B}{h_C},\quad
\frac{CE}{EA}=\frac{h_C}{h_A},\quad
\frac{AF}{FB}=\frac{h_A}{h_B}.$$
掛ければ積は$1$です。頂点が直線の反対側にあっても、距離を正で測る限りこの比は変わりません。三角形の辺を横切る直線の配置を調べると、外分点は一つまたは三つになります。
証明：メネラウスの逆と、位置の条件
外分点が一つまたは三つで、積が$1$とします。まず$EF\parallel BC$でないことを確かめます。
仮に平行なら、相似から$(CE/EA)(AF/FB)=1$です。よって$BD/DC=1$で$D$は中点です。一方、$E,F$はともに内分点か、ともに外分点になります。したがって外分点の数は$0$または$2$となり、仮定に反します。
そこで$D'=EF\cap BC$を取れます。順方向の定理と仮定から$BD'/D'C=BD/DC$です。さらに外分点の個数の偶奇を比べると、$D'$と$D$はともに内分点、またはともに外分点です。同じ比の内分点・外分点の一意性から$D'=D$となります。
比の式だけでは、内分点と外分点を取り違える余地があります。逆の証明の中でも、位置の条件が必要でした。
3．円の定理と逆の証明
① 円周角と内接四角形
証明の核：半径で二等辺三角形を作る
円周上の点$P$から直径$PD$を引きます。まず一方の端点が$D$である弧$AD$を考えます。
$OA=OP$より$\triangle AOP$は二等辺三角形です。$\angle APD=\theta$なら、外角の関係から、その弧に対応する$\angle AOD=2\theta$となります。
一般の弧$AB$では、直径の端点$D$を境に二つの角を加える、または差を取ることで、中心角が円周角の二倍になります。大きな弧を見ている場合は、中心角も大きい方を選びます。
円に内接する凸四角形の対角は、合わせて円全体を一周する二つの弧に対する円周角なので、その和は$360^\circ/2=180^\circ$です。
証明：同じ線分を見る角の逆（座標・三角比による補足）
逆の成立条件をはっきり見るため、この証明だけ数Iの座標と三角比を使います。$A=(0,0),B=(1,0)$とし、直線$AB$の上側にある$P=(x,y)$で$y\gt 0$、$\angle APB=\theta$とします。
三角形の面積から$\sin\theta=y/(PA\cdot PB)$、余弦定理から$\cos\theta=(x^2-x+y^2)/(PA\cdot PB)$です。$k=\cos\theta/\sin\theta$と置けば、
$$x^2-x+y^2-ky=0.$$平方完成すると、
$$\left(x-\frac12\right)^2+ \left(y-\frac{k}{2}\right)^2 =\frac{1+k^2}{4}.$$これは$A,B$を通る一つの円です。同じ側にあって同じ角$\theta$を作る点は、この円上にあります。反対側では$y\lt 0$となり、角を$180^\circ-\theta$にすると同じ円の式になります。
よって「同じ側なら等しい角」「反対側なら補角」が、それぞれ同一円周上にあることを保証します。凸四角形の対角の和が$180^\circ$という逆も、この後者です。証明に座標を使いましたが、問題で使う結論は第1部の幾何の条件です。
② 接弦定理と逆
証明：半径との直角と、円周角を組み合わせる
接点$A$を通る直径を$AD$とします。接線は$AD$に垂直です。$B\ne D$なら、$\angle ABD=90^\circ$なので、接線と弦$AB$のなす角は、向きを正しく選べば$\angle ADB$と等しくなります。
同じ弦$AB$に対する円周角へ角を移せば、接弦定理になります。$B=D$なら、接線と弦は垂直で、対応する円周角も$90^\circ$です。鈍角を選ぶ配置では、両方を補角へ替えます。
逆では、円の$A$での本当の接線を一度引きます。その接線も接弦定理を満たします。同じ側で、弦$AB$となす角が等しい半直線は一つなので、与えられた直線はこの接線に一致します。
ここでも、角の数値だけでなく「どちら側の角か」が一意性を支えています。
③ 方べきは、相似から長さの積へ進む
証明：二本の割線
$P,A,B$と$P,C,D$がそれぞれ一直線上にあり、$A,B,C,D$が同じ円上にあるとします。内部では$A,P,B$と$C,P,D$、外部では$P,A,B$と$P,C,D$の順です。
円周角と対頂角、必要な場合は補角を使うと、
$$\triangle PAC\sim\triangle PDB$$です。したがって$PA/PD=PC/PB$より
$$PA\cdot PB=PC\cdot PD.$$どの線分が対応するかを、相似の点の順で確かめてください。単に「積の式を覚える」より、誤った組合せを避けられます。
$P$が外部で$PT$が接線なら、接弦定理から$\triangle PAT\sim\triangle PTB$となり、$PA/PT=PT/PB$より$PA\cdot PB=PT^2$です。
証明：方べきの逆
第1部の位置条件のもとで$PA\cdot PB=PC\cdot PD$とします。$A,B,C$を通る円を描き、直線$PC$とのもう一つの交点を$D'$とします。
内部の配置なら$P$はその円の内部で、$D'$は$C$と反対側にあります。外部の配置なら$P$は円の外部で、$D'$は$C$と同じ半直線上にあります。方べきから$PC\cdot PD'=PA\cdot PB=PC\cdot PD$なので、$PD'=PD$です。側も同じなので$D'=D$となります。
外部で直線$PC$が接線になる可能性は、積の等式から$PD=PC$となり、同じ半直線上の異なる点$C,D$という仮定に反するため除かれます。
接線の逆では、$P$から円への実際の接線の接点を$U$とすると、$PU^2=PA\cdot PB=PT^2$です。$OU=OT=R$かつ$PU=PT$なので、$\triangle POU$と$\triangle POT$は三辺が等しく合同です。よって$OT\perp PT$となります。
④ 接線長・半周長・面積
証明：半周長が現れる理由
円の外の一点から引いた二本の接線について、半径を引くと、斜辺と一辺が等しい二つの直角三角形になります。よって接線の長さは等しくなります。
三角形の内接円について、頂点$A,B,C$からの接線長を$x,y,z$と置けば、
$$x+y=c,\quad y+z=a,\quad z+x=b.$$三式を加えて$x+y+z=s$です。したがって$x=s-a,y=s-b,z=s-c$となります。半周長は、三種類の接線長を一回ずつ数えた量でした。
内心と三頂点を結ぶと、各小三角形の高さが$r$なので、$[ABC]=(a+b+c)r/2=sr$です。
$A$に対する傍心を用いると、$\triangle I_AAB$と$\triangle I_AAC$の面積の和から$\triangle I_ABC$の面積を引いて、
$$[ABC]=\frac12(c+b-a)r_A=(s-a)r_A$$を得ます。
⑤ トレミーは、対角線を分けて二つの相似を作る
証明：一つの積を、二つの和へ
円に内接する凸四角形$ABCD$で、対角線$AC$上に$\angle ABK=\angle DBC$となる点$K$を取ります。対角線$BD$が$\angle ABC$の内部にあるため、$K$は$AC$の内部に取れます。
円周角より$\angle BAK=\angle BDC$なので、$\triangle ABK\sim\triangle DBC$です。よって
$$AB\cdot CD=AK\cdot BD.$$また、$\angle KBC=\angle ABD$、$\angle BCK=\angle BDA$より$\triangle KBC\sim\triangle ABD$です。よって
$$BC\cdot AD=KC\cdot BD.$$二式を加えると、
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AK+KC)BD=AC\cdot BD.$$一つの長さ$AC$を$AK+KC$に分けたことで、二つの相似から来た積を足せました。補助点の役割がはっきりした証明です。
4．空間の性質と正多面体の証明
① 三垂線と、球の中心
証明：三垂線の定理
第1部の配置で、$PO\perp\alpha$だから$PO\perp l$です。また$OX\perp l$です。$X$を通り$PO$に平行な直線を平面$POX$内に引けば、その直線と$OX$の両方に$l$が垂直です。よって$l\perp$平面$POX$となり、$PX\perp l$です。
逆に$PX\perp l$なら、$PO\perp l$と合わせて、同じ平面$POX$への垂直が分かり、$OX\perp l$となります。ここでは、空間の基本性質である「交わる二直線への垂直」を使いました。
補足：四面体に外接球と内接球が存在する理由
底面$ABC$の外心を$O$とすると、$A,B,C$から等距離の点は、$O$を通り底面に垂直な直線$l$上にあります。さらに$A,P$から等距離の点の集合は、線分$AP$の垂直二等分平面です。
$P$は底面上にないので、この平面は$l$と一点で交わります。その交点が四頂点から等距離の、唯一の外接球の中心です。
内接球の存在と一意性の証明はここでは省略します。四面体の内部に、四面までの距離が等しい点が一つあり、その共通の距離を半径にした球が内接球です。問題での半径の計算は、この存在の性質を使った上で、$V=rS/3$に帰着させます。
② 等面四面体を直方体へ入れる
証明：埋め込みと、面が鋭角になる理由（座標による補足）
等面四面体$ABCD$では、合同な面の周長を二つずつ加えて比較すると、$AB=CD,AC=BD,AD=BC$が分かります。逆は三辺による合同です。
$M,N$を$AB,CD$の中点とします。中線定理から、$\triangle ABC$と$\triangle ABD$で$CM=DM$です。したがって$MN\perp CD$です。同様に$NA=NB$より$MN\perp AB$です。
$M,N$が一致すると四点が一平面に入るため、非退化な四面体では$M\ne N$です。そこで、$MN$を縦方向にし、その中点を原点とする座標で
$$A=(u,v,z),\ B=(-u,-v,z),\ C=(p,q,-z),\ D=(-p,-q,-z)$$と表せます。この表示では$AC=BD,AD=BC$が自動的に成り立ち、残る$AB=CD$から$u^2+v^2=p^2+q^2$が分かります。
上面内の二つの等しい長さの方向$(u,v)$と$(p,q)$は、その角の二等分線に対して対称です。その二等分線を横の座標軸に取り直せば、四頂点を
$$A=(x,y,z),\ B=(-x,-y,z),\ C=(x,-y,-z),\ D=(-x,y,-z)$$と表せます。$x,y,z$のいずれかが$0$なら四点は同一平面に入るので、向きを選べばすべて正です。これは直方体の一つおきの頂点です。
各面の三辺の平方は$4(x^2+y^2),4(y^2+z^2),4(z^2+x^2)$です。どの一辺の平方も、残る二辺の平方の和より小さいため、余弦定理、または三平方の定理と辺角の大小から、各面は鋭角三角形です。
体積は、直方体から残る四隅の三角錐を除いて求められます。直方体の三辺を改めて$X,Y,Z$とすると、各三角錐の体積は$XYZ/6$なので、残りは$XYZ-4XYZ/6=XYZ/3$です。
③ 五種類への絞り込みと、オイラーの定理
証明：正多面体の候補は五つ
一面を正$n$角形、一頂点に集まる面の数を$m$とします。$n,m\geqq3$であり、凸な頂点を作るには
$$m\frac{(n-2)180^\circ}{n}\lt 360^\circ,$$すなわち$(m-2)(n-2)\lt 4$が必要です。正の整数$m-2,n-2$について調べると、
$$(n,m)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$$だけです。これらは、それぞれ正四面体・正八面体・正二十面体・立方体・正十二面体として実際に構成できます。
例えば$(n,m)=(3,4)$なら、$3f=2e,4v=2e$を$v-e+f=2$へ代入して$e/2-e+2e/3=2$、よって$e=12,v=6,f=8$です。ほかも同様に表を復元できます。
参考：オイラーの多面体定理の証明の考え方
凸多面体の一つの面のすぐ外側に視点を置き、残る辺と頂点を、その面を含む平面へ投影します。視点を適切に選ぶと、辺が交差せず、つながりを保った平面図ができます。外側の領域も一つの面として数えます。
閉じた輪が残っている間、その輪の辺を一本取り除きます。つながりを切らずに、辺の数と領域の数がそれぞれ一つ減るので、$v-e+f$は変わりません。
最後は、輪がなく、全体がつながった樹形図になります。このとき$e=v-1$で、領域は外側の一つだけです。したがって$v-e+f=v-(v-1)+1=2$です。辺を取り除く前も同じ値だったので、多面体についても$2$になります。
凸という仮定は、このように重なりなくつながりを写すところで使われています。
第3部 知識同士をつなぐ
ここまでの定理を、一度名前から離れて整理してみましょう。
図形で受け取る情報には、角、長さ、比、面積、平行、垂直、一点で交わること、一直線上にあること、同一円周上にあることなどがあります。定理は、それらの情報を別の形へ移す役割を持ちます。
| 出発点 | 間にある関係 | 次に得られるもの |
|---|---|---|
| 角の二等分線 | 二辺までの距離が等しい／面積比 | 辺の比、内心・傍心 |
| 中点・中線 | 中点連結、同じ高さの面積比 | 平行、相似、重心の$2:1$ |
| 中点と長さの平方 | 中線定理 | 中線長、五心の計量 |
| 線分比 | 高さ・底辺の比 | 面積比 |
| 三つの線分比 | 面積比を一周する | チェバ、一点で交わる |
| 一直線上の三点 | 一本の直線への距離を一周する | メネラウス、比の積 |
| 円 | 同じ弧を見る円周角 | 等しい角、相似 |
| 等しい角・補角 | 円周角の逆 | 新しい円 |
| 接線 | 半径との垂直、接弦定理 | 直角、相似 |
| 相似 | 対応する辺の比例 | 方べきの積 |
| 接線長の等しさ | 三辺を三種類の長さに分ける | 半周長、内接円の半径 |
| 空間の等距離 | 底面への垂線と三平方 | 底面の外心 |
| 内接球 | 同じ高さの角錐へ分割 | $V=rS/3$ |
たとえば、
$$\text{接線}\ \longrightarrow\ \text{接弦定理}\
\longrightarrow\ \text{相似}\ \longrightarrow\ \text{方べき}$$
という関係があります。ただし、問題を解く順番が必ずこの順とは限りません。すでに方べきが分かっていれば、途中の相似を毎回書かずに計算できます。
証明でのつながりと、問題で使う順番は分けて考えましょう。
逆は「構造を作る道具」になる
順方向では、分かっている図形から角や比を取り出します。逆方向では、角や比から、図形そのものを発見します。
| 示したいこと | 使える逆・判定 | 確認すること |
|---|---|---|
| 角の二等分線 | 二等分線定理の逆 | 内分か外分か、対応する辺の比 |
| 三直線の共点 | チェバの逆 | 分点の位置。外部型では平行の例外 |
| 三点の共線 | メネラウスの逆 | 三辺を含む直線上、外分点が奇数個 |
| 四点の共円 | 円周角・内接四角形の逆 | 角が見る線分、頂点の側、凸の順序 |
| 四点の共円 | 方べきの逆 | 二本の直線、積の対応、内外の一致 |
| 直線が接線 | 接弦定理の逆 | 接点候補が円上、角と側の対応 |
| 直線が接線 | 接線と割線の方べきの逆 | 外部点、円上の接点候補、積の等式 |
| 直線と平面の垂直 | 二直線への垂直 | 同一平面内で交わる二直線 |
逆を使って円を一つ作れれば、その円から新しい円周角や方べきが使えます。逆定理は、結論を証明して終わるだけでなく、次の情報を取り出すための土台にもなるわけです。
第4部 図を見たときに何を疑うか
疑うことと、成立していると扱うことは違います。候補を挙げた後で、適用条件を一つずつ確認します。
「四点があるから円に乗るはず」と考えてよいわけではありません。四点があれば、共円を候補にはできます。その上で、同じ線分を見る等しい角や、二つの直角などの根拠を探します。
以下の表は、公式を自動的に決める表ではありません。最初に何を点検するかの候補です。
1．三角形と比を見る
| 見えているもの | 疑う候補 | 使う前の確認 |
|---|---|---|
| 角の二等分線 | 辺の比、内心・傍心 | どの三角形の、どの内角・外角か |
| 中点が二つ | 中点連結、相似 | 同じ三角形の二辺上か |
| 中点と平方の長さ | 中線定理 | 本当に対辺の中点か |
| 頂点から集まる三本 | チェバ | 三角形と三分点を指定できるか |
| 三辺を横切る一本 | メネラウス | 延長上の点を含め、一直線上か |
| 比が複数ある | 面積比、相似 | 共通の高さ・角・平行があるか |
| 等しい二辺 | 二等辺の底角 | 等しい辺の向かいの角を選んだか |
$AD,BE,CF$が内部の点$P$で交わっているとする。$BD:DC$などを扱うなら$\triangle ABC$でチェバが候補になる。
一方、$AP:PD$が欲しいなら、$\triangle ABD$と直線$FPC$にメネラウスを使う候補がある。$C$は辺$BD$の延長上である。
元の三角形だけを見続ける必要はありません。「欲しい比が、どの三角形の辺に現れるか」から対象を選び直します。
2．円が描かれている場合、描かれていない場合
| 見えているもの・示したいこと | 疑う候補 | 確認すること |
|---|---|---|
| 四点と二つの直角 | 直径を共有する円 | 直角が同じ二点を見ているか |
| 同じ線分を見る等しい角 | 円周角の逆 | 二頂点が同じ側にあるか |
| 対角の和が$180^\circ$ | 内接四角形の逆 | 凸四角形の周の順序 |
| 接線と弦 | 接弦定理、相似 | 接点、弦、反対側の円周角 |
| 円の外部から二本の割線 | 方べき | 各積を同じ一本の直線上で作る |
| 円内で交わる二本の弦 | 方べき | 交点から両端までの四つの長さ |
| 内接四角形と辺・対角線 | トレミー | 同一円周上と凸の順序 |
| 接線であることを示したい | 半径との垂直、接弦の逆、方べきの逆 | 現在の情報が角か長さか |
| 内接円と三辺 | 接線長、半周長、$S=rs$ | 同じ頂点からの接線を組にする |
鋭角三角形$ABC$で、$A$から$BC$への垂足を$D$、$B$から$CA$への垂足を$E$とする。
$\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$なので、$A,B,D,E$は直径$AB$の円上にある。
ここで得られたのは「円に乗る」という結論だけではありません。$C,D,B$と$C,E,A$が一直線上なので、今度は$C$を基準に方べきを疑えます。
$$CD\cdot CB=CE\cdot CA.$$
新しい円を見つけた後で、円の外にある一点へ見方を変えています。この切り替えを、問題編の会話形式の問題で練習します。
3．空間では、どの平面を見るか
| 見えているもの | 最初に選ぶ平面・候補 |
|---|---|
| 頂点から底面三頂点への等距離 | 底面への垂線。足は外心ではないか |
| 辺までの距離 | 点・平面への垂足・辺への垂足を含む平面 |
| 二面角 | 交線に垂直な断面 |
| 正多面体の中心と半径 | 頂点・面の中心・立体の中心を含む断面 |
| 四面体の向かい合う辺が等しい | 直方体への埋め込み |
| 内接球 | 球の中心を頂点とする角錐への分割 |
| 回転体 | 軸に垂直な断面と、軸を含む断面 |
平面へ移した後も、見かけの直角を使わないでください。その断面に高さが含まれる理由や、中心がそこにある理由が必要です。
第5部 解法の考え方と共通テスト
1．基本の循環
| 図と条件を読む |
| ↓ |
| 構造を疑う |
| ↓ |
| 条件を確認する |
| ↓ |
| 定理を使う |
| ↓ |
| 新情報を図へ戻す |
| ↺ 得た情報から、もう一度「構造を疑う」へ 目標に到達したら終了 |
図の条件を読む → 候補を挙げる → 条件を確認する → 定理を使う → 新情報を図へ戻す。この循環を、一回で終わらせないことが大切です。
得られたものが比なら、次はチェバや面積比かもしれません。直角なら、円や三平方かもしれません。共円なら、円周角や方べきかもしれません。
定理の名前を連続して言えることより、一つの結果が、次の定理のどの条件を満たしたかを説明できることを目指します。
2．目標から戻り、条件から進む
「何が分かっているか」だけでなく、「何を示したいか」も見ます。
例えば三点が一直線上にあることを示したいなら、メネラウスの逆、二つの角の和が$180^\circ$、同じ直線上の点との一致などが候補です。比の情報が豊富なら、メネラウスから逆算する価値があります。
ただし、目標に合う定理を決め打ちしません。メネラウスを使うために三角形を選んだものの、必要な三つの比が全く取れないなら、角や平行からの方法も見直します。
条件から進める一手と、目標に必要な条件とが、どこでつながるかを探します。
3．補助線は、何を使えるようにするためか
| 引くもの | 作りたいもの |
|---|---|
| 円の中心から接点への半径 | 接線との直角、直角三角形 |
| 円周上の点を通る直径 | 円周角の直角、二等辺三角形 |
| 対辺への平行線 | 相似、比の移動 |
| 頂点や点から直線への垂線 | 共通の高さ、距離、直角三角形の相似 |
| 中点同士を結ぶ線 | 平行、半分の長さ |
| 頂点と内心・球の中心を結ぶ線 | 高さの等しい面積・体積への分割 |
| 対称な点 | 折れ線を直線にする |
「補助線を引けば解ける」とだけ言われても、次には生かしにくいものです。どの条件が足りず、それをどの線で作るのかまで考えます。
垂線一本にも、長さを測る、二つの相似を作る、面積を比較する、という複数の役割があります。目的が違えば、同じ種類の補助線でも引く場所は変わります。
4．共通テストでは、誘導を「増えた情報」として読む
共通テストを意識するときも、土台はここまでの知識です。会話の言い回しを覚えるのではなく、途中の考察によって何が使えるようになったかを読みます。
例えば、会話に「この四点は一つの円に乗りそうだね」とあったら、次の三段階を区別します。
① どの四点かを特定する。
② 二つの直角や等しい角など、共円の根拠を確認する。
③ 共円が示せた後、どの角や長さの積を取り出すかを考える。
実験や作図ソフトでいつも成り立ちそうに見えても、それは①の候補発見です。②の証明を済ませたことにはなりません。
また、空欄の直前だけを読んで式を埋めるのではなく、その値が次の比や相似の条件として使われていないかを見ます。
誘導を読むときの問いは、「何を計算させたいのか」に加えて、「何が新しく分かったから、次へ進めるのか」です。
選択肢では、適用条件を一つ落としたものに注意します。「二直線に垂直」の二直線が平行だったり、共円を示す角の頂点が反対側だったりすれば、そのままでは結論できません。
5．別の言語へ翻訳する【参考】
幾何の関係が見えにくい場合、座標、三角比、ベクトル、複素数平面へ移す方法もあります。
| 方法 | 式にしやすい情報 |
|---|---|
| 座標 | 直角、距離、中点、円の方程式 |
| 三角比・正弦定理・余弦定理 | 辺と角、長さの平方、面積 |
| ベクトル | 内分、平行、重心、垂直 |
| 複素数平面 | 回転、相似、円と角 |
例えば中点を原点にすれば、座標が正負対称になり、平方の和で交差項が消えます。これは中線定理の証明で実際に使いました。
一方、すでに同じ円を見る等しい角が揃っているなら、相似を使う方が短いこともあります。「幾何か計算か」を固定するより、どの情報が簡単な形になるかを比べましょう。
本連作の問題編の中心解法は、ここまでの幾何の道具で読めるようにしています。数A外の方法を使う場合は、別解として区別します。
REVIEW・おわりに
この記事では、線分比と面積比から三角形の五心、チェバ・メネラウスへ進み、円周角から接線・方べきへつなぎ、空間では適切な平面へ戻って考える方法まで整理しました。
読み終えたら、次のことを言葉で説明できるか確かめてみてください。
- 二等分線が、辺の比や内心とつながる理由。
- チェバとメネラウスで、同じ積の式が出るのに配置を区別する理由。
- 同一円周上だと分かった後、何を新しく使えるか。
- 逆定理を使うときに、点の位置まで確認する理由。
- 空間で、一本への垂直だけでは平面への垂直といえない理由。
- 解答中の補助線が、どの条件を作るためのものだったか。
すべての公式を一度に暗記するより、証明の中の「同じ高さ」「同じ弧」「直角」「相似」といった共通の土台へ戻れることが大切です。
そして、知識を持っていることと、図の中でその知識を使える配置に気付くことは別の段階です。気付いた後には、条件の確認が必要です。
次の記事「数学A・図形の性質をつなぐ② 問題から学ぶ発見と接続」では、ここまでの知識と「何を疑うか」を実際の問題で試します。かなり易しい確認から始め、逆定理、隠れた円、空間の断面、複数の判断をつなぐ問題へ進みます。
難しい問題でも、使っている道具がここにあったことを、一つずつ確かめていきましょう。
ここまでお読みくださり、ありがとうございました。
皆さんの日常に良き数学の彩のあらんことを。
それでは、ごきげんよう。
