Beukers-Jouhetによる超幾何級数の双対関係式
$\theta:=z\frac d{dz}$とする. $b_r:=1$として, 任意の相異なる$1\leq i,j\leq r$に対し, $b_i-b_j$は整数でないとする. そのとき, 超幾何微分方程式
\begin{align}
(\theta+b_1-1)\cdots(\theta+b_r-1)f=z(\theta+a_1)\cdots(\theta+a_r)f
\end{align}
の$r$個の線形独立な解は
\begin{align}
f_i(z):=z^{1-b_i}\F r{r-1}{1+a_1-b_i,\dots,1+a_r-b_i}{1+b_1-b_i,\dots,1+b_{i-1}-b_i,1+b_{i+1}-b_i,\dots,1+b_r-b_i}z\qquad 1\leq i\leq r
\end{align}
で与えられる. 超幾何微分方程式の双対となる微分方程式の解が
\begin{align}
g_i(z):=z^{b_i-1}\F r{r-1}{b_i-a_1,\dots,b_i-a_r}{1+b_i-b_1,\dots,1+b_i-b_{i-1},1+b_i-b_{i+1},\dots,1+b_i-b_r}{z}\qquad 1\leq i\leq r
\end{align}
によって与えられる. このとき, Beukers-Jouhetによる双対関係式は以下のようなものである.
$r\geq 2$として,
\begin{align}
c_i:=\prod_{\substack{1\leq j\leq r\\j\neq i}}\frac 1{b_j-b_i}\qquad 1\leq i\leq r
\end{align}
とする. このとき, $0\leq k,l\leq r-1$に対し,
\begin{align}
\sum_{i=1}^rc_i\theta^k(f_i)(z)\theta^l(g_i)(z)=:M_{kl}\in \QQ(a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r,z)
\end{align}
である. 特に, $k+l\leq r-2$のとき, $M_{kl}=0$であり, $k+l=r-1$のとき, $\displaystyle M_{kl}=\frac{(-1)^l}{1-z}$である.
今回はこの定理1の証明について解説したいと思う.
Beukers-Jouhetの論文においては$k+l=r-1$の場合は$\displaystyle M_{kl}=\frac{(-1)^k}{1-z}$と書かれているが, 上の表示が正しいと思われる.
$D$加群
体$K$とその上の写像$D:K\to K$の組$(K,D)$が微分体であるとは, 任意の$x,y\in K$に対し,
\begin{align}
D(x+y)&=D(x)+D(y)\\
D(xy)&=D(x)y+xD(y)
\end{align}
を満たすものをいう.
微分体$K$上の$D$加群とは, $K$ベクトル空間$M$と写像$\nabla:M\to M$の組で, 任意の$a\in K, m_1,m_2,m\in M$に対し,
\begin{align}
\nabla(m_1+m_2)&=\nabla(m_1)+\nabla(m_2)\\
\nabla(am)&=D(a)m+a\nabla(m)
\end{align}
を満たすものをいう.
以下, この$\nabla$も$D$と表すことにする. 主要な$D$加群の例は, 線形微分作用素$L\in K[D]$に対して$L$によって生成される左イデアルを$(L)$としたときの商環$K[D]/(L)$である.
$M,M'$を$K$上の$D$加群とする. $K$線形写像$\phi:M\to M'$は$D\circ\phi=\phi\circ D$を満たすとき, $D$準同型であるという. $\phi$が$K$ベクトル空間としての同型写像であるとき, $D$同型写像であるという.
$K$上の$D$加群$M,M'$に対し, $m\otimes m'\in M\otimes M'$に対し,
\begin{align}
D(m\otimes m'):=D(m)\otimes m'+m\otimes D(m')
\end{align}
と定めることによって, $M\otimes M'$には$K$上の$D$加群の構造が入る. また, 双対空間$M^*$について, 任意の$m\in M,m^*\in M^*$に対し,
\begin{align}
\langle D(m^*),m\rangle=D(\langle m^*,m\rangle)-\langle m^*,D(m)\rangle
\end{align}
となるように定めることによって, $M^*$にも$K$上の$D$加群の構造が入る. ここで, $\langle m^*,m\rangle$は$m^*$の$m$での値$m^*(m)$を意味する.
$M$を$K$上の有限次元$D$加群, $m_1,\dots,m_r$を$M$の$K$上の基底とする. $m_1^*,\dots,m_r^*$を$m_1,\dots,m_r$に対応する$M^*$の基底とすると, $1\leq i\leq r$に対し,
\begin{align}
D(m_i)=\sum_{i=1}^rA_{ij}m_j\qquad A_{ij}\in K
\end{align}
と表されるとき,
\begin{align}
D(m_i^*)=-\sum_{j=1}^rA_{ji}m_j^*
\end{align}
が成り立つ. また,
\begin{align}
\omega=\sum_{i=1}^rm_i^*\otimes m_i
\end{align}
とするとき, $D(\omega)=0$であり, $\omega$は基底$m_1,\dots,m_r$の選び方によらない.
$\delta_{ij}$をKroneckerのデルタとすると, $\langle m_i^*,m_j\rangle=\delta_{ij}$であるから,
\begin{align}
\langle m_k^*,D(m_i)\rangle&=\sum_{j=1}^rA_{ij}\langle m_k^*,m_j\rangle\\
&=A_{ik}
\end{align}
である. 一方, 定義から
\begin{align}
\langle m_k^*,D(m_i)\rangle&=D(\langle m_k^*,m_i\rangle)-\langle D(m_k^*),m_i\rangle\\
&=-\langle D(m_k^*),m_i\rangle
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\langle D(m_k^*),m_i\rangle=-A_{ik}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
D(m_k^*)=-\sum_{i=1}^rA_{ik}m_i^*
\end{align}
を得る. 後半の主張については, まず前半の主張から,
\begin{align}
D(\omega)&=\sum_{i=1}^r(D(m_i^*)\otimes m_i+m_i^*\otimes D(m_i))\\
&=\sum_{i=1}^r\left(-\sum_{j=1}^rA_{ji}m_j^*\otimes m_i+m_i^*\otimes \sum_{j=1}^rA_{ij}m_j\right)\\
&=0
\end{align}
が示される. また, 別の基底$\tilde{m}_1,\dots,\tilde{m}_r$と対応する双対基底$\tilde{m}_1^*,\dots,\tilde{m}_r^*$について,
\begin{align}
\tilde{m}_i&=\sum_{j=1}^rB_{ij}m_j\\
\tilde{m}_i^*&=\sum_{j=1}^rC_{ij}m_j^*
\end{align}
と表したとき,
\begin{align}
\delta_{ik}&=\langle \tilde{m}_i^*,\tilde{m}_k\rangle\\
&=\sum_{j=1}^rB_{ij}C_{kj}
\end{align}
となることから, $(B_{ij})_{1\leq i,j\leq r}$と$(C_{ji})_{1\leq i,j\leq r}$は逆行列の関係にある. よって,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^r\tilde{m}_i^*\otimes \tilde{m}_i\\
&=\sum_{1\leq j,k\leq r}\sum_{i=1}^rC_{ij}B_{ik} m_j^*\otimes m_k\\
&=\sum_{1\leq j,k\leq r}\delta_{jk}m_j^*\otimes m_k\\
&=\sum_{j=1}^r\tilde{m}_j^*\otimes m_j\\
&=\omega
\end{align}
となる. これは$\omega$が基底の取り方によらないことを意味している.
$M,N$を$r$次元$D$加群とする. このとき, $\Omega\in N\otimes M$が非退化であるとは, $n_i\in N,m_i\in M$を上手く選ぶことによって$\sum_{i=1}^sn_i\otimes m_i, s< r$の形に表すことができないこととする.
$M,N$を$r$次元$D$加群とする. $m_1,\dots,m_r$を$M$の基底, $m_1^*,\dots,m_r^*$をそれに対応する双対基底とする. このとき, $D$準同型$\phi:M^*\to N$と$D(\Omega)=0$を満たす$N\otimes M$の元$\Omega$の間には1対1の対応がある. それは$\phi$に対し, $\Omega=\sum_{i=1}^r\phi(m_i^*)\otimes m_i$を与えるものであり, 逆は
\begin{align}
\Omega=\sum_{i=1}^rn_i\otimes m_i
\end{align}
に対し, $\phi(m_i^*):=n_i$で定めることによって与えられる. この対応において, $\phi$が同型であることは, $\Omega$が非退化であることと同値である.
$K$線形写像$\phi:M^*\to N$が与えられているとする. このとき, $n_i=\phi(m_i^*),1\leq i\leq r$とすると, $\phi$が$D$準同型であるための必要十分条件は
\begin{align}
D(n_i)=D(\phi(m_i^*))=\phi(D(m_i^*))\qquad 1\leq i\leq r
\end{align}
となることである. 命題2を用いると, これは
\begin{align}
D(n_i)=-\phi\left(\sum_{j=1}^rA_{ji}m_j^*\right)=-\sum_{j=1}^rA_{ji}n_j\qquad 1\leq i\leq r
\end{align}
となることと同値である(ここで, $A_{ij}$は命題2のものと同じものである). $\Omega=\sum_{i=1}^rn_i\otimes m_i$とする. このとき,
\begin{align}
D(\Omega)&=\sum_{i=1}^rD(n_i)\otimes m_i+\sum_{j=1}^rn_j\otimes D(m_j)\\
&=\sum_{i=1}^rD(n_i)\otimes m_i+\sum_{j=1}^rn_j\otimes \sum_{i=1}^rA_{ji}m_i\\
&=\sum_{i=1}^r\left(D(n_i)+\sum_{j=1}^rA_{ji}n_j\right)\otimes m_i
\end{align}
となる. よって, $D(\Omega)=0$となることは$1\leq i\leq r$に対し,
\begin{align}
D(n_i)=-\sum_{j=1}^rA_{ji}n_j
\end{align}
が成り立つことと同値であるから, $\phi$が$D$準同型であることの必要十分条件を与えている. よって, 与えられた対応が1対1になっていることが分かった. $\Omega=\sum_{i=1}^rn_i\otimes m_i$が非退化であることは, $n_1,\dots,n_r$が線形独立であることと同値であり, それは$\phi$が同型であることと同値であるから, 後半の主張も従う.
線形微分作用素$L\in K[D]$をとる.
\begin{align}
L=\sum_{k=0}^rA_kD^k\qquad A_0,\dots ,A_r\in K, A_r\neq 0
\end{align}
と表したとき,
\begin{align}
L^*:=\sum_{k=0}^r(-D)^r\circ A_r
\end{align}
によってその双対となる微分作用素を定義する.
\begin{align}
\Omega&:=\sum_{k=1}^n[A_k,1]_{k-1}\in K[D]/(L^*)\otimes K[D]/(L)\\
\end{align}
によって$\Omega$を定義する. ここで,
\begin{align}
[u,v]_m&:=\sum_{k=0}^m((-D)^k\circ u)\otimes (D^{m-k}\circ v)
\end{align}
である. このとき,
\begin{align}
D([u,v]_m)&=\sum_{k=0}^m(-((-D)^{k+1}\circ u)\otimes (D^{m-k}\circ v)+((-D)^{k}\circ u)\otimes (D^{m-k+1}\circ v))\\
&=(-1)^m(D^{m+1}\circ u)\otimes v+u\otimes (D^{m+1}\circ v)
\end{align}
となる. これより, $K[D]/(L^*)\otimes K[D]/(L)$において,
\begin{align}
D(\Omega)&=\sum_{k=1}^r((-1)^{k-1}(D^k\circ A_k)\otimes 1+A_k\otimes D^k)\\
&=-L^*\otimes 1+1\otimes L\\
&=0
\end{align}
となる. よって, 命題3から$D$準同型
\begin{align}
\phi:(K[D]/L)^*\to K[D]/(L^*)
\end{align}
が得られることが分かる.
\begin{align}
\tilde{A}_{ij}=\sum_{l=0}^{r-1-i-j}(-1)^{i+l}\binom{i+l}lD^l(A_{i+j+l+1})\qquad 1\leq i,j\leq r-1
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\Omega&=\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1}}\tilde{A}_{ij}D^{i}\otimes D^j
\end{align}
と表される. 特に$\Omega$は非退化である. つまり, $\phi:(K[D]/L)^*\to K[D]/(L^*)$は同型を与える.
まず, $A\in K$に対し, $D\circ A=D(A)+AD$であることが定義から分かる. これを繰り返し用いると, 帰納法により
\begin{align}
D^n\circ A=\sum_{i=0}^n\binom ni
D^i(A)D^{n-i}
\end{align}
であることが分かる(これは一般Leibniz則として知られているものである). これより,
\begin{align}
\Omega&:=\sum_{k=0}^{r-1}[A_{k+1},1]_{k}\\
&=\sum_{k=0}^{r-1}\sum_{\substack{0\leq i,j\\i+j=k}}((-D)^i\circ A_{k+1})\otimes D^j\\
&=\sum_{\substack{0\leq i,j\\i+j\leq r-1}}((-D)^i\circ A_{i+j+1})\otimes D^j\\
&=\sum_{\substack{0\leq i,j\\i+j\leq r-1}}(-1)^i\sum_{l=0}^i\binom il(D^l(A_{i+j+1})D^{i-l})\otimes D^j\\
&=\sum_{\substack{0\leq i,j,l\\i+j+l\leq r-1}}(-1)^{i+l}\binom{i+l}lD^l(A_{i+j+l+1})D^{i}\otimes D^j\qquad i\mapsto i+l\\
&=\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1}}\tilde{A}_{ij}D^{i}\otimes D^j
\end{align}
となる. これより, $\tilde{A}_{ij}$は$i+j\geq r$のとき$0$であり, $i+j=r-1$のとき$(-1)^iA_r$である. よって, $\Psi:=(\tilde{A}_{ij})_{0\leq i,j\leq r-1}$の行列式は$0$でないから, $\Omega$は非退化である.
$\mathcal{K}$を$K$の微分拡大体($K$を含む微分体)として, $f,g\in\mathcal{K}$が
\begin{align}
L(f)=0, L^*(g)=0
\end{align}
を満たしているとすると, 組$(g,f)$に対して, $K[D]/(L^*)\otimes K[D]/(L)$の元$D^i\otimes D^j$の作用が
\begin{align}
(D^i\otimes D^j)(g,f)=D^i(g)D^j(f)
\end{align}
によって定まる. これより,
\begin{align}
\Omega(g,f)=\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1}}\tilde{A}_{ij}D^{i}(g)D^j(f)
\end{align}
が定まるが, $D(\Omega)=0$であったことから,
\begin{align}
D(\Omega(g,f))=0
\end{align}
が成り立つことが分かる. $f_1,\dots,f_r$を$L(f)=0$の解の基底, $g_1,\dots,g_r$を$L^*(g)$の解の基底とする. このとき, 3つの行列を
\begin{align}
F&=W(f_1,\dots,f_r):=\left(\begin{matrix}f_1&\cdots&f_r\\D(f_1)&\cdots&D(f_r)\\\vdots&\ddots&\vdots\\D^{r-1}(f_1)&\cdots &D^{r-1}(f_r)\end{matrix}\right)\\
G&=W(g_1,\dots,g_r)\\
C&=(\Omega(g_i,f_j))_{1\leq i,j\leq r}
\end{align}
とすると, 定理4から
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1}}\tilde{A}_{ij}D^{i}(g_k)D^j(f_l)=\Omega(g_k,f_l)\qquad 1\leq k,l\leq r
\end{align}
となる. これは行列$X$の転置行列を$X^T$と表すことにすると,
\begin{align}
G^T\Psi F=C
\end{align}
と表される. ここで, $\Psi=(\tilde{A}_{ij})_{1\leq i,j\leq r}$は定理4より可逆である. $F,G$が可逆であるとすると$C$も可逆であり, $I$を単位行列として
\begin{align}
G^T\Psi FC^{-1}=I
\end{align}
であるから, $FC^{-1}G^T\Psi=I$, つまり$FC^{-1}G^T=\Psi^{-1}$である.
超幾何微分方程式への適用
$D=\theta$として, 上で示した結果を超幾何微分方程式に適用することを考える.
\begin{align}
z(\theta+a_1)\cdots (\theta+a_r)f=(\theta+b_1-1)\cdots (\theta+b_r-1)f
\end{align}
の双対となる方程式は
\begin{align}
(-\theta+a_1)\cdots(-\theta+a_r)(zg)=(-\theta+b_1-1)\cdots(-\theta+b_r-1)g
\end{align}
つまり,
\begin{align}
z(\theta+1-a_1)\cdots(\theta+1-a_r)g=(\theta+1-b_1)\cdots (\theta+1-b_r)g
\end{align}
と書き換えられる. $L$としては定数倍違うものも同じ微分方程式を定めるが, ここでは
\begin{align}
L=(\theta+b_1-1)\cdots(\theta+b_r-1)-z(\theta+a_1)\cdots (\theta+a_r)
\end{align}
とする. 冒頭に述べた$f_i,g_i$に対して上の$\Omega, F,G,\Psi,C$を考える. このとき, 以下が成り立つ.
$C$は対角行列であり,
\begin{align}
C_{ii}=\prod_{\substack{1\leq j\leq r\\j\neq i}}(b_j-b_i)
\end{align}
が成り立つ.
$1\leq i,j\leq r$に対し,
\begin{align}
\theta(\Omega(g_i,f_j))=0
\end{align}
であるから, $\Omega(g_i,f_j)$は$z$に関して定数である. 一方,
\begin{align}
\Omega(g_k,f_l)=\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1}}\tilde{A}_{ij}\theta^{i}(g_k)\theta^j(f_l)\qquad 1\leq k,l\leq r
\end{align}
の表示から, $\Omega(g_i,f_j)$は$z^{b_j-b_i}$に$z$のべき級数が掛かったものになっている. $b_1,\dots,b_r$は全て差が整数でないことを仮定していたから, $i,j$が相異なるとき, $\Omega(g_i,f_j)$が定数であることによって$\Omega(g_i,f_j)=0$であることが分かる. $i=j$のとき, $g_i$の$z^{b_i-1}$の項と$f_i$の$z^{1-b_i}$の項の寄与と$\tilde{A_{ij}}$の$z$に関する$0$次の項の寄与だけを考えれば十分である. $\tilde{A_{ij}}$の$z$に関する$0$次の項の寄与は$L$の$z$に関して$0$次の部分を
\begin{align}
(\theta+b_1-1)\cdots(\theta+b_r-1)=\sum_{i=0}^rB_i\theta^i
\end{align}
と展開したとき, $i+j\leq r-1$ に対し,
\begin{align}
&\sum_{l=0}^{r-1-i-j}(-1)^{i+l}\binom{i+l}l\theta^l(B_{i+j+l+1})\\
&=(-1)^{i}B_{i+j+1}
\end{align}
によって与えられる. よって,
\begin{align}
\Omega(g_k,f_k)&=\sum_{\substack{0\leq i,j\leq r-1\\i+j\leq r-1}}(-1)^iB_{i+j+1}(b_k-1)^i(1-b_k)^j\\
&=\sum_{m=0}^{r-1}(m+1)B_{m+1}(1-b_k)^m\\
&=\left.\frac{d}{dx}(x+b_1-1)\cdots (x+b_r-1)\right|_{x=1-b_k}\\
&=\prod_{\substack{1\leq j\leq r\\j\neq k}}(b_j-b_k)
\end{align}
となって示すべきことが得られる.
これを用いると定理1の証明を与えることができる.
この場合, $F,G$は可逆であるから, 命題5の前に示した式
\begin{align}
FC^{-1}G^T=\Psi^{-1}
\end{align}
が成り立つ. $C$は対角行列であるから, $C^{-1}=(C_{ii}^{-1}\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq r}$である. $\Psi$の成分が$\QQ(a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r,z)$に属していることと, 上の式から
\begin{align}
\sum_{i=1}^r\frac 1{C_{ii}}\theta^k(f_i)\theta^l(g_i)=M_{kl}\in \QQ(a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r,z)
\end{align}
であることが分かる. 定理4から, $\tilde{A}_{ij}$は$i+j\geq r$のとき$0$であり, $i+j=r-1$のとき$(-1)^i(1-z)$である. よって, これらから,
$k+l\leq r-2$のとき, $M_{kl}=0$であり, $k+l=r-1$のとき, $\displaystyle M_{kl}=\frac{(-1)^l}{1-z}$であることが分かる.
