整数問題bot　解いてみた2　[264]

はじめに

　Ammonitenh3です．2問目です．
　今回は進研プロシード模試の問題なんですが，この問題を通して初めてその模試の存在を知りました．読み進めてもらうとわかるのですが，今回の自分が思いついた解き方は全くもっていい解き方とはいえず（計算力に頼ってるだけ），進研模試に負けてしまったのかととても悲しくなりました．

Problem

　$2^m+3m^2=n^2$を満たす正整数の組$(m,n)$を全て求めよ．（2018年プロシード，激易）

Mindset

　とりあえずmod3を取ってみると$m,n$が両方偶数だと分かったぞ．
　$m$が大きくなると$3m^2$はゴミみたいなものだから$(2^{m/2})^2$と$(2^{m/2}+1)^2$ではさめるのでは？？？
　→これ挟めるの$m$が$18$以上の時だけやん
　→$m$が$16$以下の時は計算で示せばいっか！（）

Solution

　両辺mod3を考えると，$m$が偶数であることが分かる．
　ここで，$f(m)=2^m+3m^2$とおき，これが平方数となる$m$を調べる．

1. $m \leq 16$のとき
   　$f(2)=16$ でこれは平方数より$m=2$ は答え．
   　$f(4)=64$ でこれは平方数より$m=4$ は答え．
   　$f(6)=172$ でこれは平方数ではないので$m=6$ は答えではない．
   　$f(8)=448$ でこれは平方数ではないので$m=8$ は答えではない．
   　$f(10)=1324$ でこれは平方数ではないので$m=10$ は答えではない．
   　$f(12)=4528$ でこれは平方数ではないので$m=12$ は答えではない．
   　$f(14)=16972$ でこれは平方数ではないので$m=14$ は答えではない．
   　$f(16)=66304$ でこれは平方数ではないので$m=16$ は答えではない．

2. $m \geq 18$のとき
   　$(2^{m/2})^2< f(m)<(2^{m/2}+1)^2$ が成り立つので，$f(m)$は平方数になりえない．

　
　以上より，求める答えは$(m,n)=(2,4),(4,8)$である．

感想

　とても綺麗とはいいがたい解法でしたね．幸いこの方法はすぐ思いついたので，本番だったらプライドを全て捨ててこの答案を書き切っていると思います．プライドを捨てることが大事だとわかるいい一問でした（もっといい解法が見つかったら追記します）．