Appellの超幾何級数の積分表示

Appellの超幾何級数は
$$\begin{array}{rl}{F}_1(\begin{array}{c}a;b_1,b_2\\ c\end{array};x,y)& :=\sum _{0\le n,m}\frac{(a{)}_{n+m}(b_1{)}_n(b_2{)}_m}{(c{)}_{n+m}n!m!}{x}^n{y}^m\\ F_2(\begin{array}{c}a;b_1,b_2\\ c_1,c_2\end{array};x,y)& :=\sum _{0\le n,m}\frac{(a{)}_{n+m}(b_1{)}_n(b_2{)}_m}{(c_1{)}_n(c_2{)}_{m}n!m!}{x}^n{y}^m\\ F_3(\begin{array}{c}{a}_1,a_2;b_1,b_2\\ c\end{array};x,y)& :=\sum _{0\le n,m}\frac{(a_1,b_1{)}_n(a_2,b_2{)}_m}{(c{)}_{n+m}n!m!}{x}^n{y}^m\\ F_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)& :=\sum _{0\le n,m}\frac{(a,b{)}_{n+m}}{(c_1{)}_n(c_2{)}_{m}n!m!}{x}^n{y}^m\end{array}$$
によって定義される.

$F_1$の積分表示

$F_1$には2つの自然な積分表示がある.
$$\begin{array}{rl}{F}_1(\begin{array}{c}a;b_1,b_2\\ c\end{array};x,y)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}{\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-xs{)}^{-b_1}(1-yt{)}^{-b_2}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(b_1)\mathrm{\Gamma }(b_2)\mathrm{\Gamma }(c-b_1-b_2)}{\int }_{0<s,t,s+t<1}{s}^{b_1-1}{t}^{b_2-1}(1-s-t{)}^{c-b_1-b_2-1}(1-xs-yt{)}^{-a}dsdt\end{array}$$

$F_2$の積分表示

$$\begin{array}{rl}{F}_2(\begin{array}{c}a;b_1,b_2\\ c_1,c_2\end{array};x,y)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c_1)\mathrm{\Gamma }(c_2)}{\mathrm{\Gamma }(b_1)\mathrm{\Gamma }(b_2)\mathrm{\Gamma }(c_1-b_1)\mathrm{\Gamma }(c_2-b_2)}{\int }_0^1{\int }_0^1{s}^{b_1-1}(1-s{)}^{c_1-b_1-1}{t}^{b_2-1}(1-t{)}^{c_2-b_2-1}(1-xs-yt{)}^{-a}dtds\end{array}$$

$F_3$の積分表示

$$\begin{array}{rl}{F}_3(\begin{array}{c}{a}_1,a_2;b_1,b_2\\ c\end{array};x,y)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a_1)\mathrm{\Gamma }(a_2)\mathrm{\Gamma }(c-a_1-a_2)}{\int }_{0<s,t,s+t<1}{s}^{a_1-1}{t}^{a_2-1}(1-xs{)}^{-b_1}(1-yt{)}^{-b_2}(1-s-t{)}^{c-a_1-a_2-1}dsdt\end{array}$$

$F_4$の積分表示

$F_4$については$x,y\mapsto x(1-y),y(1-x)$としたものに積分表示が知られている.

$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c_1)\mathrm{\Gamma }(c_2)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c_1-a)\mathrm{\Gamma }(c_2-b)}{\int }_0^1{\int }_0^1\frac{s^{a-1}(1-s{)}^{c_1-a-1}{t}^{b-1}(1-t{)}^{c_2-b-1}}{(1-xs{)}^{c_1+c_2-a-1}(1-yt{)}^{c_1+c_2-b-1}(1-xs-yt{)}^{a+b-c_1-c_2+1}}dsdt\end{array}$$

$F_1,F_2,F_3$の積分表示は単純に項別積分を行うだけだったが, これはそれほど単純に示せるわけではないので, ここでは紹介するだけに留める.