Appellの超幾何級数の積分表示

Appellの超幾何級数は
\begin{align} F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b_1)_n(b_2)_m}{(c)_{n+m}n!m!}x^ny^m\\ F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b_1)_n(b_2)_m}{(c_1)_{n}(c_2)_mn!m!}x^ny^m\\ F_3\left(\begin{matrix}a_1,a_2;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a_1,b_1)_n(a_2,b_2)_m}{(c)_{n+m}n!m!}x^ny^m\\ F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{(c_1)_n(c_2)_mn!m!}x^ny^m \end{align}
によって定義される.

$F_1$の積分表示

$F_1$には2つの自然な積分表示がある.
\begin{align} F_1\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xs)^{-b_1}(1-yt)^{-b_2}\,dt\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\Gamma(c-b_1-b_2)}\int_{0< s,t,s+t<1}s^{b_1-1}t^{b_2-1}(1-s-t)^{c-b_1-b_2-1}(1-xs-yt)^{-a}\,dsdt \end{align}

$F_2$の積分表示

\begin{align} F_2\left(\begin{matrix}a;b_1,b_2\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&=\frac{\Gamma(c_1)\Gamma(c_2)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\Gamma(c_1-b_1)\Gamma(c_2-b_2)}\int_0^1\int_0^1s^{b_1-1}(1-s)^{c_1-b_1-1}t^{b_2-1}(1-t)^{c_2-b_2-1}(1-xs-yt)^{-a}\,dtds \end{align}

$F_3$の積分表示

\begin{align} F_3\left(\begin{matrix}a_1,a_2;b_1,b_2\\c\end{matrix};x,y\right)&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\Gamma(c-a_1-a_2)}\int_{0< s,t,s+t<1}s^{a_1-1}t^{a_2-1}(1-xs)^{-b_1}(1-yt)^{-b_2}(1-s-t)^{c-a_1-a_2-1}\,dsdt \end{align}

$F_4$の積分表示

$F_4$については$x,y\mapsto x(1-y),y(1-x)$としたものに積分表示が知られている.

\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x(1-y),y(1-x)\right)&=\frac{\Gamma(c_1)\Gamma(c_2)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c_1-a)\Gamma(c_2-b)}\int_0^1\int_0^1\frac{s^{a-1}(1-s)^{c_1-a-1}t^{b-1}(1-t)^{c_2-b-1}}{(1-xs)^{c_1+c_2-a-1}(1-yt)^{c_1+c_2-b-1}(1-xs-yt)^{a+b-c_1-c_2+1}}\,dsdt \end{align}

$F_1,F_2,F_3$の積分表示は単純に項別積分を行うだけだったが, これはそれほど単純に示せるわけではないので, ここでは紹介するだけに留める.