確率の問題～DORASURE（ドラスレ）のピークロールの期待値～

DORASUREとは

冒険の舞台となるＡ３サイズゲームボード

あなたは、邪悪なドラゴンに脅かされている街を救うため、各地より集まった冒険者の一人となります。
他の冒険者と協力して経験値やアイテムを集め、強大なドラゴンに挑みます。
「DORASURE」は完全協力型のミニチュアボードゲームです。

(出典: http://shop.giant-hobby.com/shopdetail/000000001802/ )

ピークロール

ドラスレでは、ゲーム中に「ピークロール」と呼ばれる特殊なサイコロの処理を行います。

指定されたダイスの数を振り、$4$以上が出た個数が「成功数」となります。

ただし、$1$が出た個数分成功数を$-1$します。これをファンブルといいます。

また、$6$が出たときは$6$ひとつにつきサイコロを$1$個を振り足し、その結果も適用します。これをクリティカルといいます。このとき、振り足したサイコロは$2$以上で成功となります。この出目が$6$だった場合、さらに振り足しを行います。$6$が続く限り何度でも振り足します。振り足したダイスであっても$1$が出たら成功数は$-1$されます。

期待値

ここからはピークロール時の成功数の期待値を求めます。
サイコロ$1$つの期待値を求めれば、あとは振る数の分だけ倍すればよいのでさい、サイコロ$1$つのときを考えます。

まず、クリティカル時の期待値を$E_C$として計算してみましょう。
サイコロの結果は

となるので、$$E_C=4\times \frac{1}{6}+E_C\times \frac{1}{6}$$です。これを簡単にして$$E_C=\frac{4}{5}$$となります。

では、サイコロ$1$つのピークロールの期待値を$E$として求めましょう。
サイコロの結果は

となるので$$E=2\times \frac{1}{6}+E_C\times \frac{1}{6}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{7}{15}\fallingdotseq 0.4667$$
となります。

サイコロの個数と成功数の期待値

小数第三位を四捨五入。

最後に

確率は苦手なので、おかしいところなどあるかもしれません。もし間違っているところがあればご指摘ください。