複素数

1 知識編

書いてないことは教科書を読むべし！

ド・モアブルの定理+α

$z = r (\cos θ + i \sin θ)$ であるとき $z^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ である
ただし $n$ は自然数であり $r > 0$ 。

数学的帰納法

$z^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ が成立することを数学的帰納法で示す
$n = 1$ の時 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ より成立
$n = k$ の時 $z^{k} = r^{k} (\cos k θ + i \sin k θ)$ が成立すると仮定する
$n = k + 1$ の時
$z^{k + 1} = z^{k} \times z$
$= (r^{k} (\cos k θ + i \sin k θ)) (r (\cos θ + i \sin θ))$
$= r^{k + 1} (\cos (k + 1) θ + i \sin (k + 1) θ)$
よって $n = k + 1$ でも成立
これより $z^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ が成立することが示された。

1のn乗根に関する事実

$x^{n} = 1$ の解 $z_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ は次のように表される。
$z_{k} = \cos \frac{2 (k - 1)}{n} + i \sin \frac{2 (k - 1)}{n}$
また、 $x^{n} = 1$ は次のように変形できる
$x^{n} = 1$ $⟺$ $x^{n} - 1 = 0$ より
$x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1)$
$= (x - z_{n}) (x - z_{n - 1}) \dots (x - z_{2}) (x - z_{1})$

$1 = \cos 2 (k - 1) π + i \sin 2 (k - 1) π (k = 1, 2, \dots)$ である。
ここで $x^{n} = 1$ の解を $z_{k}$ とし、また $z_{k} = \cos θ + i \sin θ$ とすれば $z_{k}^{n} = 1$ より
$z_{k}^{n} = (\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ = \cos 2 (k - 1) π + i \sin 2 (k - 1) π$
よって $2 (k - 1) π = n θ$ $⟺$ $θ = \frac{2 (k - 1) π}{n}$
となり $z_{k} = \cos \frac{2 (k - 1)}{n} + i \sin \frac{2 (k - 1)}{n}$
示された。
また因数定理より $x^{n} - 1 = (x - z_{n}) (x - z_{n - 1}) \dots (x - z_{2}) (x - z_{1}) = 0$
特に $z_{1} = 1$ なので
$x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1 = (x - z_{n}) (x - z_{n - 1}) \dots (x - z_{2})$ である。

これより $x^{n} = 1$ の解は単位円に内接し、頂点のうちの1つが $(1, 0)$ の正n角形の頂点の複素数平面における座標と一致する。

2 例題編

例題1

$\cos 5 θ$ と $\sin 5 θ$ を $\cos$ と $\sin$ を用いて表せ。

解答
$\cos 5 θ + i \sin 5 θ = (\cos θ + i \sin θ)^{5}$ より
$\cos 5 θ + i \sin 5 θ$
$=_{5} C_{0} \cos^{5} θ + i_{5} C_{1} \cos^{4} θ \sin θ -_{5} C_{2} \cos^{3} θ \sin^{2} θ - i_{5} C_{3} \cos^{2} θ \sin^{3} θ$
$+_{5} C_{4} \cos θ \sin^{4} θ + i_{5} C_{5} \sin^{5} θ$
$= \cos^{5} θ + i 5 \cos^{4} θ \sin θ - 10 \cos^{3} θ \sin^{2} θ - i 10 \cos^{2} θ \sin^{3} θ$
$+ 5 \cos θ \sin^{4} θ + i \sin^{5} θ$
実部と虚部の比較より
$\cos 5 θ = \cos^{5} θ + 5 \cos θ \sin^{4} θ - 10 \cos^{3} θ \sin^{2} θ$
$\sin 5 θ = \sin^{5} θ + 5 \cos^{4} θ \sin θ - 10 \cos^{2} θ \sin^{3} θ$

例題2

半径1の円に内接する正2023角形の頂点の座標を $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{2023}$ とし、 $A_{1}$ と $A_{k} (k = 2, 3, \dots, 2023)$ の距離を $B_{k}$ とした時 $B_{2} \times B_{3} \times \dots \times B_{2023}$ の値を求めよ。

解答
複素数平面上で考える。
単位円の中心を $0$ とし $A_{1} = 1$ とすれば $A_{k}$ は $x^{2023} = 1$ の解である。
また、式変形と因数定理より
$x^{2023} - 1 = (x - 1) (x^{2022} + x^{2021} + \dots + x + 1)$
$= (x - A_{1}) (x - A_{2}) \dots (x - A_{2023})$
$= (x - A_{1}) (x - A_{2}) \dots (x - A_{2023})$
$A_{1} = 1$ であるから $(x^{2022} + x^{2021} + \dots + x + 1) = (x - A_{2}) (x - A_{3}) \dots (x - A_{2023})$
今回求めたいものは $| A_{2} - A_{1} | \times | A_{3} - A_{1} | \times \dots \times | A_{2023} - A_{1} |$ である。複素数の絶対値の掛け算はまとめることができるので
$| A_{2} - A_{1} | \times | A_{3} - A_{1} | \times \dots \times | A_{2023} - A_{1} |$
$= | (A_{2} - A_{1}) (A_{3} - A_{1}) \dots (A_{2023} - A_{1}) |$
$(A_{2} - A_{1}) (A_{3} - A_{1}) \dots (A_{2023} - A_{1})$ は $(x - A_{2}) (x - A_{3}) \dots (x - A_{2023})$ の $x$ に1を代入したものであるから $(x^{2022} + x^{2021} + \dots + x + 1)$ に $x$ に1を代入したものでもある。よって
$B_{2} \times B_{3} \times \dots \times B_{2023} = | 1^{2022} + 1^{2021} + \dots + 1 + 1 | = 2023$
求めるべき答えは $2023$ である。

3 実践編

ここでは問題の難易度を1~5#で表します。(1<2<3<3#<4<5<5#)5#はかなり難しめです。

P1 難易度1

$\sin \frac{5}{12} π$ と $\cos \frac{7}{12} π$ を複素数を用いて求めよ。

P2 難易度1

$\cos 3 θ$ と $\sin 3 θ$ を $\cos θ$ と $\sin θ$ の式で表せ。ただし導出過程で複素数を用いること。

P3 難易度2

複素数 $a, b, c$ があり複素数平面上で正三角形の頂点となる。この時次の式(🥺)を満たす複素数 $z$ を求めよ。
$c = z b + (1 - z) a \dots 🥺$

P4 難易度3

箱の中に $\frac{1}{2}, 1, 2, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$
の6種類の複素数が書かれたカードがそれぞれ１枚づつ合計6枚入っている。箱から３枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた複素数の積をzとした時次の確率はいくつか。
(1) $z$ が純虚数となる確率 $P_{1}$
(2) $| z | = 1$ となる確率 $P_{2}$

P5 難易度3

$α = \sin \frac{1}{10} + i \cos \frac{1}{10}$ である時 $α + α^{3} + α^{5} + α^{7} + α^{9} - 1$ の値を求めよ。

P6 難易度3#

複素数数列 $z_{n}$ を次のように定める。
$z_{1} = 1, z_{n + 1} = i z_{n} + 2 (n = 1, 2, \dots)$
$lim_{n \to \infty} z_{n}$ を求めよ。

P7 難易度4

$(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} > 10^{10}$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。必要であれば $l o g_{10} 2 = 0.3010$ を利用して良い。

P8 難易度5

異なる複素数 $a, b, c$ があり $2 a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c = 0$ を満たし、三次方程式 $x^{3} + k x + 20 = 0$ ( $k$ は実数)の解である。
この時 $a, b, c$ および $k$ を求めよ。

P9 難易度5#

次の問いに答えよ。
(1) $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ において $\sin θ ≦ θ ≦ \tan θ$ が成立することを示せ。
(2) $θ_{k} = \frac{k π}{2 n + 1} (n, k = 1, 2, \dots)$ とする。
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{t a n^{2} θ_{k}}$ の値を求めよ。
(3) $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ の値を求めよ。