小学生でもわかる！初等幾何のテクニック/図形と図形を“くっつける”

凸四角形$ABCD$が
$$AB=BC=CD,\angle{ABC}=123.45^{\circ},\angle{BCD}=116.55^{\circ}$$
を満たすとき，$\angle{DAB}$の大きさは度数法で互いに素な正整数$a,b$によって$\displaystyle\frac{a}{b}$度と表せるので，$a+b$を解答してください．

正三角形$ABC$において，その外接円の劣弧$BC$上（端点を除く）に点$D$をとり，$D$に関して$B$と対称な点を$E$としたとき，$AD=7$および$CE=4$が成立しました．このとき，四角形$ABEC$の面積の$2$乗を求めてください．

一辺が$10$の正三角形$ABC$において，辺$BC$の中点を$M$とする．また，辺$AB,AC$上にそれぞれ点$P,Q$をとったとき，以下の条件が成立しました．
$$AP=CQ>CP,MP^2+MQ^2=72$$
このとき，$AP$の長さは正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt{b}$と表されるので，$a+b$を求めてください．

$AB>AD$である長方形$ABCD$を点$A$を中心として回転移動させた長方形を$AB’C’D’$とすると，点$B’$は線分$BD$ (端点ではない) 上にきた．$BD’=23,B’D=7$のとき，長方形$ABCD$の面積の二乗を求めてください．

凸五角形$ABCDE$は次の条件を満たしています．
$$\angle{A}+\angle{B}=270^{\circ},\angle{D}=90^{\circ},AB=2,CD=DE=7,BC=EA$$
このとき，$ABCDE$の面積としてあり得る最大値と最小値を求め，その和を答えてください．

正方形$ABCD$において，三角形$ADC$の内部の点$P$と三角形$ABC$の内部の点$Q$が$$\angle{APQ}=\angle{PQC},AP=10,PQ=8,BQ=9$$
を満たすとき，線分$CQ$の長さを求めてください．ただし，求める値は正整数$a,b$によって$a+\sqrt{b}$と表されるので，$a+b$を解凍してください．なお，条件を満たす図は一意に存在します．

$\angle{BAC}=120^{\circ}$をみたす三角形$ABC$があり，その内心を$I$，外心を$O$とすると，以下が成り立ちました:
$$OI=20,IB=29.$$
このとき，辺$BC$の長さの$2$乗は，平方因子を持たない正整数$r$および正整数$p,q$を用いて$p+q\sqrt{r}$と表されます．$p+q+r$を解答してください．

$\angle{A}=100^{\circ}$なる三角形$ABC$において，それぞれ辺$AB,AC$上の点$D,E$が$BD=CE$および$DE=11$をみたします．さらに，$BE$と$CD$の交点を$F$とすれば，$BF=20$および$\angle{BFC}=130^{\circ}$が成立しました．このとき，五角形$BFCED$の面積は，正整数$a< b$によって$\sqrt{a}+\sqrt{b}$と一意に表せるので，$a+b$を解答してください．