半径１の円に内接する正(2n+1)角形の1つの頂点とほかの頂点との距離の積の等式

各頂点$P_k$を表す複素数を，${ｚ}_k$　とする．
で，${ｚ}_0＝{ｚ}_{2n+1}=1$　とみて，点$A$である．
$(2n+1)$個の複素数は，方程式$x^{2n+1}-1=0$の解に一致する．
ここで，恒等式として，
$$x^{2n+1}-1=(x-1)(x-{ｚ}_1)\cdot \cdots \cdot (x-{ｚ}_{2n})$$
$$x^{2n+1}-1=(x-1)(x^{2n}+x^{2n-1}+\cdot \cdots \cdot +1)$$
$$(x-{ｚ}_1)\cdot \cdots \cdot (x-{ｚ}_{2n})=x^{2n}+x^{2n-1}+\cdot \cdots \cdot +1$$
が成り立つ．
$$\prod _{k=1}^{2n}A{P}_k=\prod _{k=1}^{2n}|1-{ｚ}_k|=|(1-{ｚ}_1)\cdot \cdots \cdot (1-{ｚ}_{2n})|$$
この右辺の絶対値記号の中身は，上の恒等式で，$x=1$としたものと考えて，$1+\cdots +1=2n+1$に等しいので，
$$\prod _{k=1}^{2n}A{P}_k=2n+1$$
よって，成り立つ．□□
とくに，奇数である必要はないようです．
追記
$\theta =\frac{\pi }{2n+1}$とする．
$$|(1-{ｚ}_k)(1-{ｚ}_{2n+1-k})|=2(1-\cos 2k\theta )=4{\sin }^{2}k\theta$$
上の事実から，
$$4^n\prod _{k=1}^n{\sin }^2\frac{k\pi }{2n+1}=2n+1$$