半径１の円に内接する正(2n+1)角形の1つの頂点とほかの頂点との距離の積の等式
複素平面上において，点$O$を中心とする，半径1の円があり，この円に正$(2n+1)$角形が内接しているとする．
ここで，$n$は2以上の整数としておく
点$A$を点$P_{2n+1}$としてほかの各頂点$P_{k} $との線分の長さ(距離)の積について，
$$\prod_{k=1}^{2n}AP_{k}=2n+1$$が成り立つ．
(st4rdus2さんから）
各頂点$P_{k} $を表す複素数を，$ ｚ_{k} $ とする．
で，$ ｚ_{0}＝ ｚ_{2n+1}=1 $ とみて，点$A$である．
$(2n+1)$個の複素数は，方程式$x^{2n+1}-1=0 $の解に一致する．
ここで，恒等式として，
$$x^{2n+1}-1=(x-1)(x-ｚ_{1}) \cdot \cdots \cdot(x-ｚ_{2n}) $$
$$x^{2n+1}-1=(x-1)(x^{2n}+x^{2n-1}+\cdot \cdots \cdot+1) $$
$$(x-ｚ_{1}) \cdot \cdots \cdot(x-ｚ_{2n})= x^{2n}+x^{2n-1}+\cdot \cdots \cdot+1 $$
が成り立つ．
$$\prod_{k=1}^{2n}AP_{k}=\prod_{k=1}^{2n} \left| 1-ｚ_{k} \right|=\left| (1-ｚ_{1}) \cdot \cdots \cdot(1-ｚ_{2n})\right| $$
この右辺の絶対値記号の中身は，上の恒等式で，$x=1$としたものと考えて，$1+ \cdots+1=2n+1$に等しいので，
$$\prod_{k=1}^{2n}AP_{k}=2n+1 $$
よって，成り立つ．□□
とくに，奇数である必要はないようです．
追記
$ \theta= \frac{\pi}{2n+1} $とする．
$$ \left| (1-ｚ_{k})(1-ｚ_{2n+1-k}) \right|=2(1- \cos 2k\theta )=4\sin^2 k\theta $$
上の事実から，
$$4^n \prod_{k=1}^{n} \sin^2 \frac{k\pi}{2n+1} =2n+1$$
