2^10≃10^3みたいなのを探して累乗根を近似する！
$2^{10} \simeq 10^3$みたいなのを探して累乗根を近似する！
$\frac12$の三乗根は大体いくら？
こんな問題を見たことがないですか？
円錐型のワイングラスに体積半分の量を注ぎたいとき、ワイングラスの底から縁まで何割注げばいいですか？
A.約50% B.約65% C.約80%
AI画像生成より
要は、相似比の三乗が体積比ですから$\frac12$の三乗根を求めよ、という話です。
これはいい考え方があって、有名な$2^{10}$と$10^3$がほぼ等しいことから、
$2^{10}\simeq10^3$
$\frac{2^{10}}{10^3}\simeq1$
$\frac{2^{9}}{10^3}\simeq\frac12$
$\frac{2^3}{10}\simeq{\frac12}^{\frac13}$
と、約$0.8 $、答えは約$80 $%と求めることができます。
ちなみに正確な値は$0.79370052598... $と近いです。
他にも似たようなものを探そう！
先の話で、$2^{10}\simeq10^3$を使えば$10$の平方根は約$3.2$なども出せます。
（実際は$3.16227766017... $）
似たものをコンピューターで探します。
誤差の範囲は$1024\simeq1000$をリスペクトし、$2.5$%以下、かつ、平方根以下(上の桁半分が一致する条件)で調べました。
基数の範囲は$100$以下、指数の範囲は$10$以下です。
見つかったものの値の小さいもの$10$個を並べます。
| 5^3 | 2^7 | 125 | 128 |
| 12^3 | 42^2 | 1,728 | 1,764 |
| 3^7 | 13^3 | 2,187 | 2,197 |
| 13^3 | 47^2 | 2,197 | 2,209 |
| 52^2 | 14^3 | 2,704 | 2,744 |
| 5^5 | 56^2 | 3,125 | 3,136 |
| 58^2 | 15^3 | 3,364 | 3,375 |
| 70^2 | 17^3 | 4,900 | 4,913 |
| 76^2 | 18^3 | 5,776 | 5,832 |
| 19^3 | 83^2 | 6,859 | 6,889 |
$70^2$と$17^3$の近さとか気持ちいいですね。
これを使ってみましょう。
17の平方根は約$\frac{17^2}{70}(=4.12857142857...)$が求まり
実際の値は$4.12310562562...$、近い！
70の三乗根は約$\frac{70}{17}(=4.11764705882...)$が求まり、
実際の値は約$4.12128529981...$、近い！
最後に
読んで頂きありがとうございました！
特定の累乗根が求まるだけで、逆は使えないっていうのがビミョーなところです。
調べてる中で見つかった累乗数だと、個人的に
$45^2\simeq2^{11}$が計算しやすくて好きです。($2025$と$2048$)
