q-Karlsson-Mintonの和公式の証明
ここでは，各$-a, m_r$を非負の整数として$-a\le m_1+\cdots+m_r$である時に成立する，Karlsson-Mintonの和公式
$$
\F{r+2}{r+1}{a,b,b_1+m_1, \dots, b_r+m_r}{b+1, b_1,\dots, b_r}1=\g\gf{1+b,1-a}{1+b-a}\prod_{k=1}^r\frac{(b_k-b)_{m_k}}{(b_k)_{m_k}}
$$
の$q$類似を示す．
$$ \Q{r+2}{r+1}{a,b,b_1q^{m_1}\dots, b_rq^{m_r}}{bq, b_1,\dots, b_r}{a^{-1}q^{1-{m_1-\dots-m_r}}}=\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(bq,q/a;q)_\infty}\prod_{k=1}^r\frac{(b_k/b;q)_{m_k}}{(b_k;q)_{m_k}}b^{m_k} $$
$r=0$のとき，Heineの和公式を用いることによって
$$
\Q21{a,b}{bq}{\frac qa}=\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(q/a,bq;q)_\infty}
$$
となることからわかる．$r-1$の時に成立するものとすると，$q$-Vandermondeの和公式によって
$$
\frac{(b_rq^{m_r};q)_k}{(b_r;q)_k}=q^{m_rk}\Q21{q^{-m_r}, q^{-k}}{b_r}q
$$
だから，
\begin{align}
\Q{r+2}{r+1}{a,b,b_1q^{m_1}\dots, b_rq^{m_r}}{bq, b_1,\dots, b_r}{a^{-1}q^{1-{m_1+\dots+m_r}}}
&=\sum_{0\le k}\frac{(a,b,b_1q^{m_1}, \dots, b_{r-1}q^{m_{r-1}};q)_k}{(b_1,\dots, b_r;q)_k}(a^{-1}q^{1-{m_1+\dots+m_r}})^kq^{m_rk}\sum_{0\le l}\frac{(q^{-m_r}, q^{-k})_l}{(bq,q;q)_l}\\
&=\sum_{0\le k,l}\frac{(a,b,b_1q^{m_1}, \dots, b_{r-1}q^{m_{r-1}};q)_k}{(b_1,\dots, b_r;q)_k}(a^{-1}q^{1-{m_1+\dots+m_r}})^kq^{m_rk}\frac{(q^{-m_r};q)_l}{(c,q;q)_l(q;q)_{k-l}}(-1)^lq^{l(l-1)/2-kl}q^l\\
&=\sum_{0\le k,l}\frac{(q^{-m_r};q)_l}{(bq,q;q)_l}(-1)^lq^{l(l+1)/2}\frac{(b_1q^l,\dots,b_rq^l;q)_{k+l}}{(b_1,\dots,b_r)_{k+l}(q;q)_k}(a^{-1}q^{1-{m_1+\dots+m_r}})^{k+l}q^{n(k+l)-l(k+l)}\\
&=\sum_{0\le l}\frac{(a,b,b_1q^{m_1}\dots,b_{r-1}q^{m_{r-1}}, q^{-m_r};q)_l}{(bq, b_1,\dots, b_r,q;q)_l}q^{-l(l-1)/2}\L(-\frac{q^{1-m_1-\dots-m_{r-1}}}{a}\R)^l\Q{r+1}r{aq^k,bq^k,b_1q^{m_1+k},\dots,b_{r-1}q^{m_{r-1}+k}}{bq^{k+1},b_1q^k,\dots,b_{r-1}q^k}{\frac{q^{1-m_1-\dots-m_{r-1}-k}}{a}}\\
&=\sum_{0\le l}\frac{(a,b,b_1q^{m_1}\dots,b_{r-1}q^{m_{r-1}}, q^{-m_r};q)_l}{(bq, b_1,\dots, b_r,q;q)_l}q^{-l(l-1)/2}\L(-\frac{q^{1-m_1-\dots-m_{r-1}}}{a}\R)^l\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(bq^{1+l},q^{1-l}/a;q)_\infty}\prod_{k=1}^{r-1}\frac{(b_k/b;q)_{m_k}}{(b_kq^l;q)_{m_k}}(bq^l)^{m_k}\\
&=\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(bq,q/a;q)_\infty}\sum_{0\le l}\frac{(a,b,b_1q^{m_1}\dots,b_{r-1}q^{m_{r-1}}, q^{-m_r};q)_l}{(bq,b_r,q;q)_l}q^{-l(l-1)/2}\L(\frac qa\R)^l(bq;q)_l(q/a;q)_\i l\prod_{k=1}^{r-1}\frac{(b_k/b;q)_{m_k}}{(b_k;q)_{m_k+l}}b^{m_k}\\
&=\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(bq,q/a;q)_\infty}\prod_{k=0}^{r-1}\frac{(b_k/b;q)_{m_k}}{(b_k;q)_{m_k}}b^{m_k}\sum_{0\le l}\frac{(b,q^{-m_r};q)_l}{(b_r,q;q)_l}q^k\\
&=\frac{(q,bq/a;q)_\infty}{(bq,q/a;q)_\infty}\prod_{k=1}^r\frac{(b_k/b;q)_{m_k}}{(b_k;q)_{m_k}}b^{m_k}
\end{align}
より示される．
$q$-Karlsson-Mintonの和公式において，$b_r=b, m_r=1$とすることによって
$$
\Q{r+1}{r}{a,b_1q^{m_1}\dots, b_{r-1}q^{m_{r-1}}}{b_1,\dots, b_{r-1}}{a^{-1}q^{-{m_1-\dots-m_{r-1}}}}=0
$$
であることがわかる．また同じ式で$b\to\infty,a=q^{-(m_1+\dots+m_r)}$とすることで，
$$
\Q{r+1}r{q^{-(m_1+\dots+m_r)},b_1q^{m_1},\dots,b_rq^{m_r}}{b_1,\dots,b_r}1=(-1)^{m_1+\dots+m_r}q^{(m_1+\dots+m_r)(m_1+\dots+m_r+1)/2}\frac{(q;q)_{m_1+\dots+m_r}}{(b_1;q)_{m_1}\dots(b_r;q)_{m_r}}
$$
となることがわかる．