OMCB066(D)を解いてみた
注意
初心者なので、至らない点が多々あると思います。
先にお詫び申し上げます。
問題
OMCB066(D)
正整数の組$(x,y,z)$であって
$$
x+y^2+z^2 \quad x^2 +y+z^2 \quad x^2+y^2+z
$$
がこの順で公差30の等差数列をなすものがただ$1$つ存在するので、積$xyz$の値を解答してください。
解答
方針
参考文献より、因数分解を使うことがわかっているので、それを使う。
やってみる
まず、式に番号をつける。
$$
\begin{align}
x+y^2+z^2 \cdots ① \\\\
x^2+y+z^2 \cdots ② \\\\
x^2+y^2+z \cdots ③
\end{align}
$$
公差は30なので、
$$
②-①=③-②=30
$$
$②-①$を計算すると、
$$
(x^2+y+z^2)-(x+y^2+z^2)=x^2-x+y-y^2 \cdots ④
$$
$③-②$を計算すると、
$$
(x^2+y^2+z)-(x^2+y+z^2)=y^2-y+z-z^2 \cdots ⑤
$$
④を因数分解すると、
$$
\begin{align}
x^2-x+y-y^2&=(x^2-y^2)-x+y \\
&=(x+y)(x-y)-x+y \\
&=(x+y)(x-y)-(x-y) \\
&=(x+y-1)(x-y)
\end{align}
$$
すなわち、
$$
(x+y-1)(x-y)=60
$$
となる$x,y$を探せば良い。
$X=x+y-1,Y=x-y$と置くと、
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
XY=30 \cdots ⑥ \\
X-Y=2y-1 \cdots ⑦
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
という連立方程式に整理される。
$y$は正整数だから、⑦より、
$X-Y$は奇数である。
$X,Y$は奇数と偶数の組、もしくは偶数と奇数の組であることがわかる。
$30$を素因数分解すると、$30=2 \cdot 3 \cdot 5$となるので、
$X,Y$のどちらかは$2$の倍数である。
以上から、条件に当てはまるのは、
$$
\begin{align}
(X,Y)&=(2 \cdot 3,5),(2 \cdot 5,3),(3 \cdot 5,2),(2 \cdot 3 \cdot 5,1) \\
&=(6,5),(10,3),(15,2),(30,1)
\end{align}
$$
となり、⑦から
$y=1,4,7,15 \cdots ⑧$
である。
同様に、⑤についても因数分解すると、
$(X \prime,Y \prime)=(6,5),(10,3),(15,2),(30,1)$なので、
$z=1,4,7,15$である。
$Y \prime =y-z$より、
$y=6,7,9,16$
これを⑧と照らし合わせると、$y=7$なので、
$Y=x-y$から$x=9$
まとめると、$x=9,y=7,z=4$
よって$xyz=9 \cdot 7 \cdot 4=252$
解答は$252$
感想・まとめ
汚い解法になってしまった気がします。これ以外思いつきませんでした...
