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Lambert級数に関するEvansの等式

Evans(1996)

整数$n$に対して,
\begin{align} T_n(x,y):=(x,q/x;q)_{\infty}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}y^k}{q^k-xq^n} \end{align}
とするとき,
\begin{align} T_n(x,y)&=T_n(y,x) \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}T_n(x,y)v^n&=(x,q/x;q)_{\infty}\sum_{k,n\in\ZZ}(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}y^k\frac{v^n}{q^k-xq^n}\\ &=(x,q/x;q)_{\infty}\sum_{k,n\in\ZZ}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}(yv)^k\frac{v^n}{1-xq^n},\qquad(n\mapsto n+k)\\ \end{align}
ここで, Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式とJacobiの三重積より,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{v^n}{1-xq^n}&=\frac{(xv,q/xv,q,q;q)_{\infty}}{(v,q/v,x,q/x;q)_{\infty}}\\ \sum_{k\in\ZZ}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}(yv)^k&=(yv,q/yv;q)_{\infty} \end{align}
であるから, これらより,
\begin{align} &(x,q/x;q)_{\infty}\sum_{k,n\in\ZZ}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}(yv)^k\frac{v^n}{1-xq^n}\\ &=\frac{(xv,q/xv,yv,q/yv,q,q;q)_{\infty}}{(v,q/v;q)_{\infty}} \end{align}
これは, $x,y$に関して対称なので, $T_n(x,y)=T_n(y,x)$を得る.

$n=0, y\mapsto 1$とすると, 以下を得る.

\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}}{q^k-x}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}

$x\mapsto -1$とすると以下を得る.

\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}}{1+q^k}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{2(-q;q)_{\infty}^2} \end{align}

$q\mapsto q^2$としてから$x\mapsto q$とすると以下を得る.

\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{k^2+k}}{1-q^{2k+1}}&=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(q;q^2)_{\infty}^2} \end{align}

定理1の応用として, Evansは次の定理を示している.

Evans(1996)

\begin{align} L_m:=\sum_{0< k}\frac{k^mq^k}{1-q^k} \end{align}
とする. $n$が自然数のとき,
\begin{align} S_n:=\sum_{k\neq 0}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}}{(1-q^k)^n} \end{align}
は$L_1,L_3,L_5$の有理数係数の多項式で表される.

系1より, $P(x):=(xq,q/x;q)_{\infty}$とすると,
\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}(x-1)}{x-q^k}&=\frac{P(1)}{P(x)} \end{align}
ここで, 両辺を$n$階微分してから$x=1$として$(-1)^{n+1}n!$で割ると,
\begin{align} S_n=\sum_{k\neq 0}\frac{(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2}}{(1-q^k)^{n}}&=\frac{(-1)^{n+1}}{n!}P(1)\left.\left(\frac 1{P(x)}\right)^{(n)}\right|_{x=1} \end{align}
を得る. $\left(\frac 1{P(x)}\right)^{(n)}$は$\frac{P^{(m)}(x)}{P(x)}, 1\leq m\leq n$の有理数係数多項式で表されるから, $S_n$は$\frac{P^{(m)}(1)}{P(1)}, 2\leq m\leq n$の有理数係数多項式である($P'(1)=0$より).
\begin{align} Q(x):=\frac{P'(x)}{P(x)} \end{align}
とすると, $P'(x)=P(x)Q(x)$より
\begin{align} P^{(m)}(1)&=\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m-1}jP^{(m-1-j)}(1)Q^{(j)}(1) \end{align}
であるから, $Q^{(j)}(1)$が$L_1,L_3,L_5$の多項式であることを示せばよい.
\begin{align} Q(x)&=-\sum_{0< k}\frac{q^k}{1-xq^k}+\frac 1{x^2}\sum_{0< k}\frac{q^k}{1-q^k/x}\\ &=\sum_{0< r}\frac{q^r}{1-q^r}(x^{-r-1}-x^{r-1}) \end{align}
より,
\begin{align} Q^{(j)}(1)&=\sum_{0< r}\frac{q^r}{1-q^r}((-r-1)\cdots(-r-j)-(r-1)\cdots(r-j)) \end{align}
より, $Q^{(j)}(1)$は$L_1,L_3,\dots,L_{2m-1}, 2m-1\leq j$によって表される. ここで, 全てのEisenstein級数$E_{2n}$が$E_4,E_6$の有理数係数多項式で表されることから, $L_{2m-1}, m\geq 2$は全て$L_3,L_5$の多項式で表される. いずれの場合も$L_1,L_3,L_5$も多項式で表される.