変な形の割り算

はじめに

　こんにちは、n=1です。初投稿です。
　今回は、私が休憩時に適当に思いついた割り算を右から計算していくと結果がどうなるかについて書いていきます。

割り算を右から計算する定義

　割り算を右から計算するというのは、そのまま
$1\divsymbol(2\divsymbol(3\divsymbol({\cdot\cdot\cdot}\divsymbol((n-1)\divsymbol{n}){\cdot\cdot\cdot})))$
ということですが、長いのでここでは以下の定義の通りにします。

一般化へ

　Nを一般化しようとすると階乗と同じでeの冪乗で
　$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}k=e^{\log\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}k} =e^{\log({\frac{1}{(\underset{k=2}{\overset{n}{\huge N}}k)}})} =e^{\log1-\log\underset{k=2}{\overset{n}{\huge N}}k} =e^{\log1-\log({\frac{2}{(\underset{k=3}{\overset{n}{\huge N}}k)}})} =e^{\log1-\log2+\log\underset{k=3}{\overset{n}{\huge N}}k} =e^{\log1-\log2+\log3-\cdot\cdot\cdot} =e^{\underset{k=1}{\overset{n}{\huge {∑}}}(-1)^{k-1}\log{k}} =\frac{(2^{\frac{1-(-1)^n}{2}}\varGamma(\frac{n+1}{2})^{(-1)^n}Γ({\frac{n+2}{2}})^{(-1)^{(n + 1)}})}{\sqrt{π}}$
という総和の形の形から求められました。
これと同じ解き方をして、
$\underset{k=m}{\overset{n}{\huge N}}f(k)=e^{\underset{k=m}{\overset{n}{\huge {∑}}}(-1)^{k-m}\log{(f(k)})}$もしくは $\underset{k=m}{\overset{n}{\huge N}}f(k)=e^{\underset{k=m}{\overset{n}{\huge {∑}}}(-1)^{k+m}\log{(f(k))}}$
となります。前者の方がmを基準にしているので個人的にもこちらが正しいと思っていますが、この式はどちらでもm以上の整数を入れれると同じ数を出力します。

おわりに

　以上で今回の右から割り算を計算していくというものは終わりです。杜撰な文章でしたが、読んでくださりありがとうございました。