大学入試で使えるらしい同次式を知る

$s=(a+b)/c$とおく。$a^2+b^2=c^2$より$s^2=1+2ab/c^2$であり、$ab\gt0$、$2ab\le a^2+b^2$から$1\lt s\le\sqrt2$である。

求める式を$E$とすると、

$\displaystyle \begin{aligned}E&=\frac{c(a^2+b^2)+(a+b)(ab+c^2)}{abc}\\&=s+\frac{(1+s)c^2}{ab}\\&=s+\frac2{s-1}.\end{aligned}$

$f(s)=s+2/(s-1)$とおけば、$1\lt s\le\sqrt2$で$f'(s)=1-2/(s-1)^2\lt0$。よって最小値は

$\displaystyle \boxed{2+3\sqrt2}$

であり、$a=b$のときにとる。

$x=0$なら$y=0$である。$x\ne0$のとき、$t=y/x$とおけば$t^2+3t+1=0$より$t=(-3\pm\sqrt5)/2$。

したがって、求める組は

$\displaystyle \boxed{\begin{aligned}(x,y)&=\left(a,\frac{-3+\sqrt5}{2}a\right)\\&\quad\text{または}\quad\left(a,\frac{-3-\sqrt5}{2}a\right)\end{aligned}}$

である。ただし、$a$は任意の実数であり、$a=0$で$(0,0)$も含まれる。

方程式は$2$次同次式です。値を$0$にする条件なので、共通の倍率を外して比を求められます。$x^2$で割ると、二つの文字についての式が、$y/x$についての二次方程式になります。

ここで求まるのは$x,y$それぞれの値ではなく、二通りの比です。その比を保ったまま、共通の倍率を任意に変えた組も解になります。

$y=0$を先に分け、$x/y$で割っても同じです。基準に絶対的な正解があるわけではありません。ただし、零の場合を確認することは、どちらの置き方でも必要です。

$x=0$なら二式から$y=z=0$となるので、$x\ne0$である。$u=y/x$、$v=z/x$とおくと、

$\displaystyle u^2+v=2,\qquad v^2+u=2.$

二式の差より$(u-v)(u+v-1)=0$。

$u=v$なら$u^2+u-2=0$より$(u,v)=(1,1),(-2,-2)$。

$u+v=1$なら$u^2-u-1=0$より

$\displaystyle \begin{aligned}(u,v)&=\left(\frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\\&\quad\text{または}\quad\left(\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right).\end{aligned}$

これらはすべて二式を満たす。したがって、求める組は

$\displaystyle \begin{aligned}(x,y,z)&=a(1,1,1),\\&\quad a(1,-2,-2),\\&\quad a(2,1+\sqrt5,1-\sqrt5),\\&\quad a(2,1-\sqrt5,1+\sqrt5)\end{aligned}$

である。ただし、$a$は零でない任意の実数とする。

両方の条件式に$x^2$があり、すべての項が$2$次です。$x$を基準にすると、二つの右辺を同時に定数$2$にできます。これが$x$を選ぶ理由です。

同次性で三つの文字を二つの比に減らした後、今度は二式の対称性を見ます。$u,v$を交換すると一方の式が他方になるので、差を取ると$u-v$が現れます。「同次性→比→対称性→因数分解」という流れです。

また、方程式を満たす$(u,v)$が得られれば、$(x,y,z)=x(1,u,v)$として戻せます。今回は条件式自体が同次なので、共通の倍率$x\ne0$に新しい制約はありません。

$h=x+y+z$、$X=x/h$、$Y=y/h$、$Z=z/h$とおくと、$X+Y+Z=1$、$X,Y,Z\ge0$である。$XY\le(X+Y)^2/4$より、求める式は

$\displaystyle \begin{aligned}XY+2Z(X+Y)&\le\frac{(1-Z)^2}{4}+2Z(1-Z)\\&=\frac47-\frac74\left(Z-\frac37\right)^2\\&\le\frac47.\end{aligned}$

二つの等号が同時に成り立つのは$X=Y=2/7$、$Z=3/7$のときである。よって最大値は$\boxed{4/7}$で、$x:y:z=2:2:3$のときにとる。

分母に和の二乗があるので、和を基準にすれば分母を丸ごと消せます。ここで$x$を基準にしても二変数にはなりますが、$(1+u+v)^2$という分母が残ります。

和を$1$にした後も、すぐに$X=1-Y-Z$と展開する必要はありません。$X,Y$は同じ立場で、目的の式には積$XY$と和$X+Y$だけが現れます。$Z$を固定すると和$X+Y=1-Z$が決まるため、積は$X=Y$のとき最大です。

同次性が一つ、対称性と積の評価がもう一つ、追う量を減らしています。なお、これは最大値の問題で、$XY$の係数が正だから使えた評価です。「対称ならいつでも二つを等しくする」と一般化してはいけません。

$k=x^2+xy+y^2\gt0$とおく。条件式を用いると、

$\displaystyle \begin{aligned}3-k^2&=2(x-y)^2k\ge0,\\3k^2-1&=2(x+y)^2k\ge0.\end{aligned}$

よって$1/3\le k^2\le3$。最小値は$\boxed{1/\sqrt3}$、最大値は$\boxed{\sqrt3}$である。

最小値は$x=-y$、$3x^4=1$のとき、最大値は$x=y$、$3x^4=1$のときにとり、いずれも元の条件を満たす。

条件の左辺は$4$次、目的の式は$2$次です。したがって、二つの式をそのまま割っても倍率は消えません。目的の式そのものは、共通の倍率を変えると値が変わります。比を求めるだけで終わらず、条件を使って大きさも決める必要があります。

一方、どちらも$x,y$に対称で、$x^2+y^2$と$xy$で表せます。そこで、同じ$2$次のまとまりの比$t=xy/(x^2+y^2)$を選びます。ここで$s=x^2+y^2$とおくと、条件式は$s^2(1-t^2)=1$となるので、比$t$を決めれば、正の大きさ$s$まで決まります。

これは、二乗和による規格化としても読めます。$h=\sqrt{x^2+y^2}$、$X=x/h$、$Y=y/h$とおけば$X^2+Y^2=1$で、$t=XY$です。$X,Y$を一つずつ解く必要はなく、その積だけを追えば十分でした。

二つの式から定数を消す見方もできます。$F=x^4+x^2y^2+y^4$、$G=x^2+xy+y^2$として、$F=1$、$G=k$なら

$\displaystyle G^2-k^2F=0.$

今回は次数が違うので、$G$を二乗して$4$次に揃えています。これを$(x^2+y^2)^2$で割り、$-1/2\le t\le1/2$を使うと、

$\displaystyle k^2=\frac{1+t}{1-t},\qquad \frac13\le k^2\le3$

が得られます。端の値が分かったら、元の式で$3-G^2$と$3G^2-1$を整理すると、答案の平方の形になります。最後に正の平方根を取れるのは、$G\gt0$だからです。

考えるときには比と大きさを分けて見通しを立て、答案には短い証明を残しました。置換は解法を見つける道具であり、使った記号をすべて答案に残す必要はありません。

$u=\sin\theta\cos\theta=\frac12\sin2\theta$とおくと、$-1/2\le u\le1/2$であり、この区間のすべての値をとる。

分母は$2+\sin^2\theta\cos^2\theta=2+u^2$なので、与式は$f(u)=u/(2+u^2)$である。区間内で

$\displaystyle f'(u)=\frac{2-u^2}{(2+u^2)^2}\gt0$

より、求める範囲は$\boxed{-2/9\le f(u)\le2/9}$である。

本文の三角関数の例を読んだ直後だと、すぐに$\tan\theta$と置きたくなるかもしれません。しかし、この問題では$\sin\theta$と$\cos\theta$を入れ替えても式が変わりません。積を先に見た方が、その対称性を保てます。

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$と一時的に書きましょう。$1=s^2+c^2$を用い、分子にも$1$を掛けて$4$次に揃えると、与式は

$\displaystyle \frac{sc(s^2+c^2)}{(2s^2+c^2)(s^2+2c^2)}$

です。分母は$2(s^2+c^2)^2+s^2c^2$なので、まとまりの比$u=sc/(s^2+c^2)$を置けば$u/(2+u^2)$になります。三角関数に戻せば$s^2+c^2=1$なので、$u=\sin\theta\cos\theta$だったわけです。

つまり、答えの置換は「積を思いついた」だけではありません。条件で同次化し、対称性を保つ比を選んだ結果として説明できます。

$t=\tan\theta$でも表せますが、$\cos\theta\ne0$の範囲で

$\displaystyle \frac{t(1+t^2)}{2t^4+5t^2+2}$

となります。この式は$t\ne0$では$t\mapsto1/t$でも変わらず、結局$u=t/(1+t^2)$とまとめると簡単です。最初から$u$を選べば式が短くなり、$\cos\theta=0$の場合もそのまま含められます。

底面の一辺を$a\gt0$、高さを$h\gt0$、表面積を$S$とする。側面の三角形の高さは$\sqrt{h^2+a^2/4}$なので、

$\displaystyle S=a^2+a\sqrt{a^2+4h^2},\qquad a^2h=3.$

$t=\sqrt{a^2+4h^2}/a\gt1$とおくと、$S=a^2(1+t)$であり、$a^6(t^2-1)=4a^4h^2=36$である。したがって、

$\displaystyle \begin{aligned}S^3&=36\frac{(t+1)^2}{t-1}\\&=36\left\{(t-1)+4+\frac4{t-1}\right\}\\&\ge36\cdot8=288.\end{aligned}$

相加相乗平均の等号は$t-1=2$、すなわち$h/a=\sqrt2$のときに成り立つ。実際、$h=\sqrt2a$、$a^3=3/\sqrt2$とすれば体積は$1$となる。

よって、表面積の最小値は$\boxed{\sqrt[3]{288}}$で、そのときの高さは底面の一辺の長さの$\boxed{\sqrt2}$倍である。

見た目は立体の最大・最小問題です。体積が一定なので、まず$h=3/a^2$と消去することもできます。しかし、表面積へ代入すると平方根の中に$a^2$と$1/a^4$が混ざり、式が重くなります。

ここで、大きさと形を分けられないかと考えます。長さを全部同じ倍率にすると、表面積はその倍率の二乗、体積は三乗になります。したがって、表面積の三乗と体積の二乗の比は変わりません。多項式ではない式でも、「全部同じ倍率にするとどうなるか」という見方は使えます。

この問題の体積は$1$なので、まず$S^3$を形の比だけで表す方針が立ちます。$h/a$と置いてもよいのですが、表面積には$\sqrt{a^2+4h^2}$というまとまりが現れています。そのまとまりと$a$の比を$t$にすれば、$S=a^2(1+t)$と平方根が消えます。

さらに$t^2-1=4h^2/a^2$なので、$a^6(t^2-1)=4(a^2h)^2$となり、体積の条件にもつながります。目的の式に現れるまとまりを比にし、その比が条件式にどう結び付くかまで確かめたわけです。

最後に、最適な比を求めただけでは体積$1$の四角錐が得られたことにはなりません。答案では、その比を保って実際の$a,h$を選べることも確認しています。

条件式から$d$を消去すると、

$\displaystyle a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca).$

$a,b,c$について対称なので、$a$を最大のものとしてよい。条件は$(a-b-c)^2=4bc$と書ける。$a=b+c-2\sqrt{bc}$では$a=(\sqrt b-\sqrt c)^2$が$b,c$の大きい方より小さくなり矛盾するので、

$\displaystyle a=b+c+2\sqrt{bc}.$

ここで$h=\sqrt{bc}$、$t=(b+c)/h\ge2$とおくと、$a/h=t+2$、$d/h=\sqrt2(t+1)$である。よって与式は

$\displaystyle \begin{aligned}d\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)&=\sqrt2(t+1)\left(\frac1{t+2}+t\right)\\&=\frac{\sqrt2(t+1)^3}{t+2}.\end{aligned}$

$t\ge2$で

$\displaystyle 4(t+1)^3-27(t+2)=(t-2)(2t+5)^2\ge0$

より、最小値は$\boxed{27\sqrt2/4}$である。等号は$t=2$、すなわち$b=c$のときに成り立つ。実際、任意の$h\gt0$について

$\displaystyle (a,b,c,d)=(4h,h,h,3\sqrt2\,h)$

は元の条件を満たす。$a,b,c$の入れ替えも許される。

ここまでの見方をつなぐ問題です。まず、文字が四つあるからといって、四つ全部の値を求める必要はありません。目的の式は、全部を同じ倍率にしても変わりません。二つの条件も、その変更に対応しています。

$a/d,b/d,c/d$と置くのは自然な第一案です。条件は、三つの比の和が$\sqrt2$、二乗和が$1$となります。ただし、それだけでは逆数の和を直接評価しにくい。そこで、二つの条件を組み合わせて$d$を消すと、三変数の対称な同次方程式が得られます。

対称性から$a$を最大に選ぶことはできますが、この段階で$b=c$と決めてはいけません。条件を$(a-b-c)^2=4bc$と整理して初めて、最大の$a$を$b+c+2\sqrt{bc}$と表せます。ここでは符号の判定に、変数の順序が働いています。

残った式には$b+c$と$\sqrt{bc}$が現れます。どちらも、$b,c$を同じ倍率にすると同じ倍率だけ変わる量です。そこで、その比$t=(b+c)/\sqrt{bc}$を取ります。$b/h,c/h$と書けば積が$1$なので、これは残った二変数の積を基準にした規格化でもあります。

しかも、$h(1/b+1/c)=t$です。条件だけでなく、目的の逆数の和まで同じ$t$で書けることが、この比を選ぶ決め手です。$b/c$でも解けますが、平方根と逆数を別々に追う必要が生じます。

変数の多さから構造を探す。共通の倍率を外せると見る。条件を結び、対称性で順序を決め、最後にまとまりの比を取る。ここまで進めば、残るのは$t\ge2$での一変数の評価です。

同次性より$x+y+z=1$としてよい。$q=xy+yz+zx$、$r=xyz$とおくと、与式は

$\displaystyle E=q-4q^2+3r$

である。$0\lt q\le1/3$であり、対称性から$x\ge y,z$としてよい。

次の正の数$A,B$を定める。

$\displaystyle A=\frac{1+2\sqrt{1-3q}}3,\qquad B=\frac{1-A}{2}.$

このとき$A+2B=1$、$2AB+B^2=q$である。また、

$\displaystyle 0\le(y-z)^2=1+2x-3x^2-4q$

より$x\le A$である。

$R(t)=t^3-t^2+qt$とおくと、

$\displaystyle R(x)=r,\qquad R(A)=AB^2.$

$x\ge1/3$であり、

$\displaystyle \begin{aligned}R'(x)&=(x-y)(x-z)\ge0,\\R''(t)&=6t-2\ge0\quad(x\le t\le A)\end{aligned}$

なので、$R$は$[x,A]$で減少せず、$r\le AB^2$となる。等号は$A=x$、すなわち$y=z$のときに限る。実際、$A\gt x$なら$x\gt1/3$で、$R'$はその区間で狭義に増加する。

したがって、$q$を変えずに$(x,y,z)$を$(A,B,B)$に置き換えると、$E$は減らない。$t=A/B\ge1$とおけば、

$\displaystyle E\le f(t)=\frac{2t(t-1)^2}{(t+2)^4}.$

微分すると

$\displaystyle f'(t)=\frac{-2(t-1)(t^2-9t+2)}{(t+2)^5}.$

$t_0=(9+\sqrt{73})/2$とおく。もう一方の根$(9-\sqrt{73})/2$は$1$より小さいので、$f$は$1\le t\le t_0$で増加し、$t\ge t_0$で減少する。

よって、求める最大値は

$\displaystyle \boxed{\frac{2t_0(t_0-1)^2}{(t_0+2)^4}},\qquad t_0=\frac{9+\sqrt{73}}2$

であり、そのときの比は$\boxed{x:y:z=t_0:1:1}$およびその入れ替えである。これらの比は正の実数で実現でき、各段階の等号も成り立つ。

見た目は三変数の四次式です。しかも、$x=y=z$とすると分子は$0$なので、「対称だから全部等しいときが最大」という予想は、最初から成立しません。

最初の選択――分母の和を基準にする

分子も分母も$4$次なので、全体の大きさは不要です。分母に$(x+y+z)^4$があるため、和を$1$にするのが自然です。$y/x,z/x$でも二変数になりますが、分母が残り、三つの文字の対称性も見えにくくなります。

次の選択――対称なまとまりに記録する

$p=x+y+z$、$q=xy+yz+zx$、$r=xyz$とすると、分子は$p^2q-4q^2+3pr$です。これは$q^2$や$p^2q$を展開して、同じ種類の項をまとめれば確かめられます。$p=1$にした後は、$E=q-4q^2+3r$となります。

ここで重要なのは、見た目が短くなったことだけではありません。$q$を固定すれば、$r$が大きいほど$E$も大きいと分かりました。そこで次の目標が、「和と$q$を変えずに、積$r$を大きくできないか」に決まります。

ただし$q,r$は自由に選べません。そこで一つの文字を$t$として残り二つを見ると、和が$1-t$、積が$q-t+t^2$になります。全体の積は

$\displaystyle t(q-t+t^2)=R(t)$

という一変数の三次式で表せます。新しい難しい定理を導入したのではなく、残り二つの和と積を条件から書いただけです。

「二つを等しくする」を、ここで初めて正当化する

残り二つが実数であるためには、「和の二乗−積の$4$倍」が非負です。その差が$0$になる大きい方の$t$が$A$で、残り二つは$B,B$になります。これが答案の$A,B$の作り方です。

元の最大の文字を$x$と選ぶと、$R'(x)=(x-y)(x-z)\ge0$。さらに$t\ge x\ge1/3$では$R'$は減らないので、$R(A)\ge R(x)$が分かります。この比較があるから、同じ$q$のもとで二つを等しくしてよいのです。対称性だけから置いたのではありません。

そこで初めて三変数を$A,B,B$に減らし、もう一度同次性を使って$t=A/B$という一つの比にします。あとは高校数学の微分で最大値を求められます。

一見するとかなり難しい問題ですが、使ったのは、同次性、和と積、二次方程式の実数条件、一変数の微分です。この記事の外にある特殊な不等式や、多変数の微分法は使っていません。

難しかったのは、道具を知っているかどうかよりも、どの順番で何を減らすかを選ぶところです。「和を基準にする→対称な量へまとめる→一つを固定して残りを比較する→もう一度比を取る」と、ここまでの見方を重ねることで解けました。