二項係数の2乗を含む級数を導出しましょ！
あいさつ
んちゃ！
今回は端的に二項係数の2乗を含む級数を含む級数を導出します。
かなり短いですがよろしくお願いいたします。
任意の複素数$a,b,c,z\in\mathbb{C}(c\neq0,-1,-2,...;|z|\lt1)$に対して以下の式が成り立つ
\begin{equation}
{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{m}{c+m-1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\frac{(a)_{m}(b)_{m}}{(2m)!}z^{m}{}_{2}F_{1}(a+m,b+m;m+1;z)
\end{equation}
\begin{eqnarray} {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{c+m}\lim_{c\rightarrow-m}(c+m)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{c+m}\frac{(-1)^{m}}{m!}\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(n-m-1)!n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{c+m}\frac{(-1)^{m}}{m!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_{n+m+1}(b)_{n+m+1}}{n!(n+m+1)!}z^{n+m+1}\\ &=&1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{c+m}\frac{(-1)^{m}}{m!}\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}z^{m+1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+m+1)_{n}(b+m+1)_{n}}{(m+2)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{c+m-1}\frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!m!}(a)_{m}(b)_{m}z^{m}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+m)_{n}(b+m)_{n}}{(m+1)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{m}{c+m-1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\frac{(a)_{m}(b)_{m}}{(2m)!}z^{m}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+m)_{n}(b+m)_{n}}{(m+1)_{n}n!}z^{n}\\ &=&1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{m}{c+m-1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\frac{(a)_{m}(b)_{m}}{(2m)!}z^{m}{}_{2}F_{1}(a+m,b+m;m+1;z) \end{eqnarray}
任意の複素数$z\in\mathbb{C}(|z|\lt 1)$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\arcsin{x}=z{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^{2})
\end{equation}
[1]
\begin{equation}
\frac{\begin{pmatrix}2n+2\\n+1\end{pmatrix}}{4^{n+1}(2n+3)}\frac{4^{n}(2n+1)}{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}=\frac{2n+1}{2n+3}\frac{2n+1}{2(n+1)}
\end{equation}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}{4^{n}(2n+1)}z^{n}=\frac{(\frac{1}{2})_{n}^{2}}{(\frac{3}{2})_{n}n!}z^{n}
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
\arcsin{z}=z{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^{2})
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\arcsin{z}=z\{1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{2m}{2m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}^{2}(\frac{z}{4})^{2m}{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}+m,\frac{1}{2}+m;m+1;z^{2})\}\quad(|z|\lt 1)
\end{equation}
特に、$z=\frac{1}{2}$とすれば
\begin{equation}
\pi=3\{1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{2m}{2m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}^{2}\frac{1}{64^{m}}{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}+m,\frac{1}{2}+m;m+1;\frac{1}{4})\}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\arcsin{z}&=&z\{1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{m}{\frac{3}{2}+m-1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\frac{(\frac{1}{2})_{m}(\frac{1}{2})_{m}}{(2m)!}z^{2m}{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}+m,\frac{1}{2}+m;m+1;z^{2})\}\\
&=&z\{1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{2m}{2m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}^{2}(\frac{z}{4})^{2m}{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}+m,\frac{1}{2}+m;m+1;z^{2})\}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{6}&=&\frac{1}{2}\{1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{2m}{2m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}^{2}\frac{1}{64^{m}}{}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}+m,\frac{1}{2}+m;m+1;\frac{1}{4})\}
\end{eqnarray}
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