いつも通りセンター試験をネタにする(2025年版)

約分すれば即座に従う。

$2^{19}=524288<531441=2^{12}$であるから、与式の両辺を$12$乗することで容易に示せる。

両辺を$3$乗することで容易に示せる。

$f(x)=2^{\frac{x}{1200}}$のグラフ$\mathrm{\Gamma }$を考える。点$A(0,1),B(400,\frac{5}{4})$を考えると、$2^{\frac{1}{3}}>\frac{5}{4}$と$\mathrm{\Gamma }$が下に凸であることから、線分$AB$は$A$を除いて全体が$\mathrm{\Gamma }$より上にある。よって、$2^{\frac{x}{1200}}<\frac{x}{1600}$が成り立つ。
$C(-400,\frac{4}{5})$を考えると、線分$AC$は$A$を除いて全体が$\mathrm{\Gamma }$より上にあるので、直線$AC$は$C$より左側で$\mathrm{\Gamma }$と交点を持つ。この交点の$x$座標を$p$とすると、$p<x<0$の範囲で$f(x)$に平均値の定理を適用することで$f^{\prime }(a)=(AC\text{の傾き})$となる$a$が$p<a<0$の範囲に存在することが分かる。$f^{\prime }(x)$は単調増加なので、$x>0$で$f^{\prime }(x)>(AC\text{の傾き})=\frac{1}{2000}$であり、$\frac{x}{2000}<2^{\frac{x}{1200}}$が示された。

$\frac{531441}{524288}<1.015$である。したがって、補題3の$x$に$30$を代入することで$1.015<2^{\frac{30}{1200}}$が従い、$\frac{531441}{524288}<2^{\frac{30}{1200}}$と合わせて$\frac{3}{2}<2^{\frac{702.5}{1200}}$を得る。

$60\cdot \frac{1}{15}=2^{\frac{2400}{1200}}$であるから、補題9より

$2^{\frac{141}{1200}}<\frac{60}{{1.32}^{\frac{14}{3}}}\cdot \frac{1}{15}<2^{\frac{177}{1200}}$

が成り立つ。よって、

$\frac{16}{15}<2^{\frac{141}{1200}}<2^{\frac{177}{1200}}<\frac{17}{15}$

を示せばよい。

$5^5=3125>2048\cdot 1.5>2^{11.5}$であるから$\frac{5}{4}>2^{\frac{360}{1200}}$であり、$\frac{3}{2}>2^{\frac{700}{1200}}$とあわせて
$\frac{16}{15}<2^{\frac{1200-(360+700)}{1200}}=2^{\frac{140}{1200}}<2^{\frac{141}{1200}}$を得る。
また、$\frac{17}{15}=1+\frac{2}{15}>1+\frac{2}{16}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$であるが、$\frac{9}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot 2^{-1}>2^{\frac{200}{1200}}$であることから$2^{\frac{177}{1200}}<\frac{17}{15}$を得る。
(Q.E.D.)