ゼータ関数の特殊値に関する予想

　まあ、これは別に目新しい予想でもなんでも無く、ある程度の数学者の方も無理数だと思われている事でしょう。
　ただ、直感で言っている訳では無くある程度の理由(やっぱりほとんど直感？)が有るからです。
　まず、$\zeta (2n)$の場合、ベルヌーイ数=$B_{2n}$
$\zeta (2n)= \frac{(-1)^{n-1} (2 \pi )^{2n}}{2(2n)!} B_{2n}, (n=1,2,3 \ldots)$

$\zeta (2n)$は,有理数$\times \pi^{2n}$で表す事が出来ます。

$\zeta (2n+1)$の場合
L関数$L(k,\chi)$を自然数Nを法とするディリクレ指標を$\chi$として次の式で定義する。
$\displaystyle L(k,\chi )= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi (n)}{n^{k}}$

\begin{eqnarray} \chi (n)= \left( \begin{array}{l} \ \ \ 0 (n \equiv 0,2 \mod{4}) \\ \ \ \ 1 (n \equiv 1 \mod{4}) \\ -1 (n \equiv 3 \mod{4}) \end{array} \right) \end{eqnarray}
の場合、オイラー数=$E_{2n}$
\begin{align} L(2n+1,\chi ) &=　\frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}E_{2n}, \ \ (n=0,1,2 \ldots ) \notag \\ &= \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 4)}}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}+1)} \notag \\ 式の変形 \\ &= \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 4)}}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}+1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{(p^{2n+1}-1)} \notag \\ &= \prod_{(odd \ prime)}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{(p^{2n+1}+1)} \notag \end{align}

\begin{align} \zeta (2n+1) &= \displaystyle \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{2n+1}}{(p^{2n+1}-1)} \notag \\ &= \frac{2^{(2n+1)}}{2^{(2n+1)}-1} \ \ \ \times \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}E_{2n} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}+1)}{(p^{2n+1}-1)} \notag \end{align}

$\zeta (2n+1)$の式は上記となります。
　そこで下記の式や値を参考にします。

$\zeta (2n)$の場合
$\displaystyle \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{4n}}{(p^{4n}-1)} = \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{4n}}{(p^{2n}-1)(p^{2n}+1)}$

$\displaystyle \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{4n}}{(p^{2n}-1)(p^{2n}+1)} \ \ \ \times \left( \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{2n}-1}{p^{2n}} \right)^{2} = \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{(p^{2n}-1)}{(p^{2n}+1)} $
上記の式より、$\pi$は打ち消し合う事が判ります。

$\displaystyle \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{(p^{2}-1)}{(p^{2}+1)} = \frac{2}{5}$

$L(2n+1,\chi )$の場合
$\displaystyle \frac{2^{2(2n+1)}-1}{2^{2(2n+1)}} \ \ \ \times \prod_{(prime)}^{\infty } \frac{p^{2(2n+1)}}{(p^{(2n+1)}-1)(p^{(2n+1)}+1)} \ \ \ \times \left( \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{p^{2n+1}} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}+1)}{p^{2n+1}} \right)^{2} =$

$\displaystyle = \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{(p^{2n+1}+1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}+1)}{(p^{2n+1}-1)} $

$\displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{3}-1)}{(p^{3}+1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 4)}}^{\infty } \frac{(p^{3}+1)}{(p^{3}-1)} = \frac{(2^{6}-1)}{2^{6}} \ \ \ \times \frac{\pi^{6}}{945} \ \ \ \times \left(\frac{32}{\pi^{3}} \right)^{2} = \frac{16}{15}$

$\displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1,3 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}+1)}{(p^{3}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 5,7 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}-1)}{(p^{3}+1)} = \frac{135}{128} $

$\displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}+1)}{(p^{3}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 5 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}-1)}{(p^{3}+1)} = \frac{3}{2\sqrt{2}} $

$\displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 1 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}+1)}{(p^{3}-1)} \ \ \ \times \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 7 \mod 8)}}^{\infty } \frac{(p^{3}-1)}{(p^{3}+1)} = \frac{45}{32\sqrt{2}} $

上記の値より、
$\displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod \ 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{(p^{2n+1}+1)} \ \ \ \ \ ( n=1,2,3 \ldots ) $
上記の数式の値に$\pi$が含まれないか$\pi^{x} \ ,(x \neq 2n+1 )$の可能性が高いと思います。
よって$\zeta (2n+1)$には$\pi$が含まれると思われます。　

$\zeta (n)$関数は次のように表されると思われます。
\begin{align} タンジェント数 = T_{2n-1} \notag \\ オイラー数 = E_{2n} \ \ \ \notag \\ \zeta(2n) &= \frac{2^{2n}}{(2^{2n}-1)} \times \frac{T_{2n-1} \pi^{2n}} {\Gamma{(2n)}2^{2n+1}} &= \pi^{2n} \ \ \ \times 有理数 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \notag \\ \zeta(2n+1) &= \frac{2^{2n+1}}{(2^{2n+1}-1)} \times \frac{(-1)^{n}E_{2n} \pi^{2n+1}} {\Gamma{(2n+1)}2^{2n+1}} \times f(x) &= \pi^{2n+1} \times 有理数 \times 無理数 \notag \end{align}

　残念ながら、力不足により下記の正確な値は判っていません。暗礁に乗り上げた状態で、全く前に進める気がしません。
$f(x) = \displaystyle \prod_{\substack{(odd \ prime \\ \equiv 3 \mod \ 4)}}^{\infty } \frac{(p^{2n+1}-1)}{(p^{2n+1}+1)} \ \ \ \ \ ( n=1,2,3 \ldots ) $

計算間違いや、その他ミスが含まれているかも知れませんがご了承下さい。