「無限」を操りたくて1
実数に無限が入ります。ご注意ください。
お久し
鰤です。鰤ではありません。タイトルとTwitter(現X)(って言う風潮)でつぶやいてた通り、(正の)無限大を1つ、定めてあげることにしました(?)。
そんなに簡単に扱っていいものか!?
そう叫びたくなる時もあるでしょう。しかし、今回は以下の点に着目します(ただしこれは一例にすぎない)。
$$ \lim_{N\rightarrow\infty}N,\ \lim_{N\rightarrow\infty}2^N$$
どちらも$+\mathrm{infty}$にぶっ飛んでしまいます。しかし、当然ながら発散スピードが違うわけです。よって、この記事では以下の定義を用いることにします。(不都合が生じたらまた考え直すべし。)
ある正の無限大量自然数$N_0$を、以下によって定める。(少しあいまいな記述になってしまうが)中辺、右辺の$N\rightarrow\infty$の増加速度は同じものとする。
$$ N_0:=\lim_{N\rightarrow\infty}N=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}1$$
私はまだ順序数とか知らないので、無知がどこまでいけるかの耐久勝負だと思って、温かい目で見てほしい...。
とゆことで、もう1つ定義。
無限大量の大きさを、以下の形で示す。
$$ N_{i+1}=e^{N_i}\ (i\in\mathbb{Z})$$
さまざまな定理
ここからは、定義から生み出した定理をメモと紹介兼ねて置きます。
無限は∞という記号をできるだけ捨て、ある数として見ていきます。実数の議論からいきなり超実数みたいなことされても困ると思いますが、温目で見つめていてね...。
$$ \sum_{n=1}^{N_0}n=\frac{N_0^2+N_0}{2}$$
証明略。自明。
$$ \sum_{n=1}^{N_0}a^{n-1}=\frac{a^{N_0}-1}{a-1}=\frac{N_1^{\ln{a}}-1}{a-1}$$
略。まあ自明。
$$ H_{N_0}=\sum_{n=1}^{N_0}\frac{1}{n}=\gamma+\ln{N_0=\gamma+N_{-1}}$$
$$\lim_{n\rightarrow N_0}\left(H_n-\ln{n}\right)=\gamma$$
したがって、
$$H_{N_0}-\ln{N_0}=\gamma \Longleftrightarrow H_{N_0}=\gamma+\ln{N_0}$$
また、$N_0=e^{N_{-1}}\Longleftrightarrow \ln{N_0}=N_{-1}$
$$\therefore H_{N_0}=\gamma+N_{-1}$$
実際、極限のパラメータを増加させる速度が同じであれば、
$$ H_{N_{m+1}}=\gamma+N_{m}$$
というような式も成り立つでしょう。成り立ってほしい。
conclusion
いつも通り割と早く記事が終わりましたが、いかがだったでしょうか。特に最後の定理は、無限大が生み出す無限小を無視するという実数の世界の定理を、そのまま無限大が使える世界に持ってきてしまったので、かなり怪しい。
この研究はまだ続けようとは思っていますが、なにか似た概念のようなものがあればご紹介下さると幸いです。温目観覧ありがとうございました。
次回は$N_{N_0}$とかもやってみたい。
