初等レベルの合同式見つけました。

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

$n (2 n - 1 ） \equiv$ 1 $m o d (2 n + 1) 【 n > 1 】$

$(1 + 2 + 3 + \dots + 2 n - 1) = (2 n + 1) (n - 1) + 1$
$= 2 n^{2} - 2 n + n - 1 + 1$
$= 2 n^{2} - n$
$= n (2 n - 1)$
$= \frac{2 n}{2} (2 n - 1)$
$= \frac{(2 n) (2 n - 1)}{2}$

$\frac{(2 n) (2 n - 1)}{2} = (2 n + 1) (n - 1) + 1$
$= \frac{(2 n) (2 n - 1)}{2} \div (2 n + 1) = (n - 1) \dots 1$
$= \frac{(2 n) (2 n - 1)}{2 (2 n + 1)} = (n - 1) \dots 1$
$= \frac{4 n^{2} - 2 n}{4 n + 2} = (n - 1) \dots 1$
$= \frac{2 n^{2} - n}{2 n + 1} = (n - 1) \dots 1$

$(n = 5)$ =三角数 $9$ = $(2 * 5 - 1)$
$\frac{(2 * 5 - 1) (2 * 5)}{2} = (9 + 2) + (7 + 4) + (5 + 6) + (3 + 8) + 1$
$\frac{(2 * 5 - 1) (2 * 5)}{2} = 11 * 4 + 1$
$\frac{(2 * 5 - 1) (2 * 5)}{2} \div 11 = 4 \dots 1$
$\frac{(2 * 5 - 1) (2 * 5)}{2 * 11} = 4 \dots 1$
$\frac{90}{22} = 4 \frac{1}{11}$

お願い

三角数見てたらこの定理を発見したのですが、
簡単なのでもう知られているかもしれません。
どなたか知ってたら教えてくれませんか？
正直何の役にも立たないと思いますが一応書きました。

追記

ハーピーターンさんからのご指摘で合同式としては、 $(2 n + 2) \equiv$ 1 $m o d (2 n + 1)$ と本質は同じだと教えてくれました。

準完全数(nの正の約数の和が2n+1に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。)と、概完全数(nの正の約数の和が2n−1に等しいことと定義される。不足数の一種。 $2^{k} ｛ = 1, 2, 4, 8, 16, \dots ｝$ の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。)という、 $(2 n - 1)$ と $(2 n + 1)$ は関係するところがあったようです。そして、 $m = n (2 n - 1)$ はnが概完全奇数ならmはデカルト数です。その上
(2n-1)が素数ならmは奇数の完全数です。

投稿日：2023年11月2日

更新日：2023年11月4日

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