複数の数列から順番の項を取り出して作る数列

２つの場合では，
$$ \frac{1+(-1)^{n-1}}{2}a_n+\frac{1+(-1)^{n}}{2}b_n $$
とすれば実現できます．
３つの場合も，$\omega= \cos\frac{2 \pi}{3}+i\sin\frac{2 \pi}{3} $を使って，
$$ \frac{1+\omega^{n-1}+\omega^{2(n-1)}}{3}a_n+\frac{1+\omega^{n-2}+\omega^{2(n-2)}}{3}b_n+\frac{1+\omega^{n}+\omega^{2n}}{3}c_n $$
とすれば実現できます．
４以上の自然数$m$の場合も，$ \zeta=\cos\frac{2 \pi}{m}+i\sin\frac{2 \pi}{m} $を使います．
$$ \zeta_k= 1+\zeta^{m-k}+\zeta^{2(m-k)}+ \cdots +\zeta^{(m-1)(m-k)} $$を考えると，
$\zeta^{m-k} \neq 1$のとき，
$$ \zeta_k= \frac{1-\zeta^{m(m-k)}}{1-\zeta^{m-k}}=0 $$
$\zeta^{m-k} = 1$のとき，
$$ \zeta_k=m $$
となります．
$m$個の数列$ \lbrace a(1)_n\rbrace,\lbrace a(2)_n\rbrace, \cdots, \lbrace a(m)_n\rbrace$に対して，
$$ \frac {1}{m} \sum_{k=1}^{m}{\zeta_k} {a(k)_n}$$
としておけば実現できます．